北京市第五中学2023届高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．设，且，则的最小值是（）
A. B.8
C. D.16
3．若函数，，则函数的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像
①先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变.
②先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变.
③将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变.
④将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变.
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
4．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是
A. B.
C. D.
5．函数的最大值是（）
A. B.1
C. D.2
6．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
7．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)
A.2 B.
C. D.
8．已知函数，则的大致图像为（）
A. B.
C. D.
9．已知x是实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知函数是上的奇函数，且对任意实数、当时，都有.如果存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
11．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（）
A.10 B.30
C.50 D.70
12．命题“”的否定为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．集合的子集个数为______
14．关于函数与有下面三个结论：
①函数的图像可由函数的图像平移得到
②函数与函数在上均单调递减
③若直线与这两个函数的图像分别交于不同的A，B两点，则
其中全部正确结论的序号为____
15．函数的单调递减区间为___________.
16．新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检!核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足：，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增8次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为___________；该被测标本DNA扩增13次后，数量变为原来的___________倍.（参考数据：，，，，）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．某学校高一学生有1000名学生参加一次数学小测验，随机抽取200名学生的测验成绩得如图所示的频率分布直方图：

（1）求该学校高一学生随机抽取的200名学生的数学平均成绩和标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）；
（2）试估计该校高一学生在这一次的数学测验成绩在区间之内的概率是多少？测验成绩在区间之外有多少位学生？（参考数据：）
18．设函数，其中，且.
（1）求的定义域；
（2）当时，函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴，并证明.
19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点
（1）求，；
（2）求的值
20．已知直线l1过点A(1,0)，B(3，a－1)，直线l2过点M(1,2)，N(a＋2,4)
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值
21．已知函数为奇函数
（1）求的值；
（2）当时，关于的方程有零点，求实数的取值范围
22．已知函数，
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.
【详解】∵，∴，
根据题意结合正弦函数图象可得
，解得.
故选：B.
2、B
【解析】转化原式为，结合均值不等式即得解
【详解】由题意，故
则
当且仅当，即时等号成立
故选：B
3、A
【解析】依次判断四种变换方式的结果是否符合题意，选出正确变换
【详解】函数，先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，函数变为，所以①合题意；先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，函数变为，所以②不合题意；将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，函数变为，所以③合题意；将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，函数变为，所以④不合题意，故选择A
【点睛】在进行伸缩变换时，横坐标变为原来的倍；
向左或向右进行平移变换注意平移单位要加或减在“”上
4、A
【解析】由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数
在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A

点睛：函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错
5、C
【解析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.
【详解】
，
∵，∴函数的最大值是.
故选：C.
6、C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误
7、C
【解析】函数有四个零点，即与图象有4个不同交点，
可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.
【详解】
作出函数的图象如图,
函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标满足，
则，，,
可得,
由，得，
则，可得，
即，，故选C.
【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
8、B
【解析】计算的值即可判断得解.
【详解】解：由题得，所以排除选项A,D.
,所以排除选项C.
故选：B
9、A
【解析】解一元二次不等式得或，再根据集合间的基本关系，即可得答案；
【详解】或，
或，反之不成立，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
10、A
【解析】∵f（x）是R上的奇函数，
∴，
不妨设a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）﹣f（b）＞0，
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在R上单调递增，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x﹣c）+f（x﹣c2）＞0等价于f（x﹣c）＞f（c2﹣x）
∴不等式等价于x﹣c＞c2﹣x，即c2+c＜2x，
∵存在实数使得不等式c2+c＜2x成立，
∴c2+c＜6，即c2+c﹣6＜0，
解得，，
故选A
点睛：处理抽象不等式的常规方法：利用单调性及奇偶性，把函数值间的不等关系转化为具体的自变量间的关系；同时注意区分恒成立问题与存在性问题.
11、A
【解析】利用分层抽样的等比例性质，结合已知求样本中中年职工人数.
【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数＝350：250：150＝7：5：3
由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10
故选：A
12、D
【解析】根据命题的否定的定义写出结论，注意存在量词与全称量词的互换
【详解】命题“”的否定为“”
故选D
【点睛】本题考查命题的否定，解题时一定注意存在量词与全称量词的互换

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、32
【解析】由n个元素组成的集合，集合的子集个数为个.
【详解】解：由题意得，则A的子集个数为
故答案为：32.
14、①②##②①
【解析】根据三角函数的平移法则和单调性知①②正确，取代入计算得到③错误，得到答案.
【详解】向左平移个单位得到，①正确；
函数在上单调递减，函数在上单调递减，②正确；
取，则，，，③错误.
故答案为：①②
15、
【解析】利用对数型复合函数性质求解即可.
【详解】由题知：，解得或.
令，则为减函数.
所以，为减函数，为增函数，
，为增函数，为减函数.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
16、 ①.0.778 ②.1788
【解析】①对数运算，由某被测标本DNA扩增8次后，数量变为原来的100倍，可以求出p；
②由n=13，可以求数量是原来的多少倍.
【详解】

故答案为：①0.778；②1778.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）平均数，样本标准差.（2）概率为0.9356，全校测验成绩在区间之外约有64（人）
【解析】（1）根据频率分布直方图中平均数小矩形底边中点乘以小矩形的面积之和；利用方差公式可求方差，进而可求标准差.
（2）由（1）知，由频率分布直方图求出的概率即可求解.
【详解】（1）数学成绩的样本平均数为：

，
数学成绩的样本方差为：

.
所以估计这批产品质量指标值的样本平均数，
样本标准差.
（2）由（1）知，
则
，
所以（人）
所以估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间之内的概率为0.9356，全校测验成绩在区间之外约有64（人）.
【点睛】本题考查了频率分布直方图，根据频率分布直方图求出样本数据特征，需掌握公式，属于基础题.
18、（1）当时，定义域为；当时，定义域为.（2）不存在，证明见解析.
【解析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.
（2）首先根据单调性定义得到函数在为增函数，从而得到函数图像上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴.
【详解】（1）由题知：，
①当时，即，则，定义域为.
②当时，即，则，定义域为.
综上，当时，定义域为；当时，定义域为.
（2）因为，所以函数的定义域为，
任取，且，
因为，所以，因为，所以，
所以，即，
所以，函数在为增函数，
所以函数图象上不存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴.
19、（1）
（2）1
【解析】（1）根据三角函数的定义，计算即可得答案.
（2）根据诱导公式，整理化简，代入，的值，即可得答案.
【小问1详解】
因为角终边经过点，
所以，
【小问2详解】
原式
20、（1）； （2）.
【解析】由两点式求出l1的斜率
（1）再由两点求斜率的到l2的斜率，由斜率相等求得a的值；
（2）分l1的斜率为0和不为0讨论，当l1的斜率为0时，由M，N的横坐标相等求a得值；不为0时由两直线的斜率乘积等于-1得答案
【详解】
（1）, 即,解得
（2）,即,解得.
【点睛】本题考查了直线的一般式方程与两直线平行、垂直的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题
21、（1）（2）
【解析】（1）利用函数为奇函数所以即得的值(2) 方程有零点，转化为求的值域即可得解.
试题解析：
（1）∵，∴，∴
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴
22、（1）3（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.
（2）利用换元法求解即可.
【小问1详解】
函数

令解得
∴当，时，函数取到最大值3.
【小问2详解】
∵，∴
设，则