资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
2．如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是
A． B． C． D．和
3．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）中，若b2＝4a，则（ ）
A．y最大＝5 B．y最小＝5 C．y最大＝3 D．y最小＝3
4．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是( )
A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，以点为位似中心，在网格中画，使与位似，且与的位似比为，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
7．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
8．方程x=x(x-1)的根是（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
9．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在矩形中，，，绕点顺时针旋转到，连接，则________．
12．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出______个小分支．
13．如图：⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为 .
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．
15．某数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.5m，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其中，落在墙壁上的影长为0.8m，落在地面上的影长为4.4m，则树的高为_______m.
16．如图所示，小明在探究活动“测旗杆高度”中，发现旗杆的影子恰好落在地面和教室的墙壁上，测得，，而且此时测得高的杆的影子长，则旗杆的高度约为__________．
17．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
18．已知关于x的方程x2+x+m=0的一个根是2，则m=_____，另一根为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．
20．（6分）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与交于点.
（1）过点作于点，求证：是的切线；
（2）连接，若，求的长.
21．（6分）如图，在直角坐标系中，，．借助网格，画出线段向右平移个单位长度后的对应线段，若直线平分四边形的面积，请求出实数的值．
22．（8分）一件商品进价100元，标价160元时，每天可售出200件，根据市场调研，每降价1元，每天可多售出10件，反之，价格每提高1元，每天少售出10件．以160元为基准，标价提高m元后，对应的利润为w元．
（1）求w与m之间的关系式；
（2）要想获得利润7000元，标价应为多少元？
23．（8分）在一个不透明的口袋中装有3张相同的纸牌，它们分别标有数字3，﹣1，2，随机摸出一张纸牌不放回，记录其标有的数字为x，再随机摸取一张纸牌，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为(x，y)
（1）用列表或画树状图的方法写出点P的所有可能坐标；
（2）写出点P落在双曲线上的概率．
24．（8分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
(2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
25．（10分）（1）计算：sin230°+cos245°
（2）解方程：x（x+1）＝3
26．（10分）如图，已知一次函数分别交x、y轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一交点为C．
（1）求b、c的值及点C的坐标；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，过P作x轴的垂线交抛物线于点D，交线段AB于点E．设运动时间为t（t＞0）秒．
①当t为何值时，线段DE长度最大，最大值是多少？（如图1）
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结BD，若△BOC与△BDF相似，求t的值．（如图2）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】先解关于x的一元一次不等式组 ，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.
【详解】解：由不等式组，解得：
∵解集是x≤a，
∴a<5；
由关于的分式方程 得得2y-a+y-4=y-1
又∵非负整数解，
∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根），a=1，a=3它们的和为1.
故选：B.
【点睛】
本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.
2、B
【解析】试题分析：根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE，即可得到结果.
∵矩形
∴∠A=∠D=90°
∴∠DEF+∠DFE=90°
∵
∴∠AEB+∠DEF=90°
∴∠AEB=∠DFE
∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE
∴∽
故选B.
考点：矩形的性质，相似三角形的判定
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
3、D
【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝，代入顶点公式即可求得．
【详解】解：∵b2＝4a，
∴，
∴
∵，
∴y最小值＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.
4、B
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
5、A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得a2+3a的值，然后再代入求值即可.
【详解】解：根据题意，得
a2+3a﹣1＝0，
解得：a2+3a＝1，
所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键
6、B
【解析】利用位似性质和网格特点，延长CA到A1，使CA1=2CA，延长CB到B1，使CB1=2CB，则△A1B1C1满足条件；或延长AC到A1，使CA1=2CA，延长BC到B1，使CB1=2CB，则△A1B1C1也满足条件，然后写出点B1的坐标．
【详解】解：由图可知，点B的坐标为（3，-2），
如图，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2:1，
则点B1的坐标为（4，0）或（-8，0），位于题目图中网格点内的是（4,0），
故选：B．
【点睛】
本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形，注意有两种情况．
7、D
【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
8、D
【详解】解：先移项，再把方程左边分解得到x（x﹣1﹣1）=0，
原方程化为x=0或x﹣1﹣1=0，
解得：x1=0； x2=2
故选D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧进行计算是解题关键．
9、C
【分析】过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示：
则，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选C．
【点睛】
考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.
10、B
【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=-，得到空白部分的面积=+，于是得到结论．
【详解】
解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB
∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=
∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（）=-，
∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（-）=+，
∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，
故选B．
【点睛】
此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据勾股定理求出BD，再根据等腰直角三角形的性质，BF=BD计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠A=90°，
∵AB=6，
∴BD===10，
∵△BEF是由△ABD旋转得到，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=10，
故答案为10．
【点睛】
本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
12、6
【分析】设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13、．
【解析】试题分析：根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．
试题解析：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴阴影部分的面积=．
考点：扇形面积的计算．
14、1或2
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的长为1或2，
故答案为：1或2
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
15、9.2
【分析】由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，
解得x=1.1．
树高是1.1+0.1=9.2（米）．
故答案为：9.2．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是从复杂的数学问题中整理出三角形并利用相似三角形求解.
