资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
3．正五边形的每个外角度数为（ ）
A． B． C． D．
4．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
5．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(2，-6) B．(-2，6) C．(-6，2) D．(-6，2)
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
7．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11 或1 D．12或1
8．如图，点在反比例函数的图象上，过点的直线与轴，轴分别交于点，，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
10．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
11．中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )
A．2－ B． C． D．1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知中，，交于，且，，，，则的长度为________.
14．若m是关于x的方程的一个根，则的值为_________.
15．函数y=的自变量x的取值范围是_______________．
16．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．
17．二次函数（a，b，c为常数且a≠0）中的与的部分对应值如下表：
0
1
3
3
5
3
现给出如下四个结论：①；② 当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，，其中正确结论的序号为：____．
18．如图，点、、、在射线上，点、、、在射线上，且，.若和的面积分别为和，则图中三个阴影三角形面积之和为___________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝2m．经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH＝37°，∠DBH＝67°，AB＝10m，请你根据以上数据计算GH的长．（参考数据tan67°， tan37°）
20．（8分）如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
21．（8分）一艘运沙船装载着5000m3沙子，到达目的地后开始卸沙，设平均卸沙速度为v（单位：m3/小时），卸沙所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式，并用列表描点法画出函数的图象；
（2）若要求在20小时至25小时内（含20小时和25小时）卸完全部沙子，求卸沙的速度范围．
22．（10分）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘转盘A被平均分成3等份，分别标上三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜.你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
23．（10分）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
24．（10分）学习成为现代城市人的时尚，我市图书馆吸引了大批读者，有关部门统计了2018年第四季度到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图如图.
（1）在统计的这段时间内，共有 万人到图书馆阅读.其中商人所占百分比是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若今年2月到图书馆的读者共28000名，估计其中约有多少名职工.
25．（12分）计算题：|﹣3|+tan30°﹣﹣（2017﹣π）0+（）-1．
26．在正方形中，点是直线上动点，以为边作正方形，所在直线与所在直线交于点，连接．
（1）如图1，当点在边上时，延长交于点，与交于点，连接．
①求证：；
②若，求的值；
（2）当正方形的边长为4，时，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4
∴它们的面积之比为1∶16
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成.
2、A
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】A、符合题意；
B、是一元一次方程，不符合题意；
C、是二元一次方程，不符合题意；
D、是分式方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3、B
【解析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】360°÷5＝72°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．
4、D
【详解】解： ∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，
所以原方程没有实数根．
5、A
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点A（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），
故选：A．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
6、C
【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【详解】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
7、A
【分析】首先从方程x2﹣6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程x2-6x+8=0，
解得：x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为：4+3+6=1．
故选：A．
【点睛】
考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
8、D
【分析】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，进而得的面积为4，即可得到答案．
【详解】过点C作CD⊥x轴交于点D，连接OC，则CD∥OB，
∵，
∴AO=OD，
∴OB是∆ADC的中位线，
∴CD=2OB，
∵的面积为，
∴的面积为4，
∵点在反比例函数的图象上，
∴k=2×4=8，
故选D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，添加辅助线，求出的面积，是解题的关键．
9、C
【解析】将（1，1）代入解析式中即可.
【详解】解：将点（1，1）代入解析式得，
，
k＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.
10、D
【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．
【详解】如图，位似中心为点D．
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
11、D
【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再根据cos函数的定义求解，即可得出答案.
【详解】∵AC=，AB=4，∠C=90°
∴
∴
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是勾股定理和三角函数，比较简单，需要熟练掌握sin函数、cos函数和tan函数分别代表的意思.
12、C
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，则四边形DGBF是矩形，由矩形的性质得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=1．
设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．
在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-1．
证明△FEB∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例可求出x的值，进而得到AD，DE的长．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】如图，过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，
∴四边形DGBF是矩形，
∴BG=DF，DG=FB．
∵∠BCD=45°，
∴△BFC是等腰直角三角形．
∵BC=，
∴FC=BF=1．
设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．
在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，
∴，
∴，
解得：AD=16x-1．
∵FB∥AD，
∴△FEB∽△DEA，
∴，
∴，
∴18x1-16x+1=0，
解得：x=或x=．
当x=时，7x-1＜0，不合题意，舍去，
∴x=，
∴AD=16x-1=6，DE=9x=，
∴AE=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．求出AD=16x-1是解答本题的关键．
14、2
【分析】将代入方程，进行化简即可得出答案.
【详解】由题意得：
则
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义，理解题意得到一个关于m的等式是解题关键.
15、x≥3
【分析】分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】根据二次根式有意义，分式有意义得：x-3≥0且x+1≠0，
解得：x≥3
故答案为x≥3
【点睛】
本题考查函数自变量的取值范围，基础知识扎实是解题关键
16、y=﹣x或y=-4x
【解析】分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．
详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，
则A′（-3，4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，
则4=-3k，
解得：k=-，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，
同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，
则-4=k′，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.
故答案为y=﹣x或y=-4x.
