资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离d＝1．则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
2．在实数3.14，﹣π，，﹣中，倒数最小的数是（ ）
A． B． C．﹣π D．3.14
3．由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
5．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为2，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD中，点EF分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连AC交EF于G，下列结论：①∠BAE=∠DAF=15°；②AG=GC；③BE+DF=EF；④S△CEF=2S△ABE，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1
9．如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知的面积为4，则的面积为（ ）
A．12 B．28 C．36 D．38
10．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中若，，则__________，__________．
12．如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC=，则∠B的度数为_________________ ．
14．如图，直线，等腰直角三角形的三个顶点分别在，，上，90°，交于点，已知与的距离为2，与的距离为3，则的长为________．
15．已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．
16．已知反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式是__________．
17．如图，已知中，点、、分别是边、、上的点，且，，且，若，那么__________
18．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）空间任意选定一点，以点为端点，作三条互相垂直的射线，，．这三条互相垂直的射线分别称作轴、轴、轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为（水平向前），（水平向右），（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为，，，且的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，如图1所示．若将轴方向表示的量称为几何体码放的排数，轴方向表示的量称为几何体码放的列数，二轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了排列层，用有序数组记作，如图3的几何体码放了排列层，用有序数组记作．这样我们就可用每一个有序数组表示一种几何体的码放方式．
（1）有序数组所对应的码放的几何体是______________；
A．B．C．D．
（2）图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为（______，_______，_______），组成这个几何体的单位长方体的个数为____________个．
（3）为了进一步探究有序数组的几何体的表面积公式，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体有序数组
单位长方体的个数
表面上面积为S1的个数
表面上面积为S2的个数
表面上面积为S3的个数
表面积
根据以上规律，请直接写出有序数组的几何体表面积的计算公式；（用，，，，，表示）
（4）当，，时，对由个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我们可以对个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为（______，_______， ______），此时求出的这个几何体表面积的大小为____________（缝隙不计）
20．（6分）如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．
（1）连接DF，求DF的长度；
（2）求▱DEFG周长的最小值；
（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．
21．（6分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝ ；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
22．（8分）计算：；
23．（8分）已知矩形的周长为1．
（1）当该矩形的面积为200时，求它的边长；
（2）请表示出这个矩形的面积与其一边长的关系，并求出当矩形面积取得最大值时，矩形的边长．
24．（8分）小涛根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，下面是小涛的探究过程，请补充完整：
（1）下表是与的几组对应值
．．．
-2
-1
0
1
2
3
．．．
．．．
-8
-3
0
m
n
1
3
．．．
请直接写出：=， m=， n=；
（2）如图，小涛在平面直角坐标系中，描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点，再描出剩下的点，并画出该函数的图象；
（3）请直接写出函数的图像性质：；（写出一条即可）
（4）请结合画出的函数图象，解决问题：若方程有三个不同的解，请直接写出的取值范围．
25．（10分）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
26．（10分）如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点．将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作ｘ轴的垂线，垂足为F，过点B作ｙ轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点．连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为ｔ，
（1）当ｔ=2时，求CF的长；
（2）①当ｔ为何值时，点C落在线段CD上；
②设△BCE的面积为S，求S与ｔ之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿ｘ轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出符合上述条件的点坐标，
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离d=1，⊙O的半径R=4，
∴d>R，
∴直线和圆相离．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
2、A
【解析】先根据倒数的定义计算，再比较大小解答．
【详解】解：在3.14，﹣π，，﹣中，倒数最小的数是两个负数中一个，
所以先求两个负数的倒数：﹣π的倒数是﹣≈﹣0.3183，﹣的倒数是﹣≈﹣4472，
所以﹣＞﹣，
故选：A．
【点睛】
本题考查了倒数的定义．解题的关键是掌握倒数的定义，会比较实数的大小．
3、B
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误；
B：对称轴=4，故B正确；
C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误；
D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质.
4、B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
5、D
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠1+∠2=90°，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠3=45°，然后根据扇形面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：由图可知，∠1+∠2=90°，∠3=45°，
∵正方形的边长均为2，
∴阴影部分的面积=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称，观察图形，根据正方形的性质与直角三角形的性质求出阴影部分的圆心角是解题的关键．
6、C
【解析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，用含x的式子表示的BE、 EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论.
