资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”．摩天轮是一个圆形，直径AB垂直水平地面于点C，最低点B离地面的距离BC为1.6米．某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D仰着头看见摩天轮的圆心时，仰角为37º，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D’，当洋洋坐的桥厢F与圆心O在同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为42º，已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是（ ）
（参考数据：sin37º≈0.60，tan37º≈0.75，sin42º≈0.67，tan42º≈0.90）
A．118.8米 B．127.6米 C．134.4米 D．140.2米
4．将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
5．由于受猪瘟的影响，今年9 月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23 元，连续两次上涨后，售价上升到每千克40 元，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．圆心角为140°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）cm1．
A．π B．3π C．9π D．6π
7．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
8．四边形为平行四边形，点在的延长线上，连接交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为(x1，1)、(x2，1)，其中1＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞1；②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c＝1．其中，正确的结论有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．③④⑤ D．①③⑤
10．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______．
12．如图，平行四边形中，，.以为圆心，为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点.若用扇形围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为；若用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为，则的值为______.
13．我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______.
15．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_____．
16．设、是关于的方程的两个根，则__________．
17．如图，扇形ABC的圆心角为90°，半径为6，将扇形ABC绕A点逆时针旋转得到扇形ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，若点D刚好落在上，则阴影部分的面积为_____．
18．如图，在矩形中，. 若将绕点旋转后，点落在延长线上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图，，点在射线上．
求作：正方形，使线段为正方形的一条边，且点在内部．
20．（6分）某校为了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）补全条形统计图并填空，本次调查的学生共有 名，估计该校2000名学生中“不了解”的人数为 ．
（2）“非常了解”的4人中有A1、A2两名男生，B1、B2两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名男生的概率．
21．（6分）如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点，点，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一动点，过P作交BC于D，当面积最大时，求点P的坐标；
（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，求点M的坐标.
22．（8分）用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
23．（8分）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是射线DC上的点，连接AE，将△ADE沿直线AE翻折得△AFE．
（1）如图①，点F恰好在BC上，求证：△ABF∽△FCE；
（2）如图②，点F在矩形ABCD内，连接CF，若DE＝1，求△EFC的面积；
（3）若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则DE的长为 ．
26．（10分）解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝1；
（2）3x2﹣x﹣1＝1．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，
其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，
∴所得的点数能被3整除的概率为，
故选B．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟记概率的计算公式是解题的关键.
2、D
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
3、B
【分析】连接EB，根据已知条件得到E′，E，B在同一条直线上，且E′B⊥AC，过F做FH⊥BE于H，则四边形BOFH是正方形，求得BH=FH=OB，设AO=OB=r，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接EB，
∵D′E′=DE=BC=1.6
∴E′，E，B在同一条直线上，且E′B⊥AC，
过F做FH⊥BE于H，
则四边形BOFH是正方形，
∴BH=FH=OB，
设AO=OB=r，
∴FH=BH=r，
∵∠OEB=37°，
∴tan37°=，
∴BE=，
∴EH=BD-BH=，
∵EE′=DD′=49，
∴E′H=49+，
∵∠FE′H=42°，
∴tan42°=，
解得r≈63，
∴AC=2×63+1.6=127.6米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形——仰角与俯角问题，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4、D
【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可.
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后所得到的抛物线为：.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基础知识，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.
5、A
【分析】根据增长率a%求出第一次提价后的售价，然后再求第二次提价后的售价，即可得出答案.
【详解】根据题意可得：23(1+a%)2=40，故答案选择A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，比较简单，记住公式“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”.
6、D
【解析】试题分析：扇形面积的计算公式为：，故选择D．
7、C
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．
【详解】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AE：AB，
∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=2：5，
∵EF=4，
∴4：BC=2：5，
∴BC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=1．
【点睛】
本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．
8、D
【分析】根据四边形为平行四边形证明，从而出，对各选项进行判断即可．
【详解】∵四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的线段比例问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定是解题的关键．
9、A
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠1)的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞1，故①正确；
∵该函数图象的对称轴是x=﹣1，当x=1时的函数值小于﹣1，
∴x=﹣2时的函数值和x=1时的函数值相等，都小于﹣1，
∴4a﹣2b+c＜﹣1，故②错误；
∵该函数图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的交点为(x1，1)、(x2，1)，其中1＜x2＜1，
∴﹣3＜x，1＜﹣2，故③正确；
∵当x=﹣1时，该函数取得最小值，
∴当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm，故④正确；
∵1，
∴b=2a．
∵x=1时，y=a+b+c＞1，
∴3a+c＞1，故⑤错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10、C
【分析】根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.
