资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．x＜-2或x＞2 B．x＜-2或0＜x＜2
C．-2＜x＜0或0＜x＜2 D．-2＜x＜0或x＞2
2．如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，若∠BAC′=80°，则∠B′AC=（ ）‘
A．20° B．25° C．30° D．35°
4．下列各坐标表示的点在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是( )
A．64 B．16 C．24 D．32
7．数据60，70，40，30这四个数的平均数是（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是
A． B． C． D．
9．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．如果可以通过配方写成的形式，那么可以配方成（ ）
A． B． C． D．
11．图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（ ）
A．①④⑤ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____．
14．分解因式：=_________.
15．已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB=AC=8千米，那么 BC=________千米．
16．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．
17．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为_____．
18．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题：
⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值；
⑶当t的值为 ，△AMN是等腰三角形．
20．（8分）（1）计算：
（2）解不等式：
21．（8分）课外活动时间，甲、乙、丙、丁4名同学相约进行羽毛球比赛.
（1）如果将4名同学随机分成两组进行对打，求恰好选中甲乙两人对打的概率；
（2）如果确定由丁担任裁判，用“手心、手背”的方法在另三人中竞选两人进行比赛．竞选规则是：三人同时伸出“手心”或“手背”中的一种手势，如果恰好只有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新竞选.这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，求一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率.
22．（10分）（1）计算.sin30°tan45°－cos30°tan30°＋sin45°tan60°
（2）已知cos(180°﹣a)=﹣cosa，请你根据给出的公式试求cos120°的值
23．（10分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．
（1）直接写出点B的坐标是 ；
（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，中，，，为内部一点，且.
(1)求证：；
(2)求证：.
25．（12分）（1）解方程：
（2）某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同，求该快递公司投递总件数的月平均増长率．
26．一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．
（1）“其中有1个球是黑球”是 事件；
（2）求2个球颜色相同的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为1，∴点B的横坐标为-1，
∵由函数图象可知，当-1＜x＜0或x＞1时函数y1=k1x的图象在的上方，
∴当y1＞y1时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y1时x的取值范围是解答此题的关键．
2、C
【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD、AC，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA：CD=6：3=2，故选C．
3、A
【解析】根据图形旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，对应点旋转的角度即是图形旋转的角度，可直接得出∠C′AC=30°，由∠BAC′=80°可得∠BAC=∠B′AC′=50°，从而可得结论.
【详解】由旋转的性质可得，∠BAC=∠B′AC′，
∵∠C′AC=30°，
∴∠BAC=∠B′AC′=50°，
∴∠B′AC=20°.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，这是解决问题的关键．
4、B
【解析】根据反比例函数的性质，分别代入A、B、C、D点，横坐标与纵坐标的积为4即可.
【详解】A、（-1）×4= -4，故错误.
B、1×4= 4，故正确.
C、1×-4= -4，故错误.
D、2×（-2）= -4，故错误.
故选B.
【点睛】
本题考查反比例函数图像上点的坐标特征.
5、B
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，
故选B．
【点睛】
本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
6、D
【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，
则：S=AC•BD=x（16-x）=-（x-8）2+32，
当x=8时，S最大=32；
所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，
故选D．
【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
7、B
【分析】用四个数的和除以4即可.
【详解】（60+70+40+30）÷4=200÷4=50.
故选B.
【点睛】
本题重点考查了算术平均数的计算，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用.
数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn).
8、D
【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【详解】A、由二次函数y＝ax2＋bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以A选项错误；
B、由二次函数y＝ax2＋bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax＋b经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y＝ax2＋bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax＋b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y＝ax2＋bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax＋b经过第二、三、四象限，所以D选项正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．
9、A
【解析】解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=∠AOB=30°
故选A．
10、B
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】∵x2−8x＋m＝0可以通过配方写成（x−n）2＝6的形式，
∴x2−8x＋16＝16−m，x2−2nx＋n2＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2＋8x＋m＝x2＋8x＋10＝0，
∴（x＋4）2＝6，即
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
11、C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12、C
【分析】①根据对称轴x=1，确定a，b的关系，然后判定即可；
②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；
③方程ax2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可；
④根据对称性判断即可；
⑤由图象可得，当1<x<4时，抛物线总在直线的上面，则y2<y1．
【详解】解：①∵对称轴为：x=1，
∴ 则a=-2b,即2a+b=0，故①正确;
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴c＞0
∴abc<0,故②不正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1,3）
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③正确；
∵抛物线对称轴是：x=1，B（4,0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）故④错误；
由图象得：当1<x<4时，有y2<y1；故⑤正确．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像,考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、30°
【解析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.
【详解】连接CD.
由题意得∠COD=90°，
∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C（，0），
∴OD=1，OC=，
∴CD==2，
∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）
故答案为30°.