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC=∠FAC=×60°=30°，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠BAE=∠DAF=15°，故①正确；
②设EC=x，则FC=x，
由勾股定理，得EF=x，CG=EF=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=2×CG，
∴AG=CG，故②正确；
③由②知：设EC=x，EF=x，AC=CG+AG=CG+CG=，
∴AB==，
∴BE=AB﹣CE=﹣x=，
∴BE+DF=2×=（﹣1）x≠x，故③错误；
④S△CEF=，
S△ABE=BE•AB=，
∴S△CEF=2S△ABE，
故④正确，
所以本题正确的个数有3个，分别是①②④，
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
7、D
【详解】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE．
∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）．
∴DE=HE，DC=AH．
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=BH．
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=2．故选D．
8、C
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．
9、A
【分析】根据平行是四边形的性质得到AD∥BC，OA=OC，得到△AFE∽△CEB，根据点E是OA的中点，得到，△AEB的面积=△OEB的面积，计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴△AFE∽△CEB，
∴
∵点E是OA的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10、D
【分析】因为AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D，所以AP=AC、BD=BP，所以．
【详解】解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、40° 100°
【分析】根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40°，100°．
【点睛】
本题考查等边对等角及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12、14
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
13、30°．
【分析】根据勾股定理求得AD，再根据三角函数值分析计算．
【详解】∵∠C=90°，CD=1，AC=，
∴，
而AD=BD，
∴BD=2，
在Rt△ABC中，AC=，BC=BD+CD=3，
∴tan∠B=，
∴∠B=30°，
故填：30°．
【点睛】
本题考查勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．
14、
【分析】作AF⊥，BE⊥，证明△ACF≌△CBE，求出CE，根据勾股定理求出BC、AC，作DH⊥，根据DH∥AF证明△CDH∽△CAF，求出CD，再根据勾股定理求出BD.
【详解】如图，作AF⊥，BE⊥，则∠AFC=BEC=90°，
由题意得BE=3，AF=2+3=5，
∵△是等腰直角三角形，90°，
∴AC=BC,∠BCE+∠ACF=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACF=∠CBE,
∴△ACF≌△CBE,
∴CE=AF=5，CF=BE=3，
∴,
作DH⊥，
∴DH∥AF
∴△CDH∽△CAF，
∴，
∴ ，
∴CD=，
∴BD=，
故答案为：.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线间的距离处处相等的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.
15、＜2（或x≤2）．
【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.
考点：二次函数的性质
16、
【分析】把点，代入求解即可．
【详解】解：由于反比例函数的图象经过点，
∴把点，代入中，
解得k=6，
所以函数解析式为：
故答案为：
【点睛】
本题考查待定系数法解函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤正确计算是关键．
17、
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到AE：EC=AD：DB=1：2，BF：FC=AE：EC=1：2，进行分析计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC=AD：DB=1：2，
∵EF∥AB，
∴BF：FC=AE：EC=1：2，
∵CF=9，
∴BF=.
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用定理并找准对应关系是解题的关键．
18、4∶1
【解析】试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：1．
考点：相似三角形的性质．
三、解答题(共66分)
19、 (1) B；(2) 2，3，2 ， 1 ；(3)S(x，y，z)＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3)；(4)2，2，3，2
【分析】（1）根据几何体码放的情况，即可得到答案；
（2）根据几何体的三视图，可知：几何体有2排，3列，2层，进而即可得到答案；
（3）根据有序数组的几何体，表面上面积为S1的个数为2yz个, 表面上面积为S2的个数为2xz个，表面上面积为S3的个数为2xy个，即可得到答案；
（4）由题意得：xyz=1，＝4yz＋6xz＋8xy，要使的值最小，x，y，z应满足x≤y≤z（x，y，z为正整数），进而进行分类讨论，即可求解．
【详解】（1）∵有序数组所对应的码放的几何体是：3排列4层，
∴B选项符合题意，
故选B．
（2）根据几何体的三视图，可知：几何体有2排，3列，2层，
∴这种码放方式的有序数组为(2，3，2)，
∵几何体有2层，每层有6个单位长方体，
∴组成这个几何体的单位长方体的个数为1个．
故答案是：2，3，2；1．
（3）∵有序数组的几何体，表面上面积为S1的个数为2yz个, 表面上面积为S2的个数为2xz个，表面上面积为S3的个数为2xy个，
∴＝2(yzS1＋xzS2＋xyS3)．
（4）由题意得：xyz=1，＝4yz＋6xz＋8xy，
∴要使的值最小，x，y，z应满足x≤y≤z（x，y，z为正整数）．
∴在由1个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为(1，1，1)，(1，2，6)，(1，3，4)，(2，2，3)，
∵，，，，
∴由1个单位长方体码放的几何体中，表面积最小的有序数组为：(2，2，3)，最小表面积为：2．
故答案是：2，2，3；2．
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图与表面积的综合，掌握几何体的三视图的定义和表面积公式，是解题的关键．
20、（1）；（2）6；（3）或 ．
【分析】（1）平行四边形DEFG对角线DF的长就是Rt△DCF的斜边的长，由勾股定理求解；
（2）平行四边形DEFG周长的最小值就是求邻边2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB为对称轴，作点F的对称点M，连接DM交AB于点N，点E与N点重合时即DE+EF＝DM时有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的长；
（3）平行四边形DEFG为矩形时有两种情况，一是一般矩形，二是正方形，分类用全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．
