资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．小红抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事件的是（ ）
A．骰子向上一面的点数为偶数 B．骰子向上一面的点数为3
C．骰子向上一面的点数小于7 D．骰子向上一面的点数为6
2．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为( )
A．(x+3)2＝1 B．(x﹣3)2＝1
C．(x+3)2＝19 D．(x﹣3)2＝19
3．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
5．下列根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
6．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A．t=20v B．t= C．t= D．t=
7．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个解是x＝0，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
8．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________ m2 ．
12．半径为4 cm，圆心角为60°的扇形的面积为 cm1．
13．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，，的长为__．
14．在中，若、满足，则为________三角形．
15．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
16．若点P(2a+3b，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a﹣2b)，则(3a+b)2020＝______.
17．在1：5000的地图上，某两地间的距离是，那么这两地的实际距离为______________千米.
18．有一列数，，，，，，则第个数是_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，两点停止运动；
（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）
①求S与t之间的函数关系式；
②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？
20．（6分）如图，直线与轴交于点（），与轴交于点，抛物线（）经过，两点，为线段上一点，过点作轴交抛物线于点．
（1）当时，
①求抛物线的关系式；
②设点的横坐标为，用含的代数式表示的长，并求当为何值时，？
（2）若长的最大值为16，试讨论关于的一元二次方程的解的个数与的取值范围的关系．
21．（6分）先化简，再求值：，其中a＝3，b＝﹣1．
22．（8分）如图，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，记旋转角为．
① ②
③ ④
（1）问题发现：当时， ．
（2）拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
（3）问题解决：当旋转至三点共线时，如图③，图④，直接写出线段的长．
23．（8分）如图所示，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的同一水平线上，，之间的距离约为，现测得，与的夹角分别为与，若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点的距离为，求点到地面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）
24．（8分）解方程：2（x-3）2=x2-1．
25．（10分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
26．（10分）如图，在边长为的正方形中，点是射线上一动点(点不与点重合)，连接，点是线段上一点，且，连接.
求证:；
求证:；
直接写出的最小值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】A、骰子向上一面的点数为偶数是随机事件，选项错误；
B、骰子向上一面的点数为3是随机事件，选项错误；
C、骰子向上一面的点数小于7是必然事件，选项正确；
D、骰子向上一面的点数为6是随机事件，选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件与必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．
2、D
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】方程移项得：，
配方得：，
即，
故选D．
3、D
【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，
∴正方形的面积＝四边形的面积，
∴，，
∴，，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．
4、B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
5、D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6、B
【解析】试题分析：根据行程问题的公式路程=速度×时间，可知汽车行驶的时间t关于行驶速度v的函数关系式为t=．
考点：函数关系式
7、A
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值,且（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程，即．
【详解】把x=0代入方程得到：a2－1＝0
解得：a=±1．
（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程
即．
综上所述a=1.
故选A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.
8、D
【详解】解：由题意得：，，，
∴△===，
解得：，
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键．
9、C
【分析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【详解】解：.A.根据一次函数可判断a>0，b<0，即ab<0，故不符合题意，
B. 根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，
C. 根据一次函数可判断a<0，b<0，即ab>0，根据反比例函数可判断ab>0，故符合题意，
D.根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质是解决问题的关键．
10、C
【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：、
∴
故选：C.
【点睛】
本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、75
【解析】试题分析：首先设垂直于墙面的长度为x，则根据题意可得：平行于墙面的长度为（30－3x），则S=x（30－3x）=－3+75，,则当x=5时，y有最大值，最大值为75，即饲养室的最大面积为75平方米.
考点：一元二次方程的应用.
12、.
【解析】试题分析：根据扇形的面积公式求解.
试题解析：.
考点：扇形的面积公式.
13、．
【分析】根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明BM=MN．再证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
【详解】在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14、直角
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，即可作出判断．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，是解题的关键．
15、且
【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得到关于的不等式，求出的取值即可．
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∵，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
16、1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出3a+b＝﹣1，进而得出答案.
【详解】解：∵点P(2a+3b，﹣2)关于原点的对称点为Q(3，a﹣2b)，
∴，
故3a+b＝﹣1，
则(3a+b)2020＝1.