16、1
【分析】作BE⊥AC于E，可得矩形CDBE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CE的长度即为旗杆的高度
【详解】解：作BE⊥AC于E，
∵BD⊥CD于D，AC⊥CD于C，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BE=CD=1m，CE=BD=2m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，即，
解得AE=2（m），
∴AC=AE+EC=2+2=1（m）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
17、（1,4）.
【解析】试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
考点：抛物线的顶点.
18、；.
【解析】先把x=2代入方程，易求k，再把所求k的值代入方程，可得，再利用根与系数的关系，可求出方程的另一个解：
解：把x=2代入方程，得.
再把代入方程，得.
设次方程的另一个根是a，则
2a=-6，
解得a=-3.
考点：1.一元二次方程的解；2.根与系数的关系．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）连接OE，由知∠1＝∠2，由∠2＝∠1可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；
（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝1．
【详解】解：（1）如图，连接OE，
∵，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠1，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，
解得：r＝1，
故⊙O的半径为1．
【点睛】
本题考查圆切线的性质,关键在于熟记基本性质,结合图形灵活运用.
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，ND，可知∠CND=90°，再证，即可证，最后根据切线的定义求得答案；
【详解】解：如图
连接，，
在中，为斜边中线，
∴，
∵是的直径.
∴，
∴，
∵等腰三线合一，
∴，
∵在中，为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）连接， 则四边形为矩形，
，
∴
,
，
∴
∴
【点睛】
本题考查的是圆的切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和勾股定理，是一道综合性较强的习题，能够充分调动所学知识多次利用勾股定理求解是解题的关键.
21、
【分析】根据平移变换即可作出对应线段，根据平行四边形的性质，平分平行四边形面积的直线经过平行四边形的中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值．
【详解】画图如图所示：
点坐标为，点坐标为，
的中点坐标为，
又直线平分平行四边形的面积，
则过点，
，
．
【点睛】
本题考查的是作图-平移变换，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式，要注意平分平行四边形面积的直线经过平行四边形的中心的应用．
22、（1）w＝﹣1m2﹣400m+12000（0≤m≤20）；（2）标价应为11元或170元．
【分析】（1）表示出价格变动后的利润和销售件数，然后根据利润＝售价×件数列式整理即可得解；
（2）代入w＝7000得到一元二次方程，求解即可．
【详解】解：（1）w＝（160+m﹣10）（200﹣1m）＝﹣1m2﹣400m+12000（0≤m≤20）
（2）当利润7000元时，即w＝7000，
即﹣1m2﹣400m+12000＝7000，
整理得m2+40m﹣500＝0，
解得m1＝﹣50，m2＝1．
当m＝﹣50时，标价为160+（﹣50）＝11元，
当m＝1时，标价为160+1＝170元．
∴要想获得利润7000元，标价应为11元或170元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握计算法则列出之前的方程.
23、（1）(-1，3) (2，3) (3，-1) (2，-1) (3，2) (-1，2)，表格见解析；（2）．
【分析】（1）首先根据题意列出表格，由表格即可求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得所确定的点P落在双曲线y＝﹣上的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）列表得：
则可能出现的结果共有6个，为(-1，3) (2，3) (3，-1) (2，-1) (3，2) (-1，2)，它们出现的可能性相等；
（2）∵满足点P(x，y)落在双曲线y＝﹣上的结果有2个，为(3，﹣1)，(﹣1，3)，
∴点P落在双曲线上的概率＝＝
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）；（2）.
【解析】试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：
(2)、画树状图得：
结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是=.
考点：概率的计算.
25、 (1) ；(2) x1＝，x2＝．
【分析】（1）sin30°=，cos45°=，sin230°+cos245°=（）2+（）2=
（2）用公式法：化简得，a=1,b=1,c=-3,b-4ac=13,∴x=.
【详解】解：（1）原式＝（）2+（）2＝；
（2）x（x+1）＝3，
x2+x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，b﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
【点睛】
本题的考点是三角函数的计算和解一元二次方程.方法是熟记特殊三角形的三角函数及几种常用的解一元二次方程的方法.
26、（1）b=2，c=3，C点坐标为（-1，0）；（2）①；②
【分析】（1）由一次函数求出点A、B坐标，代入抛物线解析式可求出b、c的值，令y=0可求出点C的坐标；
（2）①由题意可知P(t,0),D(t, )、E（t,-t+3），然后表示出DE，利用二次函数的最值即可求出DE最大值；
②分别用t表示出AP、EP、AE、DE、EF、BF，然后分类讨论相似的两种情况，或，列式求解即可.
【详解】解：（1）在中令x=0,得y=3, 令y=0,得x=3,
∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y=0则0=﹣x2+2x+3，
解得，
∴C点坐标为（-1，0）；
（2）①由题知P(t,0),D(t, )、E（t,-t+3）;
∴DE=()-()
∴当时，DE长度最大，最大值为；
②∴A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB,
∴∠BAO=45°，
在Rt△PAE中，∠PAE=45°，；
在Rt△DEF中，∠DEF=45°，；
∴
若△BDF∽△CBO相似，则，即：,
解得：(舍去)；，
若△BDF∽△BCO相似，则，即：,
解得：(舍去)；，；
综上，或时，△BOC与△BDF相似.
【点睛】
本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、三角形相似、一次函数、解方程等知识点，难度较大．最后一问为探索题型，注意进行分类讨论．
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