点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．
17、①②③④
【分析】先利用待定系数法求得的值，＜0可判断①；对称轴为直线，利用二次函数的性质可判断②；方程即，解得，可判断③；时，；当时，，且函数有最大值，则当时，，即可判断④．
【详解】∵时，时，时，
∴，
解得：，
∴，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
方程即，
解得，
∴是方程的一个根，故③正确；
当时，，
当时，，
∵，
∴函数有最大值，
∴当时，，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
18、
【分析】由已知可证，从而得到，利用和等高，可求出，同理求出另外两个三角形的面积，则阴影部分的面积可求.
【详解】∵，.
∴
∴
∵和的面积分别为和
∴
∵和等高
∴
∴
同理可得
∴阴影部分的面积为
故答案为42
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及所求三角形与已知三角形之间的关系是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、GH的长为10m．
【分析】延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，设DE=xm，则CE=（x+2）m，通过解直角三角形可得出AE=，BE=，结合AE-BE=10可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再将其代入GH=CE=CD+DE中即可求出结论．
【详解】解：延长CD交AH于点E，则CE⊥AH，如图所示．
设DE＝xm，则CE＝（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°＝，tan67°＝，
∴AE＝，BE＝．
∵AE﹣BE＝AB，tan67°， tan37°
∴﹣＝10，
即﹣＝10，解得：x＝8，
∴DE＝8m，
∴GH＝CE＝CD+DE＝2m+8m＝10m．
答：GH的长为10m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，由AE-BE=10，找出关于DE的长的一元一次方程是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）1．
【解析】试题分析：根据OC=OB得到∠BCO=∠B，根据弧相等得到∠B=∠D，从而得到答案；根据题意得出CE的长度，设半径为r，则OC=r，OE=r－2，根据Rt△OCE的勾股定理得出半径．
试题解析：（1）证明：∵ OC=OB，∴ ∠BCO=∠B ∵， ∴ ∠B=∠D， ∴ ∠BCO=∠D．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴ CE=．
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2， 设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2，
∴，解得：r=1， ∴⊙O的半径为1
考点：圆的基本性质
21、（1）v＝，见解析；（2）200≤v≤1
【分析】(1)直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
(2)直接利用(1)中所求解析式得出v的取值范围．
【详解】(1)由题意可得：v=，
列表得：
v
…
10
11
625
…
t
…
2
4
6
…
描点、连线，如图所示：
；
(2)当t=20时，v==1，
当t=25时，v==200，
故卸沙的速度范围是：200≤v≤1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
22、不公平，理由详见解析；规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
【分析】根据题意可知游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：不公平，
游戏结果可能性列表如下：
和为，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∴甲、乙获胜的概率不相等，
∴游戏不公平．
规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
（和为奇数，甲胜；和为偶数，乙胜；或和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜．答案不唯一)
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之．
23、（1）点B的坐标为（1，0）.
（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD长度的最大值为.
【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标．
②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】解：（1）∵A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（－3，0），
∴点B的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.
设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则.
∵，∴，解得.
当时；当时，，
∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：
，解得：.
∴直线AC的解析式为.
∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为(q,-q-3).
又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为(q,q2+2q-3).
∴.
∵，
∴线段QD长度的最大值为.
24、（1）16，；（2）见解析；（3）10500（人）.
【分析】(1)利用学生数除以其所占的百分比即可得到总人数，然后用商人数除以总人数即可得到商人所占的百分比;
(2)根据各职业人数之和等于总人数可得职工的人数，据此可补全图形;
(3)利用总人数乘以样本中职工所占百分比即可得到职工人数.
【详解】解：（1）这段时间，到图书馆阅读的总人数为 （万人），
其中商人所占百分比为 ，
故答案为 ， .
（2）职工的人数为 （万人）.
补全条形统计图如图所示.
（3）估计其中职工人数约为 （人）.
【点睛】
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体的知识，能够从两种统计图中整理出解题的有关信息是解题关键.
25、4
【分析】根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂及三角函数值解答即可．
【详解】解：原式＝3+﹣2﹣1+3＝4
【点睛】
本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26、（1）①证明见解析；②；（2）或．
【分析】（1）通过正方形的性质和等量代换可得到，从而可用SAS证明，利用全等的性质即可得出；
（2）先证明 ，则有 ，进而可证明 ，得到，再利用得出 ，作 交EH于点P，则，利用相似三角形的性质得出，则问题可解；
（3）设，则 ，表示出EH,然后利用解出x的值，进而可求EH的长度；当E在BA的延长线上时，画出图形，用同样的方法即可求EH的长度．
【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD，DEFG都是正方形
∴
∵
在和中，
②∵四边形DEFG是正方形
在和中，
在和中，
∵
作 交EH于点P，则
（3）当点E在AB边上时，
设，则
解得
∴
当E在BA的延长线上时，如下图
∵四边形ABCD，DEFG都是正方形
∴
∵
在和中，
∴点G在BC边上
∵四边形DEFG是正方形
在和中，
设，则
解得
∴
综上所述，EH的长度为或．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，掌握全等三角形和相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．
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