资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（）
A. B.
C. D.2
2．下列函数中，满足对定义域内任意实数，恒有的函数的个数为（ ）
① ② ③ ④
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数的值为
A. B.
C. D.
4．入冬以来，雾霾天气在部分地区频发，给人们的健康和出行造成严重的影响．经研究发现，工业废气等污染排放是雾霾形成和持续的重要因素，治理污染刻不容缓．为降低对空气的污染，某工厂采购一套废气处理装备，使工业生产产生的废气经过过滤后再排放．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数底数），其中为t=0时的污染物数量，若经过3h处理，20%的污染物被过滤掉，则常数k的值为（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
6．若定义在上的函数的值域为，则取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．如果命题“使得”是假命题，那么实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
10．已知正实数满足,则最小值为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.
12．如果二次函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为________
13．已知在平面直角坐标系中，角顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则___________.
14．已知幂函数在其定义域上是增函数，则实数___________
15．函数的零点是___________.
16．已知向量满足，且，则与的夹角为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某国际性会议纪念章的一特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向该会议的组织委员会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现，每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上，每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元（每枚的销售价格应为正整数）.
（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润（元）与每枚纪念章的销售价格的函数关系式；
（2）当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润（元）最大，并求出这个最大值；
18．在平面直角坐标系中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆相交,所截得的弦长为4,求直线的方程.
19．（1）已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为．求函数的解析式
（2）已知角的终边在直线上，求下列函数的值：
20．已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
21．已知两个非零向量和不共线，，，
（1）若，求的值；
（2）若A、B、C三点共线，求的值
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】将写成分段函数，画出函数图象数形结合，即可求得结果.
【详解】当x≥0时，，
当＜0时，，
作出函数的图象如图：
当时，由=，解得=2
当时，
当＜0时，由,
即，
解得=，
∴此时=，
∵[]上的最小值为，最大值为2，
∴2，，
∴的最大值为，
故选：B
【点睛】本题考查含绝对值的二次型函数的最值，涉及图象的绘制，以及数形结合，属综合基础题.
2、A
【解析】根据因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，可得函数的图象是“下凸”，然后由函数图象判断.
【详解】因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，
所以函数的图象是“下凸”，
分别作出函数① ② ③ ④的图象，
由图象知，满足条件的函数有③一个，
故选：A
3、B
【解析】所以，所以。故选B。
4、A
【解析】由题意可得，从而得到常数k的值.
【详解】由题意可得，
∴，即
∴
故选：A
5、B
【解析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B.
6、C
【解析】作函数图象，观察图象确定m的范围.
【详解】函数的图象是对称轴为，顶点为的开口向上的抛物线，当时，；当时，.
作其图象，如图所示：
又函数在上值域为，
所以观察图象可得
∴取值范围是，
故选：C.
7、B
【解析】特称命题是假命题，则该命题的否定为全称命题且是真命题，然后根据即可求解.
【详解】依题意，命题“使得”是假命题，
则该命题的否定为“”，且是真命题；
所以，.
故选：B
8、B
【解析】
由三视图可画出该三棱锥的直观图，如图 ，图中正四棱柱的底面边长为 ，高为 ，棱锥的四个面有三个为直角三角形，一个为腰长为 ，底长 的等腰三角形，其面积分别为： ，所以三棱锥的表面积为，故选B.
9、B
【解析】直线的斜率，其倾斜角为．
考点：直线的倾斜角．
10、A
【解析】由题设条件得，，利用基本不等式求出最值
【详解】由已知，，所以
当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值
故选A
【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（答案不止一个）
【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.
详解】函数符合题目要求，理由如下：
该函数显然满足①；
当时，，所以有，
当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②
当时，，或，
当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，
故答案为：
12、
【解析】函数对称轴为，则由题意可得，解出不等式即可.
【详解】∵函数的对称轴为且在区间上是增函数，
∴，即.
【点睛】已知函数在某个区间上的单调性，则这个区间是这个函数对应单调区间的子集.
13、
【解析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角公式求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
14、
【解析】根据幂函数定义，可求得a值，根据其单调性，即可得答案.
【详解】因为为幂函数，所以，解得或，
又在其定义域上是增函数，
所以，所以.
故答案为：
15、和
【解析】令y=0，直接解出零点.
【详解】令y=0，即，解得：和
故答案为：和
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
16、##
【解析】根据平面向量的夹角公式即可求出
【详解】设与的夹角为，由夹角余弦公式，解得
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），.
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可,需注意,当时,由题意不生产纪念章,故；
（2）利用配方法分别求解不同条件下的最值,并进行比较即可,需注意每枚的销售价格应为正整数
【详解】（1）依题意,得,
整理可得
（2）由（1）可得,
当时,则当时,；
当时,则当或时,；
因为,
则当时,
【点睛】本题考查函数关系式在生活中的应用,考查配方法求最值,实际应用中要注意自变量的取值范围
18、 (1);(2)或
【解析】（1）先求得圆三个交点，，由和的垂直平分线得圆心，进而得半径；
（2）易得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率不存在和存在时，利用圆心到直线的距离求解即可.
试题解析：
二次函数的图像与两坐标轴轴的三个交点分别记为
(1)线段的垂直平分线为,线段的垂直平分线,
两条中垂线的交点为圆心,又半径,
∴圆的方程为:
(2)已知圆的半径,弦长为4,所以圆心到直线的距离为1,
若直线斜率不存在时,即时,满足题意;
当直线斜率存在时,设直线斜率存在为,直线方程为
,此时直线方程为:,
所以直线的方程为:或.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
19、（1）；
（2）当为第一象限角时：；
当 为第三象限角时：.
【解析】（1）由题意得，，进而求得，根据最高点结合可得，进而可求得的解析式；
（2）由题意得为第一或第三象限角，分两种情况由同角三角函数关系可解得结果.
【详解】（1）由题意得，，则，解得.
根据最高点得，
所以，即，
因，所以，取得.
所以.
（2）由题意得，则为第一或第三象限角.
当为第一象限角时：由得，代入得，
又，所以，则.
所以；
当为第三象限角时：同理可得.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式对进行化简即可
（2）先由求得，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解
【详解】（1）
（2），
，
∵ 是第二象限角，
∴，
【点睛】本题考查利用诱导公式进行化简，涉及利用同角三角函数关系由正弦值求余弦值，属综合基础题.
21、（1）-1（2）-1
【解析】（1）根据即可得出，，由即可得出1+k＝0，从而求出k的值；
（2）根据A，B，C三点共线即可得出，从而可得出，根据平面向量基本定理即可得出，解出k即可
【详解】解：（1）；
∴=；
∵；
∴k+1=0；
∴k=-1；
（2）∵A，B，C三点共线；
∴；
∴；
∴；
∵不共线；
∴由平面向量基本定理得，；
解得k=-1
【点睛】本题考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理
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