资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值（其中m＞0＞n），下列结论正确的（ ）
x
…
0
1
2
4
…
y
…
m
k
m
n
…
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．a+b+c＜0
2．若一次函数 y=ax+b（a≠0）的图像与 x 轴交点坐标为（2，0），则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为( )
A．直线 x=1 B．直线 x=-1 C．直线 x=2 D．直线 x=-2
3．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上.若，则CD的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，在平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A．4. B．3.5 C．3. D．2.5
5．若点A（1，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1、y2的大小关系为
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
6．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
7．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A．5 B．6 C．2 D．3
9．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将Rt△ABC(其中∠B=35°，∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )
A．35° B．50° C．125° D．90°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
12．计算的结果是__________．
13．方程x2＝2020x的解是_____．
14．如果，那么_____．
15．x台拖拉机，每天工作x小时，x天耕地x亩，则y台拖拉机，每天工作y小时，y天耕____亩．
16．已知点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为_____．
17．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为________．
18．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
20．（6分）如图，AB是的弦，D为半径OA上的一点，过D作交弦AB于点E，交于点F，且求证：BC是的切线．
21．（6分）已知关于的方程．
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值．
22．（8分）已知矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿直线翻折，点、的对称点分别记为、.
（1）当时，若点恰好落在线段上，求的长；
（2）设，若翻折后存在点落在线段上，则的取值范围是______.
23．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
24．（8分）如图，已知等边△ABC，AB＝1．以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)求FG的长；
(3)求△FDG的面积．
25．（10分）如图，正方形的对角线、相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点．求证：四边形是正方形．
26．（10分）如图，在中，，.，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点，.
（1）求的长.
（2）若点是线段的中点，求的值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】用二次函数的图象与性质进行解答即可.
【详解】解：如图：
由抛物线的对称性可知：（0，m）与（2，m）是对称点，
故对称轴为x＝1，
∴（﹣2，n）与（4，n）是对称点，
∴4a﹣2b+c＝n＜0，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图像的性质，熟练运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键.
2、A
【分析】先将（2，0）代入一次函数解析式y＝ax＋b，得到2a＋b＝0，即b＝-2a，再根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x＝即可求解．
【详解】解：∵一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0），
∴2a＋b＝0，即b＝-2a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝．
3、D
【分析】由直角三角形的性质可得AB=2，BC=2AB=4，由旋转的性质可得AD=AB，可证△ADB是等边三角形，可得BD=AB=2，即可求解．
【详解】解：∵AC=，∠B=60°，∠BAC=90°
∴AB=2，BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD=AB，且∠B=60°
∴△ADB是等边三角形
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
4、C
【分析】先通过条件算出O’坐标,代入反比例函数求出k即可.
【详解】由题干可知,B点坐标为(1,0),旋转90°后,可知B’坐标为(3,2),O’坐标为(3,1).
∵双曲线经过O’,∴1=,解得k=3.
故选C.
【点睛】
本题考查反比例函数图象与性质,关键在于坐标平面内的图形变换找出关键点坐标.
5、C
【解析】根据反比例函数图象的增减性进行判断：
根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵反比例函数的解析式中的，∴点A（1，y1）、B（1，y1）都位于第四象限．
又∵1＜1，∴y1＞y1．故选C．
6、B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论．
【详解】解：∵∽，相似比为1：1，
∴与的周长的比为1：1．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．
7、C
【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可．
【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键．
8、C
【详解】试题解析：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB•DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH==12，
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD=，
设⊙O与AB相切于F，连接AF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴，
∴，
∴OF=2．
故选C．
考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．
9、B
【分析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
10、C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
【详解】∵∠B＝35°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−35°＝55°，
∵点C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝180°−∠BAC＝180°−55°＝125°，
∴旋转角等于125°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：1，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：1，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==1，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=1．
故答案为1
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
12、
【分析】先算开方，再算乘法，最后算减法即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数的混合运算法则是解题的关键．
13、x1＝0，x2＝1．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】移项得：x2﹣1x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14、2
【解析】∵, ∴x= , ∴= .
15、
【分析】先求出一台拖拉机1小时的工作效率，然后求y台拖拉机在y天，每天工作y小时的工作量．
【详解】一台拖拉机1小时的工作效率为：
∴y台拖拉机，y天，每天y小时的工作量=
故答案为：
【点睛】
本题考查工程问题，解题关键是求解出一台拖拉机1小时的工作效率．
16、1．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点A（a，2019）与点A′（﹣2020，b）是关于原点O的对称点，
∴a＝2020，b＝﹣2019，
∴a+b＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
17、
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果数为7，
所以小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18、
【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【详解】由根与系数的关系得：m+n=，mn=，
∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如、x12+x22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．
三、解答题(共66分)
19、（1）（2）水流喷出的最大高度为2米
【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,
（2）求出顶点坐标即可.
