资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）
A．黑（1，5），白（5，5） B．黑（3，2），白（3，3）
C．黑（3，3），白（3，1） D．黑（3，1），白（3，3）
2．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，﹣1） B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，y＞1 D．当x＜0时，y随着x的增大而减小
3．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570
C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=570
4．若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ）
A．-7 B．7 C．3 D．-3
5．抛物线的顶点坐标是( )
A．(3，5) B．(-3，-5) C．(-3，5) D．(3，-5)
6．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（ ）
A．米 B． 米 C． 米 D．米
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．方程的两根之和是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图,学校的保管室有一架5m长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成的角为45°如果梯子底端O固定不变,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为( )
A．(+1 ) m B．(+3 ) m C．( ) m D．(+1 ) m
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了宽的矩形钢条，剩下的阴影部分的面 积是，则原来这块正方形钢板的边长是__________cm.
12．随即掷一枚均匀的硬币三次次，三次正面朝上的概率是______________．
13．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为____．
14．直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．
15．如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，且∠BAE＝45°，连接BE并延长交DG于点H，若AB＝4，AE＝，则线段BH的长是_____．
16．如图，在边长为的正方形中，将射线绕点按顺时针方向旋转度，得到射线，点是点关于射线的对称点，则线段长度的最小值为________．
17．如果二次函数的图象如图所示，那么____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．
18．方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=___________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位． Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后得到△AB1C1；
（1）作出△AB1C1；(不写画法）
（2）求点C转过的路径长；
（3）求边AB扫过的面积．
20．（6分）知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．中国北斗导航已经全球组网，它已经走进了人们的日常生活．如图，某校周末组织学生利用导航到某地(用表示)开展社会实践活动，车辆到达地后，发现地恰好在地的正北方向，且距离地8千米．导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离才能到达地．求两地间的距离(结果精确到0.1千米)．(参考数据：)
21．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
...
...
...
...
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图像，直接写出当时，的取值范围．
22．（8分）如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
23．（8分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长，拉杆最大伸长距离，(点在同一条直线上)，在箱体的底端装有一圆形滚轮与水平地面切于点某一时刻，点距离水平面，点距离水平面．
（1）求圆形滚轮的半径的长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点处且拉杆达到最大延伸距离时，点距离水平地面，求此时拉杆箱与水平面所成角的大小(精确到，参考数据：)．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，，点是上一点，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
25．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）结合图形，直接写出一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．
26．（10分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若DF∥AB，则BD与CD有怎样的数量关系？并证明你的结论．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答．
【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键．
2、C
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【详解】A、x＝﹣1，y＝＝﹣1，∴图象经过点（﹣1，﹣1），正确；
B、∵k＝1＞0；，∴图象在第一、三象限，正确；
C、当x＝1时，y＝1，∵图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时y＜1，错误；
D、∵k＝1＞0，∴图象在第三象限内y随x的增大而减小，正确.
故选：C．
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，正确掌握函数的增减性，k值与图象所在象限的关系.
3、A
【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，
故选A.
4、B
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2－5x－2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=-2，∴m+n－mn=5-（-2）=1．故选A．
5、C
【解析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵；
∴顶点坐标为：（-3，5）．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义是解决问题的关键．
6、A
【详解】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB•sinα=9sin31°（米）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．
7、C
【分析】分别根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方以及同底数幂的乘法化简即可判断．
【详解】A、，故选项A不合题意；
B．，故选项B不合题意；
C．，故选项C符合题意；
D．，故选项D不合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、幂的运算以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解答本题的关键．
8、C
【分析】利用两个根和的关系式解答即可.
【详解】两个根的和=，
故选：C.
【点睛】
此题考查一元二次方程根与系数的关系式， .
9、C
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．
【详解】选项A，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
选项A正确；
选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，
即BC＝m•tanα，
选项B正确；
选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，
选项C错误；
选项D，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，
选项D正确.
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
10、A
【分析】根据锐角三角函数分别求出OB和OA，即可求出AB.
【详解】解：如下图所示，OD=OC=5m，∠DOB=60°，∠COA=45°，
在Rt△OBD中，OB=OD·cos∠DOB=m
在Rt△OAC中，OA=OC·cos∠COA=m
∴AB=OA+OB=(+1 )m
故选：A.
【点睛】
此题考查的是解直角三角形，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,然后根据题意列出方程求解即可.
【详解】解：设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,根据题意可得：
整理得：
解得：（负值舍去）
故答案为：12.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出阴影部分的面积的方程是本题的解题关键.
12、
【分析】需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，根据树状图可以求得所有等可能的结果与出现三次正面朝上的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图得：
∴一共有共8种等可能的结果；出现3次正面朝上的有1种情况．
∴出现3次正面朝上的概率是
故答案为．
点评：此题考查了树状图法概率．注意树状图法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13、1
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵MP′=4，
∴OP′=6，
∴AB=2OP′=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
14、1
【解析】连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答
【详解】解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，
设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：
AC•x+BC•x+AB•x=AC•BC，
由题意可得:AC=4,BC=3,AB=5
∴×4•x+×3•x+×5•x=×3×4
解得:x=1．
故答案为:1.