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
17、1
【分析】根据比例尺的意义，可得答案．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了比例尺，利用比例尺的意义是解题关键，注意把厘米化成千米．
18、
【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．
【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，
∴第100个数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）1；（2）①当0＜t＜4时，S＝﹣t2+6t，当4≤t＜6时，S＝﹣4t+2，当6＜t≤1时，S＝t2﹣10t+2，②t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3
【分析】（1）求出点Q的运动时间即可判断．
（2）①的三个时间段分别求出△PBQ的面积即可．
②利用①中结论，求出各个时间段的面积的最大值即可判断．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，
∴BC+AD＝14cm，
∴t＝14÷2＝1，
故答案为1．
（2）①当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．
当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+2．
当6＜t≤1时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2．
②当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+3，
∵﹣1＜0，
∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为3．
当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+2，
∵﹣4＜0，
∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，
当6＜t≤1时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2＝（t﹣5）2﹣1，
t＝1时，△PBQ的面积最大，最大值为3，
综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，涉及了分类讨论的数学思想，灵活的利用二次函数的性质求三角形面积的最大值是解题的关键.
20、（1）①；②；当x=1或x=4时，；（1）当时，一元二次方程有一个解；当＞2时，一元二次方程无解；当＜2时，一元二次方程有两个解．
【分析】（1）①首先根据题意得出点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式即可得出其表达式；
②首先由点A的坐标得出直线解析式，然后得出点P、Q坐标，根据平行构建方程，即可得解；
（1）首先得出，然后由PQ的最大值得出最大值，再利用二次函数图象的性质分类讨论一元二次方程的解即可.
【详解】（1）①∵m=5，
∴点A的坐标为（5，0）．
将x=0代入，得y=1．
∴点B的坐标为（0，1）．
将A（5，0），B（0，1）
代入，得
解得
∴抛物线的表达式为．
②将A(5，0)代入，解得：．
∴一次函数的表达为．
∴点P的坐标为，
又∵PQ∥y轴，
∴点Q的坐标为
∴
∵，
∴
解得：，
∴当x=1或x=4时，；
（1）由题意知：
设，
∴为的二次函数，又＜，
∵长的最大值为2，
∴最大值为2．
∴由二次函数的图象性质可知
当时，一元二次方程有一个解；
当＞2时，一元二次方程无解；
当＜2时，一元二次方程有两个解．.
【点睛】
此题主要考查一次函数与二次函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.
21、，．
【分析】根据分式混合运算法则化简出最简结果，把a、b的值代入求值即可．
【详解】原式＝·﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝．
当a＝3，b＝﹣1时，原式＝＝＝．
【点睛】
本题考查分式的混合运算——化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
22、（1）；（2）无变化，理由见解析；（3）图③中；图④中；
【分析】（1）问题发现：由勾股定理可求AC的长，由中点的性质可求AE，BD的长，即可求解；
（2）拓展探究：通过证明△ACE∽△BCD，可得；
（3）问题解决：由三角形中位线定理可求DE=1，∠EDC=∠B=90°，由勾股定理可求AD的长，即可求AE的长．
【详解】解：（1）问题发现：
∵∠B=90°，AB=2，BC=6，
∴AC=，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴AE=EC=，BD=CD=3，
∴，
故答案为：；
（2）无变化；证明如下：
∵点，分别是边，的中点，
∴由旋转的性质，，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图③，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE=AB=1，DE∥AB，
∴∠CDE=∠B=90°，
∵将△EDC绕点C顺时针方向旋转，
∴∠CDE=90°=∠ADC，
∴AD=，
∴AE=AD+DE=；
如图④，
由上述可知：AD=，
∴；
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23、66.7cm
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再由EF=BEsin68°=3.72根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设 CH=x，则 AH=CH=x，
BH=CHcot68°=0.4x，
由 AB=49 得 x+0.4x=49，
解得：x=35，
∵BE=4，
∴EF=BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为 CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7(cm)，
答：点E到地面的距离约为 66.7cm.
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，利用已知角度的三角函数值是解题的关键.
24、x1=3，x2=1．
【解析】试题分析：方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
试题解析：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
25、 (1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
【点睛】
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）由得出，进而得出，即可得出；
（2）首先由正方形的性质得出，，然后由（1）中结论得出，进而即可判定，进而得出
（3）首先由（1）中得出，然后构建圆，找出DE的最小值即可得解.
【详解】
∵四边形是正方形
由(1)知
，
又
由（1）中，得
若使有最小值，则DE最小，由（2）中，点E在以AB为直径的圆上，如图所示
∴DE最小值为DO-OE=
∴的最小值为
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，以及动点综合问题，解题关键是找出最小值.
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