资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．如图，已知∥∥，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．2
3． “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
4．下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两队身高一样整齐 B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐 D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
6．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高的小明站在距离路灯的底部（点）的点处，测得自己的影子的长为，则路灯的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．已知分式的值为0，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
8．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
9．有甲、乙、丙、丁四架机床生产一种直径为20mm圆柱形零件，从各自生产的零件中任意抽取10件进行检测，得出各自的平均直径均为20mm，每架机床生产的零件的方差如表：
机床型号
甲
乙
丙
丁
方差mm2
0.012
0.020
0.015
0.102
则在这四台机床中生产的零件最稳定的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知正方形的一条对角线长，则该正方形的周长是___________.
12．如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为_________．
13．已知一个扇形的半径为5cm，面积是20cm2，则它的弧长为_____．
14．=___
15．已知△ABC，D、E分别在AC、BC边上，且DE∥AB，CD＝2，DA＝3，△CDE面积是4，则△ABC的面积是______
16．若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣+2010的值为_____．
17．把抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________．
18．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求tanB的值．
21．（6分）已知函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1（m≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1）当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；
（1）当m＞0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1图象截x轴上的线段长度小于1．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝，请你解答下列问题：
（1）m＝ ，抛物线与x轴的交点为 ．
（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
（3）x取什么值时，y＜0？
23．（8分）问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．
（1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）
（2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长；
（3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系．
24．（8分）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
25．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，cosC=，AB=5，求△ABC的面积．
26．（10分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．
【详解】如图所示：
∵AB＝3，BC＝1，
∴cosB＝＝．
故选：A．
【点睛】
考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.
2、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质即可得出答案进行选择．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE=BD：DF，
∵，
∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，
∴AC：AE=1：3=.
故选A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3、B
【详解】随机事件.
根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断：
抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.
4、C
【解析】根据反比例函数的定义“一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成，其中为常数，，我们就叫y是x的反比例函数”判定即可.
【详解】A、x的指数是，不符定义
B、x的指数是1，y与x是成正比例的，不符定义
C、可改写成，符合定义
D、当是，函数为，是常数函数，不符定义
故选：C.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，熟记定义是解题关键.
5、B
【解析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵S甲=1.7，S乙=2.4，
∴S甲＜S乙，
∴甲队成员身高更整齐；
故选B.
【点睛】
此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键
6、B
【分析】根据平行得：△ABM∽△ODM，列比例式，代入可求得结论．
【详解】解：由题意得：AB∥OC，
∴△ABM∽△OCM，
∴
∵OA=12，AM=4，AB=1.6，
∴OM=OA+AM=12+4=16，
∴
∴OC=6.4，
则则路灯距离地面6.4米.
故选：B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．
7、D
【分析】分析已知和所求，根据分式值为0的条件为：分子为0而分母不为0，不难得到=0且≠0；根据ab=0，a=0或b=0，即可解出x的值，再根据≠0，即可得到x的取值范围，由此即得答案.
【详解】∵的值为0
∴=0且≠0.
解得：x=3.
故选:D.
【点睛】
考核知识点：分式值为0.理解分式值为0的条件是关键.
8、C
【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式列方程可得=1．
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
9、A
【分析】根据方差的意义，找出方差最小的即可．
【详解】∵这四台机床的平均数相同，甲机床的方差是0.012，方差最小
∴在这四台机床中生产的零件最稳定的是甲；
故选：A．
【点睛】
本题考查了方差和平均数的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质，从而完成求解．
10、D
【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，利用三角形的面积＝底×高，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：作出BC边上的高AD．
∵△ABC是等边三角形，边长为x，
∴CD＝x，
∴高为h＝x，
∴y＝x×h＝．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的面积的求法，找到等边三角形一边上的高是难点，求出三角形的高是解决问题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】对角线与两边正好构成等腰直角三角形，据此即可求得边长，即可求得周长．
【详解】令正方形ABCD，对角线交于点O，如图所示；
∵AC=BD=4，AC⊥BD
∴AO=CO=BO=DO=2
∴AB=BC=CD=AD=
∴正方形的周长为
故答案为.
【点睛】
此题主要考查正方形的性质，熟练掌握，即可解题.
12、（3，）
【分析】根据勾股定理求出AB，由DE⊥BD，取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD，设AE=x，利用相似三角形求出x，再根据三角形相似求出点E的横纵坐标即可.
【详解】∵A(4,0)，B（0,3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
取BE的中点F，以点F为圆心，BF长为半径作半圆，与x轴相切于点D，连接FD，
设AE=x，则BF=EF=DF=，
∵∠ADF=∠AOB=90°，
∴DF∥OB
∴△ADF∽△AOB
∴
∴，
解得x=，
过点E作EG⊥x轴，
∴EG∥OB，
∴△AEG∽△ABO，
∴，
∴,
∴EG=，AG=1，
∴OG=OA-AG=4-1=3，
∴E（3，）,
故答案为：（3，）.