【点睛】
本题中点到三边的距离就是直角三角形的内切圆的半径长，内切圆的半径= ．
15、
【分析】连结GE交AD于点N，连结DE，由于∠BAE＝45°，AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，由可得到AN＝GN＝1，所以DN＝4﹣1＝3，然后根据勾股定理可计算出，则，解着利用计算出HE，所以BH＝BE+HE．
【详解】解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图，
∵∠BAE＝45°，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵，
∴AN＝GN＝1，
∴DN＝4﹣1＝3，
在Rt△DNG中，；
由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解题的关键是会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
16、
【分析】由轴对称的性质可知AM=AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
【详解】如图所示：连接AM．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=
∵点D与点M关于AE对称，
∴AM=AD=1．
∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．
如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
∴CM的最小值=AC-AM′=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，正方形的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键．
17、＜
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与Y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abc的正负．
【详解】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0.
∵图象的对称轴在x轴的负半轴上，
∴ .
∵a＞0，
∴b>0.
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0.
∴abc<0.
故答案为<.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．
18、1
【分析】当△=0时，方程有两个相等实数根.
【详解】由题意得：△=b2-4ac=22-4m=0，则m=1.
故答案为1.
【点睛】
本题考察了根的判别式与方程根的关系.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）π；（3）π
【分析】（1）根据旋转的性质可直接进行作图；
（2）由（1）图及旋转的性质可得点C的运动路径为圆弧，其所在的圆心为A，半径为3，然后根据弧长计算公式可求解；
（3）由题意可得边AB扫过的面积为扇形的面积，其扇形的圆心角为90°，半径为5，然后可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵由已知得，CA=3，
∴点C旋转到点C1所经过的路线长为：＝π×3=π ；
（3）由图可得：AB===5，
∴S=π×52 =π．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质、弧长计算及扇形的面积，熟练掌握旋转的性质、弧长计算及扇形的面积公式是解题的关键．
20、7.2千米
【解析】设千米，过点作，可得，根据，列方程求解即可．
【详解】解：设千米，过点作，交于点
在中，
在中， ，
∵
∴
∴
答：两地间的距离约为7.2千米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形应用和特殊三角函数..熟练掌握特殊三角函数值是解决问题的关键.
21、（1）或；（2）画图见解析；（3）.
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y=a（x-1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x=、3时的函数值即可写出y的取值范围．
【详解】解：根据题意可知, 二次函数的顶点坐标为（1，4），
∴设二次函数的解析式为：，
把代入得：；
∴；
∴解析式为：或.
（2）如图所示：
（3）当时，；
当时，；
∵抛物线的对称轴为：，
此时y有最大值4；
∴当时，的取值范围为：.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
22、（1）A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）；（2）1
【分析】（1）求出两函数解析式组成的方程组的解即可；
（2）先求出函数y＝x﹣2与y轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：（1）解方程组，
解得：，，
即A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3）；
（2）设函数y＝x﹣2与y轴的交点是C，
当x＝0时，y＝﹣2，
即OC＝2，
∵A的坐标是（3，1），B的坐标是（﹣1，﹣3），
∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝＝1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．
23、（1）；（2）
【分析】（1）过点作于点，交于点，由平行得到，再根据相似三角形的性质得到，列出关于半径的方程，解方程即可得解；
（2）在（1）结论的基础上结合已知条件，利用锐角三角函数解即可得解．
【详解】解：（1）过点作于点，交于点，如图：
∴
∴
∴设圆形滚轮的半径的长是
∴，即
∴
∴圆形滚轮的半径的长是；
（2）∵
∴在中，
∴．
故答案是：（1）；（2）
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，在求线段长度时，可以通过建立方程模型来解决问题．
24、（1）证明见解析；（2）cos∠ABO=
【分析】（1）过点作点，在中，利用锐角三角函数的知识求出BD的长，再用勾股定理求出OD、AB、BC的长， 所以AB=BC，从而得到∠ACB=∠BAO，然后根据两角分别相等的两个三角形相似解答即可；
（2）在中求出∠BAO的余弦值，根据∠ABO=∠BAO可得答案．
【详解】（1）在平面直角坐标系中，点的坐标为，
，，
，∠OAB=∠ABO，
过点作点，
则，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
∴CD=6-2=4，
∴BC=，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAO，
∴∠ACB=∠ABO=∠BAO，
又∵∠BAC=∠OAB，
（两角分别相等的两个三角形相似）；
（2）在中，
，
∵∠ABO=∠BAO ，
，
即的值为．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25、（1）；；（2）或；
【解析】（1）利用点A的坐标可求出反比例函数解析式，再把B（4，n）代入反比例函数解析式，即可求得n的值，于是得到一次函数的解析式；
（2）根据图象和A，B两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数时自变量x的取值范围．
【详解】（1） 过点，
，
反比例函数的解析式为；
点在 上，
，
，
一次函数过点，
，
解得：．
一次函数解析式为；
（2）由图可知，当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式．
26、 (1)见解析；(2) BD＝2CD证明见解析
【分析】（1）连接OD．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：∠OAD＝∠ODA；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠OAD＝∠CAD；
（2）连接OF，根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得∠BAC＝60°，根据平行线的性质得出BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，根据解直角三角形即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）连接OF，
∵DF∥AB，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠ADF＝∠OAF，
∵∠ADF＝∠AOF，
∴∠AOF＝∠OAF，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠ADF＝∠DAF，
∴DF＝AF，
∵DF∥AB，
∴BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，
∴＝2，
∴BD＝2CD．
【点睛】
本题考查了切线的性质，涉及知识点有：平行线的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，数形结合做出辅助线是解本题的关键
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