资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．CB2＝CP•CA
3．如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．3
5．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOB＝40°，弦BC的长等于半径，则∠ADC的度数等于（ ）
A．50° B．49° C．48° D．47°
8．抛物线的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第三象限 D．第四象限
9．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则( )
A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6
C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6
10．已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
11．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为
A． B． C． D．0
12．如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知中，，交于，且，，，，则的长度为________.
14．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是__．
15．如果A地到B地的路程为80千米，那么汽车从A地到B地的速度x千米/时和时间y时之间的函数解析式为______.
16．函数是关于的二次函数，且抛物线的开口向上，则的值为____________．
17．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是_____cm．
18．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，．
（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；
（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．
20．（8分）在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．
21．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
22．（10分）如图，若是由ABC平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为
(1)求点小的坐标．
(2)求的面积．
23．（10分）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号为1、2、3、4，乙口袋中小球编号分别是2、3、4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为．
（1）请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况；
（2）规定：若、都是方程的解时，小明获胜；若、都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
24．（10分）已知等边△ABC的边长为2，
（1）如图1，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD＝60°，求证：△ABP～△PCD
（2）如图2，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD＝120°，当PC＝1时，求AD的长
（3）在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D'，如图3，求△D′AP的面积．
25．（12分）一个不透明的口袋中装有个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字为；再在剩下的个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，得到点的坐标．
请用“列表”或“画树状图”等方法表示出点所有可能的结果；
求出点在第一象限或第三象限的概率．
26． “校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】先由三视图得出圆柱的底面直径和高，然后根据圆柱的体积=底面积×高计算即可.
【详解】解：由三视图可知圆柱的底面直径为，高为，
底面半径为，
，
故选B．
【点睛】
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
2、D
【分析】观察图形可得, 与已经有一组角∠重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠的两条边对应成比例. 注意答案中的、两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.
【详解】解: 项, ∠=∠,可以判定;
项, ∠=∠,可以判定;
项, ,,可以判定;
项, ,,不能判定.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.
3、A
【解析】观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.
【详解】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4、B
【解析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.
【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，
在直角三角形ECF中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，
解得GF=，
∴EF=1+=．
故正确选项为B.
【点睛】此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理.解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程.
5、B
【解析】根据比例式的性质，即可得到答案．
【详解】∵⇔，⇔，⇔，⇔，
∴变形错误的是选项B．
故选B．
【点睛】
本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
6、A
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，
则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
7、A
【解析】连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，得到∠AOC＝100°，根据圆周角定理解答．
【详解】连接OC，
由题意得，OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝100°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝50°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
8、B
【分析】将解析式化为顶点式即可得到答案.
【详解】=2(x+0)²-4
得：对称轴为y轴，则顶点坐标为(0,-4),在y轴上，
故选B.
9、B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，即可得到b与c的值.
【详解】由一元二次方程根与系数的关系得：﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，
∴b＝﹣1，c＝﹣6
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根满足 ，是解题的关键.
10、B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】设另一根为m，则
1•m=1，解得m=1．
故选B．
【点睛】
考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x1=-，x1•x1= ．要求熟练运用此公式解题．
11、A
【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y=−k有交点，
由图可得，−k≤4，
∴k≥−4，
∴k的最小值为−4.
故选A.
12、A
【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．
【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
所以A1的坐标为（﹣1，2）.
故选A.
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，则四边形DGBF是矩形，由矩形的性质得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=1．
设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．
在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-1．
证明△FEB∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例可求出x的值，进而得到AD，DE的长．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】如图，过B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延长线于G，
∴四边形DGBF是矩形，
∴BG=DF，DG=FB．
∵∠BCD=45°，
∴△BFC是等腰直角三角形．
∵BC=，
∴FC=BF=1．
设DE=9x，则CE=7x，EF=CE-FC=7x-1，BG=DF=16x-1，DG=FB=1．
在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，
∴，
∴，
解得：AD=16x-1．
∵FB∥AD，
∴△FEB∽△DEA，
∴，
∴，
∴18x1-16x+1=0，
解得：x=或x=．
当x=时，7x-1＜0，不合题意，舍去，
∴x=，
∴AD=16x-1=6，DE=9x=，
∴AE=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．求出AD=16x-1是解答本题的关键．
14、1
【解析】试题分析：先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．
∵E，F分别是AD，BD的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴AB=2EF=4，
∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=DA=4， ∴菱形ABCD的周长=4×4=1．
考点：（1）菱形的性质；（2）三角形中位线定理．
15、
【分析】根据速度=路程÷时间，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】解：∵速度=路程÷时间，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据行程问题得到反比例函数关系式，熟练掌握常见问题的数量关系是解答本题的关键．
16、
【分析】由题意根据题意列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，
∴，解得m=-1．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地形如y=ax1+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解答此题的关键．
17、40cm
【解析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【详解】∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
故答案为:40cm．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
18、
【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可．
【详解】把代入一元二次方程得，
所以.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）D（﹣3，﹣4）；（1）当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．
【分析】（1）利用待定系数法以及等腰直角三角形的性质求出EC，OE即可解决问题．
（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，），由EC＝MN构建方程求出特殊点M的坐标即可判断．
【详解】解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠CAE＝45°
∵AE＝3OA，
∴AE＝3，
∵EC⊥x轴，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴EC＝AE＝3，
∴C（4，3），
∵反比例函数y＝经过点C（4，3），
∴k＝11，
由，解得或，
∴D（﹣3，﹣4）．
（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，）
∵四边形ECMN是平行四边形，
∴MN＝EC＝3，
∴|a﹣1﹣|＝3，
解得a＝6或﹣1或﹣1±（舍弃），
∴M（6，5）或（﹣1，﹣3），
观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．
【点睛】
考核知识点：反比例函数与一次函数.数形结合，解方程组求图象交点，根据图象分析问题是关键.