【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴红灯的概率是：.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得：560（1-x）2=1，
故答案为560（1-x）2=1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
12、1
【分析】设AB=a，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF与弧长BE，即可求出的值.
【详解】设AB=a，
∵
∴AD=1.5a，则DE=0.5a，
∵平行四边形中，，∴∠D=120°，
∴l1弧长EF==
l2弧长BE==
∴==1
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
13、10%．
【解析】设该公司缴税的年平均增长率是x，
则去年缴税40(1＋x) 万元， 今年缴税40(1＋x) (1＋x) ＝40(1＋x)2万元．
据此列出方程：40(1＋x)2=48.4，解得x=0.1或x=－2.1（舍去）．
∴该公司缴税的年平均增长率为10%．
14、
【分析】对于一元二次方程，当时有实数根，由此可得m的取值范围.
【详解】解：由题意可得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.
15、10%
【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为7000（1−x），12月份的房价为7000（1−x）2，然后根据12月份的价格即可列出方程解决问题．
【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，
由题意，得：7000（1﹣x）2＝5670，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【点睛】
本题是一道一元二次方程的应用题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
16、1
【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=1
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠0),则有：，是解答本题的关键．
17、3π+9．
【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD，进而得出答案.
【详解】
解：连接BD，过点B作BN⊥AD于点N，
∵将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，
∴∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
则∠ABN＝30°，
故AN＝3，BN＝3，
S阴影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD
＝﹣（﹣×6×3）
＝3π+9．
故答案为3π+9．
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积求法以及等边三角形的判定与性质. 正确得出△ABD是等边三角形是关键.
18、
【分析】先利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD和BC的长，再求出和扇形BDE的面积，两者作差即可得.
【详解】由矩形的性质得：
的面积为
扇形BDE所对的圆心角为，所在圆的半径为BD
则扇形BDE的面积为
所以图中阴影部分的面积为
故答案为：.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、扇形的面积公式，这是一道基础类综合题，求出扇形BDE的面积是解题关键.
三、解答题(共66分)
19、见详解
【分析】先以点B为圆心，以BD为半径画弧，作出点E,再分别以点D,点E为圆心，以BD为半径画弧，作出点F,连结即可作出正方形.
【详解】如图，
作法：1.以点B为圆心，以BD长为半径画弧，交AB于点E；
2.分别以点D,点E为圆心，以BD长为半径画弧，两弧相交于点F,
3.连结EF,FD,
∴四边形DBEF即为所求作的正方形.
理由：
∵BD=DF=FE=EB
∴四边形DBEF为菱形，
∵
∴四边形DBEF是正方形.
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正方形的判定.解题的关键是熟记作图的方法及正方形的判定．
20、（1）图详见解析，50，600；（2）．
【分析】（1）由“非常了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“不了解”的人数，用总人数乘以样本中“不了解”人数所占比例可得；
（2）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷8%＝50人，
则不了解的学生人数为50﹣（4+11+20）＝15人，
∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有2000×＝600人，
补图如下：
故答案为：50、600；
（2）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（恰好抽到2名男生）＝＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
21、（1）；（2）当时，S最大，此时；（3）或
【分析】（1）先根据射影定理求出点，设抛物线的解析式为：，将点代入求出，然后化为一般式即可；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设，用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况求解：当时和当时.
【详解】（1）∵，，
∴，.
∵，
∴由射影定理可得：，
∴，∴点，
设抛物线的解析式为：，将点代入上式得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设，
设，
把，代入得
，
∴，
∴，
∴，
同样的方法可求，
故可设，把代入得，
联立解得：，
∴，
，
故当时，S最大，此时；
（3）由题知，，
当时，，
∴点C与点M关于对称轴对称，
∴；
当时，过M作于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，
∵∠，BFM=∠BGF，
∴△MFK∽△FGB，
同理可证：，
∴，，
设，则，
∴，
∴，代入，
解得
，或（舍去），
∴，
故或.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的图像与性质，一次函数图像交点坐标与二元一次方程组解的关系，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，难度较大，属中考压轴题.