【详解】解：（1）如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，
∵BF＝FC，AD＝2；
∴FC＝1，
∵AB＝3；
∴DC＝3，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
∴DF＝＝＝；
（2）如图2所示：
作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，
连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，
①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，
∴ME+DE＞MD，
②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，
∴ME+DE＝MD
由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，
∵MB＝BF，
∴MB＝1，
∴MC＝3，
又∵DC＝3，
∴△MCD是等腰直角三角形，
∴MD＝＝＝3，
∴NF+DN＝MD＝3，
∴l平行四边形DEFG＝2（NF+DF）＝6；
（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，
∵平行四边形DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠AED＝∠BFE，
又∵∠A＝∠EBF＝90°，
∴△DAE∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝1，或x＝2
①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，
如图3（甲）所示：
∵平行四边形DEFG为矩形，
∴∠A＝∠ABF＝90°，
又∵BF＝1，AD＝2，
∴在△ADE和△BEF中，，
∴△ADE≌△BEF中（SAS），
∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形；
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
EF＝＝＝，
∴BH＝＝，
又∵△BEF～△ＨBF，
∴＝，
HF＝＝＝，
在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，
∴△BPH∽△GPF，
∴＝＝＝，
∴PF＝•HF＝，
又∵EP+PF＝EF，
∴EP＝﹣＝，
又∵AB∥BC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），
∴＝＝＝，
②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，
如图3（乙）所示：
∵▱DEFG为矩形，
∴∠A＝∠EBF＝90°，
∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，
∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：
∴ED＝＝2，
EF＝＝＝，
∴∠ADE＝45°，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴EF＝DG，∠EDG＝90°，
∴DG＝，∠HDG＝45°，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴DH＝HG＝1，
在△HGQ和△BCQ中有，∠GHQ＝∠BCQ，∠HQG＝∠CQB，
∴△HGQ∽△BCQ，
∴＝＝，
∵HC＝HQ+CQ＝2，
∴HQ＝，
又∵DQ＝DH+HQ，
∴DQ＝1+＝，
∵AB∥DC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），
∴＝，
综合所述，BP：QG的值为或．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线和分类求值．
21、（1）0.6；（2）0.6；（3）白球有24只，黑球有16只.
【解析】试题分析：通过题意和表格，可知摸到白球的概率都接近与0.6，因此摸到白球的概率估计值为0.6.
22、1
【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可求解.
【详解】
【点睛】
此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
23、（1）矩形的边长为10和2；（2）这个矩形的面积S与其一边长x的关系式是S=-x2+30x；当矩形的面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．
【分析】（1）设矩形的一边长为，则矩形的另一边长为，根据矩形的面积为20列出相应的方程，从而可以求得矩形的边长；
（2）根据题意可以得到矩形的面积与一边长的函数关系，然后根据二次函数的性质可以求得矩形的最大面积，并求出矩形面积最大时它的边长．
【详解】解：（1）设矩形的一边长为，则矩形的另一边长为，根据题意，得
，解得，．
答：矩形的边长为10和2．
（2）设矩形的一边长为，面积为S，根据题意可得，
，
所以，当矩形的面积最大时，．
答：这个矩形的面积与其一边长的关系式是S=-x2+30x，当矩形面积取得最大值时，矩形是边长为15的正方形．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程以及函数关系式，利用二次函数的性质解答．
24、（1）1，1，0 （2）作图见解析 （3）必过点．（答案不唯一） （4）
【分析】（1）根据待定系数法求出的值，再代入和，即可求出m、n的值；
（2）根据描点法画出函数的图象即可；
（3）根据（2）中函数的图象写出其中一个性质即可；
（4）利用图象法，可得函数与有三个不同的交点，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）将代入中
解得
∴
当时，
当时，；
（2）如图所示；
（3）必过点；
（4）设直线，由（1）得
∵方程有三个不同的解
∴函数与有三个不同的交点
根据图象即可知，当方程有三个不同的解时，
故 ．
【点睛】
本题考查了函数的图象问题，掌握待定系数法、描点法、图象法、二次函数的性质是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
26、（2）CF=2；（2）①；②；（3）点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．
【分析】（2）由Rt△ABO∽Rt△CAF即可求得CF的长．
（2）①点C落在线段CD上，可得Rt△CDD∽Rt△BOD，从而可求ｔ的值．
②由于当点C与点E重合时，CE=2，，因此，分和两种情况讨论．
（3）分三种情况作出图形讨论即可得到答案.
【详解】解：（2）当ｔ=2时，OA=2，
∵点B（0，2），
∴OB=2．
又∵∠BAC=900，AB=2AC，
∴Rt△ABO∽Rt△CAF．
∴，
CF=2．
（2）①当OA=ｔ时，
∵Rt△ABO∽Rt△CAF，
∴．
∴．
∵点C落在线段CD上，
∴Rt△CDD∽Rt△BOD．
∴，
整理得．
解得（舍去）．
∴当时，点C落在线段CD上．
②当点C与点E重合时，CE=2，可得．
∴当时，；
当时，．
综上所述，S与ｔ之间的函数关系式为．
（3）（3）点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．理由如下：
如图2，当时，点的坐标为（22，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（22，，2）．
如图2，当点与点A重合时，点的坐标为（8，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（8，，2）．
如图3，当时，点的坐标为（2，0），
根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（2，，2）．
∴点的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
