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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
2．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.若直线与圆相切，则的值为（）
A.9 B.7
C.-21或9 D.-23或7
3．下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率（）．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（）
A. B.
C. D.
5．要得到函数f（x）=cos（2x-）的图象，只需将函数g（x）=cos2x的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移单位长度 D.向右平移个单位长度
6．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）
A.， B.，
C.， D.，
7．当前，全球疫情仍处于大流行状态，多国放松管控给我国外防输入带来挑战，冬季季节因素导致周边国家疫情输入我国风险大大增加．现有一组境外输入病例数据：
x（月份）
1
2
3
4
5
y（人数）
97
159
198
235
261
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（）
A. B.
C. D.
8．下列关系式中，正确的是
A. B.
C. D.
9．函数的定义域为（）
A B.
C. D.
10．下列函数是偶函数的是
A. B.
C. D.
11．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
12．不等式的解集是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若，是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为________.
14．若，则的终边所在的象限为______
15．设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______
16．若角的终边经过点，则___________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知，， ，为第二象限角，求和的值.
18．已知α是第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
19．已知函数
（1）求，的值；
（2）作出函数的简图；
（3）由简图指出函数的值域；
（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.
20．已知
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由
21．已知函数， .
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
22．在①，，②，，两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.
已知函数___________（填序号即可）.
（1）求函数的解析式及定义域；
（2）解不等式.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得取值范围，即可得解.
【详解】由已知可得，可得，
因为，则，
因为
，
当且仅当时，等号成立，故.
故选：D.
2、D
【解析】先求得圆的圆心和半径，根据直线若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】圆心在轴上圆与直线切于点.
可得圆的半径为3,圆心为.
因为直线与圆相切,
所以由切线性质及点到直线距离公式可得,
解得或7.
故选:D
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
3、C
【解析】利用不等式性质逐一判断即可.
【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；
选项B中，取，满足，但，故错误；
选项C中，若，则两边平方即得，故正确；
选项D中，取，满足，但，故错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.
4、A
【解析】利用题设条件，计算出原信道容量的表达式，再列出在B不变时用所求平均噪声功率表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.
【详解】由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来2倍时，，则，即，解得，
故选：A
5、D
【解析】利用函数的图象变换规律即可得解．
【详解】解：，
只需将函数图象向右平移个单位长度即可
故选．
【点睛】本题主要考查函数图象变换规律，属于基础题
6、C
【解析】分析每个选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，B选项中的两个函数不相等；
对于C选项，函数、的定义域均为，且，C选项中的两个函数相等；
对于D选项，对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，函数的定义域为，D选项中的两个函数不相等.
故选：C.
7、D
【解析】根据表中数据可得每月人数的增长速度在逐月减缓，即可选出答案.
【详解】计算可知，每月人数增长分别为62，39，37，26，增长速度在逐月减缓，符合对数函数的特点，
故选：D
8、C
【解析】不含任何元素的集合称为空集，即为，而代表由单元素0组成的集合，
所以，
而与的关系应该是.
故选C.
9、D
【解析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.
【详解】由题设可得：，故，
故选：D.
10、C
【解析】函数的定义域为所以函数为奇函数；
函数是非奇非偶函数；
函数的图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数；
函数的对称轴方程为x=−1，抛物线不关于y轴对称，所以该函数不是偶函数.
故选C.
11、C
【解析】利用指数函数和对数函数的性质确定a，b，c的范围，由此比较它们的大小.
【详解】∵ 函数在上为减函数，，
∴ ，即，
∵ 函数在上为减函数，，
∴ ，即，
函数在上为减函数，
，即
∴ .
故选：C.
12、A
【解析】利用指数式的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解
【详解】由，得，
∴8﹣x2＞﹣2x，即x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4
∴不等式解集是{x|﹣2＜x＜4}
故选A
【点睛】本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的单调性，是基础题
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】由题得，，再利用向量的夹角公式求解即得解.
【详解】由题得，
所以.
所以，的夹角为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14、第一或第三象限
【解析】将表达式化简，，二者相等，只需满足与同号即可，从而判断角所在的象限.
【详解】由，，
若，只需满足，即与同号，
因此的终边在第一或第三象限.
故答案为：第一或第三象限.
15、 ①.1 ②.
【解析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值
【详解】由，即，关于恒成立，故
恒成立，等价于恒成立
令，，，故a的取值范围是
故答案为：1，
16、
【解析】根据定义求得，再由诱导公式可求解.
【详解】角的终边经过点,
则，
所以.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、，
【解析】由已知可求得，，根据和的余弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求出.
详解】，，，
，为第二象限角，
则，解得，
，
，
.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）解方程组即得解；
（2）直接利用诱导公式化简求值.
【小问1详解】
解：因为，所以
又，α是第二象限角，
所以.
【小问2详解】
解：
.
19、（1），；
（2）作图见解析；（3）；
（4）为奇函数，证明见解析.
【解析】（1）根据对应区间，将自变量代入解析式求值即可.
（2）应用五点法确定点坐标列表，再描点画出函数图象.
（3）由（2）图象直接写出值域.
（4）由（2）图象判断奇偶性，再应用奇偶性定义证明即可.
【小问1详解】
由解析式知：，.
【小问2详解】
由解析式可得：
0
1
2
0
0
1
0
∴的图象如下：
【小问3详解】
由（2）知：的值域为.
【小问4详解】
由图知：为奇函数，证明如下：
当，时，；
当，时，；
又的定义域为，则为奇函数，得证.
20、（1）
（2）或
（3）存在，的取值范围为
【解析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论，求出最小值时m的值；（3）换元法，参变分离，转化为在恒成立，根据单调性求出取得最大值，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，
【小问2详解】
设，则，
，，其对称轴为，
的最小值为，
则；
的最小值为；
则
综上，或
【小问3详解】
由，对所有都成立.
设，则，
恒成立，
在恒成立，
当时，递减，则在递增，
时取得最大值
得,
∴
所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的定义域为，得到恒成立，即恒成立，分类讨论，即可求解.
（2）根据题意，转化为，利用单调性的定义，得到在R上单调递增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）由函数定义域为，
即恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，因为，所以，即；
当时，显然成立；
当时，恒成立，因为，所以，
综上可得，实数的取值范围.
（2）由对任意，存在，使得，可得，
设，因为，所以，
同理可得，
所以
，
所以，可得，
即，所以在R上单调递增，所以，
则，即恒成立，
因为，所以恒成立，
当时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以，解得，所以；
当时，显然成立；
当时，恒成立，没有最大值，不合题意，
综上，实数的取值范围.
【点睛】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
22、（1）条件选择见解析，答案见解析；
（2）条件选择见解析，答案见解析.
【解析】（1）根据所选方案，直接求出的解析式，根据对数的真数大于零可求得函数的定义域；
（2）根据所选方案，结合二次不等式和对数函数的单调性可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：若选①，，由，解得，
故函数定义域为；
若选②，，易知函数定义域为.
【小问2详解】
解：若选①，由（1）知，，
因为在上单调递增，且，所以，
解得或.
所以不等式的解集为；
若选②，由（1）知，，
令，即，解得，即，
因为在上单调递增，且，，所以.
所以不等式的解集为.
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