资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的个交点坐标为，，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点.
3．已知一个几何体如图所示,则该几何体的主视图是( )
A． B．
C． D．
4．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
5．海南渔民从事海洋捕捞已有上千年历史，南海是海南渔民的“祖宗海”，目前海南共有约25万人从事渔业生产．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×106人 B．25×104人 C．2.5×104人 D．2.5×105人
6．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长
7．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛，顶层一个，以下各层堆成六边形，逐层每边增加一个花盆，则第七层的花盆的个数是（ ）
A．91 B．126 C．127 D．169
9．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）
A． B． C． D．
10．若数据，，…，的众数为，方差为，则数据，，…，的众数、方差分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算的结果是_____________．
12．已知和是方程的两个实数根，则__________．
13．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______．
14．如图，已知⊙的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标是___________________．
15．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．
16．反比例函数y=的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围是 ______．
17．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________．
18．二次函数y＝2x2﹣5kx﹣3的图象经过点M（﹣2，10），则k＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）两辆车中恰有一辆车向左转；
（2）两辆车行驶方向相同．
20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；
（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.
21．（6分）已知，反比例函数的图象经过点M（2，a﹣1）和N（﹣2，7+2a），求这个反比例函数解析式．
22．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点及点O都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）以点O为位似中心，在网格区域内画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似（A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点），且位似比为2：1；
（2）△A′B′C′的面积为 个平方单位；
（3）若网格中有一格点D′（异于点C′），且△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D′．（如果这样的点D′不止一个，请用D1′、D2′、…、Dn′标出）
23．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且利润率不得高于.经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/千克）
45
50
55
销售量（千克）
110
100
90
（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的范围；
（2）设每天销售该商品的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润=收入-成本），并求出售价为多少元时每天销售该商品所获得最大利润，最大利润是多少？
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．
（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C．求n的值．
（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA1、AC1、CC1．求证：四边形AA1CC1是矩形；
（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A，连结AC2、A2C、CC2．
①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；
②若AB＝，请直接写出AA2的长．
25．（10分）如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接
(1)求证:是的切线；
(2)点为上的一动点，连接.
①当 时，四边形是菱形;
②当 时，四边形是矩形.
26．（10分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件；
（2）当时，求与之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另个交点坐标为(3，0)，则可对②进行判断；由对称轴方程可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
【详解】∵观察函数的图象知：抛物线与轴有2个交点，
∴＞0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
∴方程的两个根是，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为，即，
∴，所以③正确；
∵抛物线与轴的两点坐标为，，且开口向下，
∴当y＞0时，的取值范围是，所以④正确；
综上，②③④正确，正确个数有3个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由决定．
2、C
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
3、A
【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．
【详解】该几何体的主视图是：
故选：A
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体正面看到的图，掌握定义是关键.
4、D
【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），
∴平移后抛物线的顶点为（1，3），
∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的几何变换，熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键．
5、D
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.
【详解】25万人=2.5×105人.
故选D.
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6、A
【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.
【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴，
∵A、C是定点，
∴AC的的长恒为定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选A．
【点睛】
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
7、D
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝，
∴这个正多边形的边数是1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．
8、C
【分析】由图形可知：第一层有1个花盆，第二层有1+6=7个花盆，第三层有1+6+12=19个花盆，第四层有1+6+12+18=37个花盆，…第n层有1+6×（1+2+3+4+…+n-1）=1+3n（n-1）个花盆，要求第7层个数，由此代入求得答案即可．
【详解】解：∵第一层有1个花盆，
第二层有1+6=7个花盆，
第三层有1+6+12=19个花盆，
第四层有1+6+12+18=37个花盆，
…
∴第n层有1+6×（1+2+3+4+…+n-1）=1+3n（n-1）个花盆，
∴当n=7时，
∴花盆的个数是1+3×7×（7-1）=1．
故选：C．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，解题关键在于找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
9、A
【解析】根据黄金比的定义得： ，得 .故选A.
10、C
【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据，，…，原来数据相比都增加2，,则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．
【详解】解：∵数据，，…，的众数为，方差为，
∴数据，，…，的众数是a+2，这组数据的方差是b．
故选：C
【点睛】
本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式＝2-2＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12、1
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=-1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论．
【详解】解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-3）2-2×（-1）=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
13、
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14、或或或
【分析】根据圆与直线的位置关系可知，当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1，把1或-1代入到抛物线的解析式中求出横坐标即可．
【详解】∵⊙的半径为1，
∴当⊙与轴相切时，P点的纵坐标为1或-1．
当时，，
解得 ，
∴此时P的坐标为或；
当时，，
解得 ，
∴此时P的坐标为或；
故答案为：或或或．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系和已知函数值求自变量，根据圆与x轴相切找到点P的纵坐标的值是解题的关键．
15、-1
【解析】设另一根为，则1·= -1 ，
解得，=－1，
故答案为－1．
16、k＞0
【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
17、
【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答.
【详解】解：∵正方形的边长是x步，圆的半径为（）步
∴列方程得：.
故答案为.
【点睛】
本题考查圆的面积计算公式，解题关键是找出等量关系.