【点睛】
此题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，本题借助半圆解题使题中的DE⊥BD所成的角确定为圆周角，更容易理解，是解此题的关键.
13、1
【分析】利用扇形的面积公式S扇形弧长×半径，代入可求得弧长．
【详解】设弧长为L，则20L×5，解得：L=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积等于弧长和半径乘积的一半是解答本题的关键．
14、
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：原式==.
故答案为：.
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15、25
【分析】根据DE∥AB得到△CDE∽△CAB，再由CD和DA的长度得到相似比，从而确定△ABC的面积.
【详解】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵CD＝2，DA＝3，
∴，
又∵△CDE面积是4，
∴，
即，
∴△ABC的面积为25.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
16、1
【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．
【详解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴5m2﹣3m﹣1＝0，
∴5m2﹣1＝3m，
两边同时除以m得：5m﹣＝3，
∴15m﹣+2010＝3（5m﹣）+2010＝9+2010＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.
17、
【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．
【详解】抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是
即
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
18、1
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a+b﹣1＝0，
即a+b＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）相交，证明见解析
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．
【详解】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点，
∴3＝a（0﹣4）2﹣1，
a＝；
∴抛物线的表达式为：；
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝1．
，，，
对称轴x＝4，
∴OB＝2，AB＝，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即，解得，
∵，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系等内容，掌握数形结合的思想是解题的关键．
20、
【分析】过A点作AD⊥BC，将等腰三角形转化为直角三角形，利用勾股定理求AD，利用锐角三角函数的定义求∠B的正切值．
【详解】过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴BD=DC=BC=5，
∴AD，
在Rt△ABD中，
∴tanB．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．
21、（1）详见解析；（1）详见解析．
【分析】（1）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1+，利用二次函数的性质得当m＞1+时，y随x的增大而减小，从而可对（1）的结论进行判断；
（1）设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x1，则根据根与系数的关系得到x1+x1＝，x1x1＝，利用完全平方公式得到|x1﹣x1|＝＝＝|1﹣|，然后m取时可对（1）的结论进行判断．
【详解】解：（1）的结论正确．理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
∵m＜0，
∴当m＞1+时，y随x的增大而减小，
而1＞1+，
∴当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；
（1）的结论错误．理由如下：
设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x1，则x1+x1＝，x1x1＝，
|x1﹣x1|＝
＝
＝
＝
＝|1﹣|，
而m＞0，
若m取时，|x1﹣x1|＝3，
∴当m＞0时，函数y＝mx1﹣(1m+1)x+1图象截x轴上的线段长度小于1不正确．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性问题，与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22、（1）2；（﹣1，1），（2，1）；（2）x＞；（3）x＜﹣1或x＞2
【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到−=，解方程得到m的值，从而得到y＝−x2＋x＋2，然后解方程−x2＋x＋2＝1得抛物线与x轴的交点；（2）根据二次函数的性质求解；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝−=，
∴m＝2，
抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，1），（2，1）；
（2）由函数图象可知,
当x＞时，y的值随x的增大而减小；
（3）由函数图象可知,
当x＜﹣1或x＞2时，y＜1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠1）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23、（1）30；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意根据全等三角形的性质以及运用等量代换得出，进而得出的面积即阴影部分的面积；
（2）由题意把绕点旋转到处，使与重合，利用全等三角形的性质进行等量代换得出，进而进行分析即可；
（3）根据题意延长AC到G，使CG=BE，并构造全等三角形，运用全等三角形的判定和性质进行分析即可 ．
【详解】解：（1）∵绕点逆时针旋转一定的角度到达，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴等量代换可知，
∵，，
∴阴影部分的面积即的面积为：.
（2）如图，把绕点旋转到处，使与重合，可得.
，
，
即，、、三点共线.
又，四个角都为，
四边形是正方形，易得.
，即.
（3）线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF=BE+CF.
理由：如图，延长AC到G，使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG，
在△DBE和△DCG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF，
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．
【点睛】
本题考查四边形的综合问题，根据题意熟练掌握全等三角形的判定与性质以及四边形的性质，综合运用数形结合思维分析是解题的关键.
24、（1）3；（2）；（3）
【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
【详解】设塔的顶层共有盏灯，由题意得
.
解得，
顶层共有盏灯.
设,
,
即：
.
即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知：为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，
则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，
②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有 满足，
③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有 满足，
④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，
∴
【点睛】
考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
25、
【分析】过A作AD⊥BC，根据三角函数和三角形面积公式解答即可．
【详解】过A作AD⊥BC．在△ABD中，∵sinB=，AB=5，∴AD=3，BD=1．在△ADC中，∵cosC=，∴∠C=15°，∴DC=AD=3，∴△ABC的面积=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，关键是根据三角函数和三角形面积公式解答．
26、销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．
解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x==35时，才能在半月内获得最大利润
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