20、（1）；点；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．
【分析】（1）用待定系数法可求抛物线的解析式，进行配成顶点式即可写出顶点坐标；
（2）将直线与抛物线联立，通过根与系数关系得到，，再通过得出，通过变形得出代入即可求出的值；
（3）分：， ， 三种情况分别利用勾股定理进行讨论即可．
【详解】（1）∵，，
∵绕点顺时针旋转，得到，
∴点的坐标为：，
将点A,B代入抛物线中得
解得
∴此抛物线的解析式为：
∵；
∴点
（2）直线：与抛物线的对称轴交点的坐标为，
交抛物线于，，
由得：
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）存在，或，，
∴
设点
，
若，则
即
∴或
若，则
即
∴
若，则
即
∴
即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，分情况讨论是解题的关键．
21、（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.
【分析】试题（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
又∵AD=AE，AB=AC
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，
在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
【点睛】
考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.
22、（1）（-1，5），（-2，3），（-4，4）；（2）三角形面积为2.5；
【分析】（1）由△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x-5，y+2）可得△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，由此得到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标．
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【详解】解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P1（x-5，y+2），
∴△ABC的平移规律为：向左平移5个单位，向上平移2个单位，
∵A（4，3），B（3，1），C（1，2），
∴点A1的坐标为（-1，5），点B1的坐标为（-2，3），点C1的坐标为（-4，4）．
（2）如图所示，
△A1B1C1的面积=3×2-×1×3-×1×2-×1×2=．
【点睛】
本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23、（1）见解析；（2）两人获胜机会不均等，此游戏规则不公平
【分析】（1）根据画树形图即可表示出所有可能出现的结果；
（2）先解方程，再分别求出两个人赢的概率，再进行判断即可．
【详解】（1）列出树状图：
（2）解方程可得，．
∴（、都是方程的根）．
（、都不是方程的根）．
∴两人获胜机会不均等，此游戏规则不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先利用三角形的内角和得出∠BAP+∠APB＝120°，再用平角得出∠APB+∠CPD＝120°，进而得出∠BAP＝∠CPD，即可得出结论；
（2）先构造出含30°角的直角三角形，求出PE，再用勾股定理求出PE，进而求出AP，再判断出△ACP∽∠APD，得出比例式即可得出结论；
（3）先求出CD，进而得出CD'，再构造出直角三角形求出D'H，进而得出D'G，再求出AM，最后用面积差即可得出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
在△ABP中，∠B+∠APB+∠BAP＝180°，
∴∠BAP+∠APB＝120°，
∵∠APB+∠CPD＝180°﹣∠APD＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
（2）如图2，过点P作PE⊥AC于E，
∴∠AEP＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝2，∠ACB＝60°，
∴∠PCE＝60°，
在Rt△CPE中，CP＝1，∠CPE＝90°﹣∠PCE＝30°，
∴CE＝CP＝，
根据勾股定理得，PE＝，
在Rt△APE中，AE＝AC+CE＝2+＝，
根据勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°＝∠APD，
∵∠CAP＝∠PAD，
∴△ACP∽△APD，
∴，
∴AD＝＝；
（3）如图3，由（2）知，AD＝，
∵AC＝2，
∴CD＝AD﹣AC＝，
由旋转知，∠DCD'＝120°，CD'＝CD＝，
∵∠DCP＝60°，
∴∠ACD'＝∠DCP＝60°，
过点D'作D'H⊥CP于H，
在Rt△CHD'中，CH＝CD'＝，
根据勾股定理得，D'H＝CH＝，
过点D'作D'G⊥AC于G，
∵∠ACD'＝∠PCD'，
∴D'G＝D'H＝（角平分线定理），
∴S四边形ACPD'＝S△ACD'+S△PCD'＝AC•D'G+CP•DH'＝×2×+×1×＝，
过点A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴BM＝BC＝1，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AM＝BM＝，
∴S△ACP＝CP•AM＝×1×＝，
∴S△D'AP＝S四边形ACPD'﹣S△ACP＝﹣＝．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的特点及相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用.
25、（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）通过列表展示即可得到所有可能的结果；
（2）找出在第一象限或第三象限的结果数，然后根据概率公式计即可．
【详解】解：列表如下：
从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相同，其中点在第一象限或第三象限的结果有种，所以其的概率．
【点睛】
考查概率公式计算以及用频率估计概率，比较简单，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，用概率公式计算，比较即可.
26、（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）
【分析】(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m的值；
(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；
(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；
(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)接受问卷调查的学生共有(人)，，
故答案为60，10；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数，
故答案为96°；
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：(人)，
故答案为1020；
(4)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
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