18、．
【分析】点M（﹣2，10），代入二次函数y＝2x2﹣5kx﹣3即可求出k的值．
【详解】把点M（﹣2，10），代入二次函数y＝2x2﹣5kx﹣3得，
8+10k﹣3＝10，
解得，k＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查求二次函数解析式的系数，解题的关键是将图象上的点坐标代入函数解析式．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）
【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
左
直
右
左
左左
左直
左右
直
左直
直直
直右
右
左右
直右
右右
共有9种等可能结果，其中，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况；两辆车行驶方向相同有3种情况
（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=；
（2）P（两辆车行驶方向相同）=．
【点睛】
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
20、（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；
（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.
【详解】解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
代入表达式，解得a= 1，b=-2，c=-3，
∴故该抛物线解析式为：.
（2）令，
∴x1=-1，x2=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），
∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a
S△BDC=S△PDC+S△PDB
=PD×3
=，
∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；
（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，
过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，
当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.
可求得直线BG解析式为：，
∵B′C⊥BG
故直线B′C解析式为为，
令y=0，则x=，
∴B′C与x轴交点为（，0）
∵OG=，OB=3，
∴∠CGB=60°，
∴B′C= CGsin∠CGB==，
综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
21、y＝﹣．
【分析】根据了反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，则可确定M点的坐标为，然后设反比例函数解析式为，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以点的坐标为，
设反比例函数解析式为，
则，
所以反比例函数解析式为．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
22、（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析
【分析】（1）依据点O为位似中心，且位似比为2：1，即可得到△A′B′C′；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△A′B′C′的面积；
（3）依据△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，即可得到所有符合条件的点D′．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的面积为4×6﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×6＝24﹣4﹣4﹣6＝10；
故答案为：10；
（3）如图所示，所有符合条件的点D′有5个．
【点睛】
此题主要考查位似图形的作图，解题的关键是熟知位似图形的性质及网格的特点.
23、（1）；（2）售价为60元时每天销售该商品所获得最大利润，最大利润是1600.
【解析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
【详解】（1）设y=kx+b，将（50，100）、（55，90）代入，得：
解得： ，
∴y=-2x+200 （40≤x≤60）；
（2）
＝
＝
∵开口向下
∴当时，随的增大而增大，
当时，最大，
答：售价为60元时每天销售该商品所获得最大利润，最大利润是1600.
【点睛】
考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
24、（1）n＝60°；（2）见解析；（3）①m＝120°，四边形AA2CC2是矩形；②AA2＝3．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠COC1即可．（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．（3）①求出∠COC2即可，根据矩形的判定证明即可解决问题．②解直角三角形求出A2C2，再求出AA2即可．
【详解】（1）解：如图1中，
由旋转可知：△A1B1C1≌△ABC，
∴∠A1＝∠A＝30°，
∵OC＝OA，OA1＝OA，
∴OC＝OA1，
∴∠OCA1＝∠A1＝30°，
∴∠COC1＝∠A1+OCA1＝60°，
∴n＝60°．
（2）证明：如图2中，
∵OC＝OA，OA1＝OC1，
∴四边形AA1CC1是平行四边形，
∵OA＝OA1，OC＝OC1，
∴AC＝A1C1，
∴四边形AA1CC1是矩形．
（3）如图3中，
①∵OA＝OA2，
∴∠OAA2＝∠OA2A＝30°，
∴∠COC2＝∠AOA2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴m＝120°，
∵OC＝OA，OA2＝OC2，
∴四边形AA2CC2是平行四边形，
∵OA＝OA2，OC＝OC2，
∴AC＝A2C2，
∴四边形AA2CC2是矩形．
②∵AC＝A2C2＝AB•cos30°＝4×＝6，
∴AA2＝A2C2•cos30°＝6×＝3．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25、 (1)见解析；(2)①60°，②120°.
【分析】（1）连接，由，得到为等边三角形，得到，即可得到，则结论成立；
（2）①连接BD，由圆周角定理，得到∠ABD=30°，则∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根据同旁内角互补得到PE//DB，然后证明，即可得到答案；
②由圆周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直径所对的圆周角为90°，得到，即可得到答案.
【详解】证明：连接，
，
.
，
为等边三角形，
.
点是的三等分点，
，
，
，即，
是的切线.
（2）①当时，四边形是菱形；
如图，连接BD，
∵，
∴，
∴，
∵AB为直径，则∠AEB=90°，
由（1）知，
∴，
∴，
∴PE//DB，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为：60°.
②当时，四边形是矩形.
如图，连接AE、AD、DB，
∵，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∴四边形是矩形.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行解题.
26、（1）；（2）；（3）甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB段可得甲机器的速度，观察BC段结合甲的速度可求得乙的速度；
(2)设当时，与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可；
(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.
【详解】(1)观察图象可知一共加工零件270个，
甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个，
乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个，
故答案为：270，20，40；
设当时，与之间的函数解析式为
把，，代入解析式，得
解得
设甲加工小时时，甲与乙加工的零件个数相等，
乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个，
，
；
乙机器修好后，根据题意则有
，
，
答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键.
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