资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2（x﹣1）2+1先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y＝2（x+1）2+4 B．y＝2（x﹣1）2+4
C．y＝2（x+2）2+4 D．y＝2（x﹣3）2+4
2．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象经过点，当自变量的值为时，函数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上
C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上
7．对于二次函数y=－x2+2x－3,下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0，y随x的增大而减少 B．当x=2时，y有最大值－1
C．图像的顶点坐标为（2，－5） D．图像与x轴有两个交点
8．如图直角三角板∠ABO＝30°，直角项点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数的y1＝图象上，顶点B在函数y2＝的图象上，则＝（ ）
A． B． C． D．
9．为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的6名同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下：（单位：个）33，25，28，26，25，31，如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ）
A．900个 B．1080个 C．1260个 D．1800个
10．如图，抛物线和直线，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当y＝﹣1时，n＝_____．
12．把二次函数变形为的形式为_________．
13．若，则_______．
14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_________．
15．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．
16．已知二次函数，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________．
17．若3a=2b，则a:b=________．
18．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．
（1）求该广场绿化区域的面积；
（2）求广场中间小路的宽．
20．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；
①当面积最大时，求的长度；
②若点为的中点，求点运动的路径长.
21．（6分）如果是关于x的一元二次方程；
（1）求m的值;
（2）判断此一元二次方程的根的情况，如果有实数根则求出根，如果没有说明理由则可．
22．（8分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F.
（1）证明：△APD≌△CPD；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.
23．（8分）已知：如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，DF＝5，求△AEC的面积．
24．（8分）如图在直角坐标系中△ABC的顶点A、B、C三点坐标为A(7，1)，B(8，2)，C(9，0)．
（1）请在图中画出△ABC的一个以点P(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形△A'B'C'（要求与△ABC在P点同一侧）；
（2）直接写出A'点的坐标；
（3）直接写出△A'B'C'的周长．
25．（10分）解方程：x2﹣2x﹣5＝1．
26．（10分）请用学过的方法研究一类新函数（为常数，）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）对于函数，当自变量的值增大时，函数值怎样变化？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】只需确定原抛物线解析式的顶点坐标平移后的对应点坐标即可．
【详解】解：原抛物线y＝2（x﹣1）2+1的顶点为（1，1），先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，新顶点为（﹣1，4）．即所得抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
所以，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2+4，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的平移，抛物线的解析式为顶点式时，求出顶点平移后的对应点坐标，可得平移后抛物线的解析式，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键.
2、B
【解析】根据比例式的性质，即可得到答案．
【详解】∵⇔，⇔，⇔，⇔，
∴变形错误的是选项B．
故选B．
【点睛】
本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
3、B
【分析】把点代入，解得的值，得出函数解析式，再把=3即可得到的值.
【详解】把代入，得，解得=
把=3，代入==-4
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，直接将坐标代入法是解题的关键.
4、A
【解析】根据解直角三角形的三角函数解答即可
【详解】如图，
∵cos53°= ,
∴AB=
故选A
【点睛】
此题考查解直角三角形的三角函数解，难度不大
5、D
【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别,解题的关键是熟知其定义.
6、C
【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，进而得出答案．
【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有7次正面向上；
故选：C．
【点睛】
本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7、B
【分析】根据题目中函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各选项即可.
【详解】∵二次函数y=－x2+2x－3的图象开口向下，且以为对称轴的抛物线，
A. 当x＞2，y随x的增大而减少，该选项错误；
B. 当x=2时，y有最大值－1，该选项正确；
C. 图像的顶点坐标为（2，－1），该选项错误；
D. 图像与x轴没有交点，该选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值和顶点，关键是明确题意，利用二次函数的性质作答.
8、D
【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值．
【详解】设AB与x轴交点为点C，
Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝60°，
∵AB⊥OC，
∴∠ACO＝90°，
∴∠AOC＝30°，
设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，
∴A（a，a），
∵A在函数y1＝的图象上，
∴k1＝a×a＝a2，
Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，
∴BC＝＝3a，
∴B（a，﹣3a），
∵B在函数y2＝的图象上，
∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，
∴＝，
故选：D．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC＝a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出k1与k2的值，才能求出结果.
9、C
【分析】先求出6名同学家丢弃塑料袋的平均数量作为全班学生家的平均数量，然后乘以总人数45即可解答．
【详解】估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（个）．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体的问题，掌握算术平均数的公式是解题的关键．
10、B
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：联立，
解得，，
两函数图象交点坐标为，，
由图可知，时的取值范围是或．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1．
【分析】首先根据题意，可得：x2+2x＝m，2x+3＝n，m+n＝y；然后根据y＝﹣1，可得：x2+2x+2x+3＝﹣1，据此求出x的值是多少，进而求出n的值是多少即可．
【详解】根据题意，可得：x2+2x＝m，2x+3＝n，m+n＝y，
∵y＝﹣1，
∴x2+2x+2x+3＝﹣1，
∴x2+4x+4＝0，
∴（x+2）2＝0，
∴x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴n＝2x+3＝2×（﹣2）+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
12、
【分析】利用配方法变形即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.
13、12
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解答本题的关键是明确比例的性质的含义．
14、0
【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负判断即可.
【详解】解：原方程可变形为，由题意可得
所以
故答案为：0
【点睛】
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.
15、.
【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
∴AC：AE=BC：DE
∴DE=
∴
考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.
16、-1
【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵−1≤x≤4，
∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17、2:3
【解析】试题分析：根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，可知a:b=2:3
考点：比例的意义和基本性质
点评：比例的基本性质是解题的关键
18、．
【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值.