【点睛】
本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.
14、
【解析】提取公因式法和公式法因式分解．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
15、8
【解析】因为点B位于点A北偏东30°方向,点C位于点A北偏西30°方向,所以∠BAC=60°,因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB=AC=8千米,故答案为:8.
16、
【解析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b值即可解决问题.
【详解】设AB=a，AD=b，则ab=32，
由∽可得：，
∴，
∴，
∴，，
设PA交BD于O，
在中，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.
17、．
【分析】由图可知，三角板和量角器重叠部分的面积为扇形OAB的面积与△OBC面积的和，由此其解
【详解】解： ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．
在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，
∴．
∴．
故答案为：
18、-3
【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）， ；（2）t=；（3）或或
【分析】（1）如图过点M作MD⊥AC于点D，利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题；
（2）连接PM,交AC于D，，当四边形MNPC为菱形时，ND=，即可用t表示AD，再结合第一问的相似可以用另外一个含t式子表示AD，列方程计算即可；
（3）分别用t表示出AP、AQ、PQ，再分三种情况讨论：①当AQ＝AP②当PQ＝AQ③当PQ＝AP，再分别计算即可．
【详解】解：⑴过点M作MD⊥AC于点D．
∵,；
∴AB=10cm．BM=AN=2t
∴AM=10-2t．
∵△ADM∽△ACB
∴即
∴
∴
又
∴S的最大值是；
⑵连接PM,交AC于D，
∵四边形MNPC是菱形，则MP⊥NC,ND=CD
∵CN=8-2t
∴ND=4-t
∴AD=2t+4-t=t+4
由⑴知AD=
∴=t+4
∴t=；
（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，与（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4
∴PQ＝＝＝，
在△APQ中，
①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；
②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；
③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；
∵0＜t＜4，
∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
20、（1）4；（2）.
【分析】（1）先计算乘方、除法、二次根式化简，再将结果相加即可；
（2）按照去括号、移项、系数化为1的步骤即可求出解集.
【详解】（1）原式=4；
（2），
，
，
.
【点睛】
此题考查计算能力，（1）考查实数的计算，按照计算顺序正确计算即可；（2）考查解不等式，根据计算顺序正确计算即可.
21、（1）；（2）
【解析】分析：列举出将4名同学随机分成两组进行对打所有可能的结果，找出甲乙两人对打的情况数，根据概率公式计算即可.
画树状图写出所有的情况，根据概率的求法计算概率.
详解：（1）甲同学能和另一个同学对打的情况有三种：
（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁）
则恰好选中甲乙两人对打的概率为：
（2）树状图如下：
一共有8种等可能的情况，其中能确定甲乙比赛的可能为（手心、手心、手背）、（手背、手背、手心）两种情况，因此，一次竞选就能确定甲、乙进行比赛的概率为.
点睛：考查概率的计算，明确概率的意义时解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
22、（1）；（2）
【分析】（1）由题意直接利用特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）根据题意利用公式cos（180°-a）=-cosa进行变形，并代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：（1）sin30°tan45°－cos30°tan30°＋sin45°tan60°
=
=．
（2）由题意cos(180°﹣a)=﹣cosa可知，
cos120°= cos(180°﹣60°)
=﹣cos60°
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，解题的关键是记住特殊角的三角函数值进行代入求值即可．
23、（1）点B的坐标为（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）点A1在抛物线上；理由见解析；（4）存在，点P（﹣2，1）．
【分析】（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，通过证明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，从而得知B坐标；
（2）利用待定系数法，将B坐标代入即可求得；
（3）画出旋转后的图形，过点作x轴的垂线，构造全等三角形，求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出P的坐标，再根据中心对称的性质 与线段中点的公式列出方程求解即可．
【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO，
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
在△BDC和△COA中：
∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），
∴1＝9a﹣3a﹣2，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，
∴A1，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A1CM中：
∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,
∴△BDC≌△A1CM
∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，
∴OM＝1，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，
y＝﹣1，
∴点A1在抛物线上．
（4）设点P（t， t2﹣t﹣2），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
解得：t＝﹣2，
t2﹣t﹣2＝1
所以：存在，点P（﹣2，1）．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与几何图形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
24、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，进而得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论.
【详解】证明：（1）∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．
25、（1）；（2）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．
【分析】（1）用因式分解法即可求解；
（2）五月份完成投递的快递总件数=三月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而列出方程，解方程即可．
【详解】（1）
∴
∴4x-3=0或2x+1=0
∴
（2）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意舍去）
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键．
26、（1）随机
（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用随机事件的定义分析得出答案；
（2）利用树状图法画出图象，进而利用概率公式求出答案．
试题解析：（1）“其中有1个球是黑球”是随机事件；
故答案为随机；
（2）如图所示：
，
一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为：=．
考点：列表法与树状图法．
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