22、当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【分析】根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解．
【详解】解：如图甲：设矩形的面积为S，
则S＝8×（18﹣8）＝2．
所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为2；
如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为（18﹣1x﹣8）+8＝（18﹣x）m．
所以S＝x（18﹣x）＝﹣x1+18x＝﹣（x﹣9）1+81
因为﹣1＜0，
当x＝9时，S有最大值为81，
所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度一般，关键在于找到等量关系列出方程求解，另外注意配方法求最大值在实际中的应用
23、，（4，1），（1，0）
【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题；
本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c．
把（-1，0）（0，1），（2，9）代得到
解得，
∴二次数解析式y=-x +4x+1．
当x=4时，y=1,
当y=0时，x=-1或1.
24、（1）证明见解析；（2）2；（3）．
【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．
【详解】解：（1）连接OH、OM，∵H是AC的中点，O是BC的中点
∴OH是△ABC的中位线
∴OH∥AB，∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB
又∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
∵OC=OM，∠COH=∠MOH，OH=OH
∴△COH≌△MOH（SAS）
∴∠HCO=∠HMO=90°
∴MH是⊙O的切线；
（2）∵MH、AC是⊙O的切线
∴HC=MH=
∴AC=2HC=3
∵tan∠ABC=，∴=
∴BC=4
∴⊙O的半径为2；
（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I
∵AC与AN都是⊙O的切线
∴AC=AN，AO平分∠CAD
∴AO⊥CN
∵AC=3，OC=2
∴由勾股定理可求得：AO=
∵AC•OC=AO•CI，∴CI=
∴由垂径定理可求得：CN=
设OE=x，由勾股定理可得：
∴，
∴x=，∴CE=，
由勾股定理可求得：EN=，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN=．
25、（1）证明见解析；（2）；（3）、5、15、
【分析】（1）利用同角的余角相等，证明∠CEF＝∠AFB，即可解决问题;（2）过点F作FG⊥DC交DC与点G，交AB于点H,由△FGE∽△AHF得出AH=5GF，再利用勾股定理求解即可;（3）分①当∠EFC=90°时; ②当∠ECF=90°时;③当∠CEF=90°时三种情况讨论解答即可.
【详解】（1）解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝90°
由折叠可得：∠D＝∠EFA＝90°
∵∠EFA＝∠C＝90°
∴∠CEF＋∠CFE＝∠CFE＋∠AFB＝90°
∴∠CEF＝∠AFB
在△ABF和△FCE中
∵∠AFB＝∠CEF，∠B＝∠C＝90°
△ABF∽△FCE
（2）解：过点F作FG⊥DC交DC与点G，交AB于点H，则∠EGF＝∠AHF＝90°
在矩形ABCD中，∠D＝90°
由折叠可得：∠D＝∠EFA＝90°，DE＝EF＝1，AD＝AF＝5
∵∠EGF＝∠EFA＝90°
∴∠GEF＋∠GFE＝∠AFH＋∠GFE＝90°
∴∠GEF＝∠AFH
在△FGE和△AHF中
∵∠GEF＝∠AFH，∠EGF＝∠FHA＝90°
∴△FGE∽△AHF
∴＝
∴＝
∴AH=5GF
在Rt△AHF中，∠AHF＝90°
∵AH2＋FH2=AF2
∴（5 GF）2＋（5 －GF）2=52
∴GF＝
∴△EFC的面积为××2＝ ;
（3）解：①当∠EFC=90°时，A、F、C共线，如图所示:
设DE=EF=x,则CE=3-x,
∵AC=,∴CF=-x, ∵∠CFE=∠D=90°, ∠DCA=∠DCA, ∴△CEF∽△CAD, ∴,即，解得:ED=x=;
②当∠ECF=90°时,如图所示:
∵AD==5,AB=3, ∴==4, 设=x,则=3-x,∵∠DCB=∠ABC=90°,
∴∽,∴,即，解得:x==;
由折叠可得 : ,设，则，,
在RT△中，
∵,即9²+x²=(x+3)²,解得x==12, ∴;
③当∠CEF=90°时，AD=AF,此时四边形AFED是正方形，∴AF=AD=DE=5,
综上所述，DE的长为:、5、15、.
【点睛】
本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
26、（1）y1＝3，y2＝﹣1；（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）（y﹣1）2﹣4＝1，
（y﹣1）2＝4，
y﹣1＝±2，
y＝±2+1，
y1＝3，y2＝﹣1；
（2）3x2﹣x﹣1＝1，
a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞1，
x＝，
x1＝，x2＝．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
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