【详解】过点B作BC垂直OA于C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是
把代入，得
故答案为．
【点睛】
考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；
三、解答题(共66分)
19、（1）该广场绿化区域的面积为144平方米；（2）广场中间小路的宽为1米．
【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；
（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．
答：该广场绿化区域的面积为144平方米．
（2）设广场中间小路的宽为x米，
依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，
整理，得：x2﹣19x+18＝0，
解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．
答：广场中间小路的宽为1米．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
20、（1），；（2）证明见解析；（3）①或；②.
【分析】（1）将代入二次函数的解析式即可求解；
（2）证得是等边三角形即可证得结论；
（3）①根据题意，当或时，或面积最大，利用三角形中位线定理可求得的长，利用勾股定理可求得，即可求得答案；
②根据点M的运动轨迹是半径为2的，则的中点的运动轨迹也是圆，同样，的中点的运动轨迹也是圆，据此即可求得答案．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（2）由(1)得：抛物线的解析式为，
∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为：，
∴顶点的坐标为：，，
∵，
，
∴，
∴是等边三角形，
∵为线段中点，
∴；
（3）①∵为定值，当时，面积最大，如图，
由(2)得，，，
∴∥，
∵点为线段中点，点为的中点，
∴∥，,
∴三点共线，
在Rt中，，，
∴，
∴；
同理，当时，面积最大，
同理可求得：；
故答案为：或；
②如图，
∵点E的运动轨迹是，半径为，
∴的中点的运动轨迹也是圆，半径为1，
∴的中点M的运动轨迹也是圆，半径为，
∴点M运动的路径长为：．
故答案为：．
【点睛】
主要考查了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21、（1）m=1；（2）有两个不相等的实数根，，．
【分析】（1）因为原方程是一元二次方程，所以x的最高次数为2且二次项系数不为0，即m+1=2且m-2≠0，解方程即可；
（2）将m=1代入原方程中，得x2-2x-2=0，根据判别式即可判断实数根的个数，然后根据求根公式求出实数根．
【详解】（1）由题意得
m+1=2且m-20
得：m=1
故m的值为1；
（2）由（1）得
原方程：x2-2x-2=0
其中，a= 1，b= -2，c= -2
∴=4+8=12>0
∴有两个不相等的实数根；
∴根据求根公式
∴ ．
【点睛】
本题考察了一元二次方程的概念，利用判别式判断实数根的个数，和公式法解一元二次方程，熟练记忆判别式和求根公式是解题的关键；其中，（1）问中不要忘记二次项系数不能为0，这是易错点．
22、（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE.
【分析】（1）利用正方形得到AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，即可证明全等；
（2）设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，，再利用周角计算得出x值；
（3）AP=CE. 设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，
，求出，得到是等边三角形，即可证得AP=CE.
【详解】解：
（1）四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，
在与中，
，
∴；
（2）设，
由（1）得，，
因为PA=PE，所以
所以；
（3）AP=CE.
设，
由（1）得，，
∵PA=PE且在菱形ABCD中，
∴，
∴，
由（1）得PA=PC，∴PC=PE，
∴是等边三角形，
∴PE=PC=CE，
∴AP=CE.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，正方形的性质，菱形的性质，三角形的内角和及外角性质，（2）与（3）图形有变化，解题思路不变，做题中注意总结解题的方法.
23、（1）见解析；（2）1
【分析】(1)根据矩形ABCD的性质得出DC∥BF,又由DF∥AC即可得出四边形ACDF是平行四边形;
(2)根据(1)中的证明可得AC=DF,AE=ED,利用勾股定理解出BC,从而得出AE,再代入三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝1，∠B＝90°，
由(1)得：四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF＝5，AE＝ED＝AD，
∴BC＝AD＝，
∴AE＝×4＝2，
∴S△AEC＝AE•CD＝×2×1＝1．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、三角形面积的计算,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．
24、（1）见解析；（2）A′(﹣3，3)，B′(0，6)，C′(0，3)；（3）．
【分析】（1）延长PB到B′，使PB′＝3PB，延长PA到B′，使PA′＝3PA，延长PC到C′，使PC′＝3PC；顺次连接A′、B′、C′，即可得到△A'B'C′；
（2）利用（1）所画图形写出A′点的坐标即可；
（3）利用勾股定理计算出A′B′、B′C′、A′C′，然后求它们的和即可．
【详解】（1）如图，△A′B′C′，为所作；
（2）A′、B′、C′三点的坐标分别是：A′（﹣3，3），B′（0，6），C′（0，3）；
（3）A′B′＝＝3，A′C′＝＝3，B′C′＝＝3，
所以△A′B′C′的周长＝3+3+3＝．
【点睛】
本题考查作图——位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
25、x1＝1+，x2＝1﹣．
【解析】利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．
【详解】解：x2﹣2x+1＝6，
那么（x﹣1）2＝6，
即x﹣1＝±，
则x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
26、解：（1）画图像见解析；（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小；②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
【分析】（1）分两种情况，当x>0时，，当x<0时，，进而即可画出函数图象；
（2）分两种情况k＞0时，k＜0时，分别写出函数的增减性，即可．
【详解】∵当x>0时，，当x<0时，，
∴函数的图象，如图所示：
（2）①∵k＞0时，函数的图象是在第一，二象限的双曲线，且关于y轴对称，
∴k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小；
②∵k＜0时，函数的图象是在第三，四象限的双曲线，且关于y轴对称，
∴k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
综上所述：k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小；k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
【点睛】
本题主要考查用反比例函数的图象和性质研究新函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
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