【详解】解：（1）由题意可得，
抛物线经过（0，1.5）和（3，0），
解得：a=-0.5,c=1.5,
即函数表达式为y=.
（2）解：
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.
答：水流喷出的最大高度为2米．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.
20、见解析
【解析】试题分析：连接OB，要证明BC是⊙O的切线，即要证明OB⊥BC，即要证明∠OBA+∠EBC=90°，由OA=OB，CE=CB可得：∠OBA=∠OAB，∠CBE=∠CEB，所以即要证明∠OAB+∠CEB=90°，又因为∠CEB=∠AED，所以即要证明∠OAB+∠AED=90°，由CD⊥OA不难证明.
试题解析：
证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
点睛：本题主要掌握圆的切线的证明方法，一般我们将圆心与切点连接起来，证明半径与切线的夹角为90°.
21、（1）当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得＞0，继而求得m的取值范围；
（2）由根与系数的关系，可得和，再根据已知得到方程并解方程即可得到答案．
【详解】（1）关于的方程
，，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴＞0，
解得：，
∵二次项系数，
∴，
∴当且时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵为方程的两个不等实数根，
∴，，
∴，
解得：，(不合题意，舍去)，
∴．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意当＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；注意若是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
22、（1）；（2）且.
【分析】（1）过作于，延长交于点，如图1，易证∽，于是设，则，可得，然后在中根据勾股定理即可求出a的值，进而可得的长，设，则可用n的代数式表示，连接FB、，如图2，根据轴对称的性质易得，再在中，根据勾股定理即可求出n的值，于是可得结果；
（2）仿（1）题的思路，在中，利用勾股定理可得关于x和m的方程，然后利用一元二次方程的根的判别式和二次函数的知识即可求出m的范围，再结合点的特殊位置可得m的最大值，从而可得答案.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，过作于，延长交于点，如图1，则AB∥CD∥QH，∴∽，∴，
设，则，∴.
在中，∵，∴，解得：或（舍去）.
∴，∴，
设，则，连接FB、，如图2，则，
在中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴；
（2）如图1，∵，∴，设，则，∴.
在中，∵，∴，
整理，得：，
若翻折后存在点落在线段上，则上述方程有实数根，即△≥0，∴，整理，得：，
由二次函数的知识可得：，或（舍去），
∵，∴，当x=m时，方程即为：，解得：，∴，
又∵当点与点C重合时，m的值达到最大，即当x=0时，，解得：m=1.
∴m的取值范围是：且.
故答案为：且.
【点睛】
本题是矩形折叠综合题，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的解法和根的判别式以及二次函数的性质等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握折叠的性质和勾股定理、灵活利用方程的数学思想是解（1）题的关键，灵活应用一元二次方程的根的判别式和二次函数的知识是解（2）题的关键 .
23、（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）1．
【解析】（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式
（2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围
（3）由点A和点B的坐标求得三角形以BC 为底的高是10，从而求得三角形ABC 的面积
【详解】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴n==﹣2，
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=1，
∴S△ABC=×2×1=1．
24、（1）详见解析；（2）；（3）
【分析】(1) 如图所示，连接OD．由题意可知∠A=∠B=∠C=60°,则OD=OB,可以证明△OBD为等边三角形,易得∠C=∠ODB=60°,再运用平行线的性质和判定以及等量代换即可完成解答.
(2)先说明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6.在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD,则AF=AC-CF=2,最后在Rt△AFG中，根据正弦的定义即可解答；
（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3,FH=，DH=,最后根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）如图所示，连接OD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵OD=OB
∴△OBD为等边三角形，
∴∠C=∠ODB=60°，
∴AC∥OD，
∴∠CFD=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠FDO=20°，
∴DF是⊙O的切线
（2）因为点O是AB的中点，则OD是△ABC的中位线．
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴AB= AC= BC= 1， CD=BD=BC=6
∵∠C=60°，∠CFD=20°，
∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°，
∴CF=CD=3
∴AF=1-3=2．
∴．
（3）作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3
∴FH=，DH=
∴△FDG的面积为DHFG=
【点睛】
本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．
25、见解析
【分析】根据已知条件先证明四边形OBEC是平行四边形，再证明∠BOC=90°，OC=OB即可判定四边形OBEC是正方形．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【点睛】
本题考查正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和判定．
26、（1）；（2）.
【解析】（1）求出，在Rt△ADC中，由三角函数得出；
（2）由三角函数得出BC=AC•tan60°=，得出，证明△DFM≌△AGM（ASA），得出DF=AG，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
【详解】解：
（1）∵平分，，
∴，
在中，，
（2）∵∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，
∴，
∴，
∵DE∥AC，∠DMF和∠AMG是对顶角，
∴∠FDM=∠GAM，∠DMF=∠AMG，
∵点M是线段AD的中点，
∴，
∵，
∴，
∴.
由DE∥AC，得，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，掌握全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值是解题的关键.
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