资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4
2．如图，点A．B．C在⊙D上，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．110° B．140° C．35° D．130°
3．下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（ ）
①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形：
④当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形；
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
5．如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，下图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=ax2+bx+c
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（ ）
A．（b+2a，2b） B．（﹣b﹣2c，2b）
C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c） D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）
8．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（ ）
A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：
9．如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
10．如图，已知，分别为正方形的边，的中点，与交于点，为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票,座号是“7排8号” B．射击运动员射击一次,恰好命中靶心
C．抛掷一枚图钉,钉尖触地 D．13名同学中,至少2人出生的月份相同
12．若∽，相似比为，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在△ABC中，∠BAC=35°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC的度数是 ．
14．如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为__________米.
15．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为_____．
16．在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ=_____．
17．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
18．已知，则＝____
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知BC^AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD×AO=AM×AP，连接OP．
（1）证明：MD//OP；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AD=24，AM=MC，求的值．
20．（8分）一个不透明口袋中装有6个红球、9个黄球、3个绿球，这些球除颜色外没有任何区别.从中任意摸出一个球.
(1)求摸到绿球的概率.
(2)求摸到红球或绿球的概率.
21．（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元．如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
22．（10分）已知如下图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位．
（1）将图1中的格点，按照的规律变换得到，请你在图1中画出．
（2）在图2中画出一个与格点相似但相似比不等于1的格点．
（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB绕P点逆时针旋转90°得到线段CD，A和C对应，B和D对应.
(1)若P为AB中点，画出线段CD，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P点的坐标为 ，C点坐标为 .
(3)若C为直线上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为 .
24．（10分）课本上有如下两个命题：
命题1：圆的内接四边形的对角互补.
命题2：如果一个四边形两组对角互补，那么该四边形的四个顶点在同一个圆上.
请判断这两个命题的真、假？并选择其中一个说明理由.
25．（12分）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有 人，补全条形统计图．
（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？
（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．
26．综合与实践：
如图，已知 中,．
（1）实践与操作： 作 的外接圆，连结 ，并在图中标明相应字母；（尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法）
（2）猜想与证明： 若，求扇形的面积.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a．
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线．故选C．
2、B
【解析】根据圆周角定理可得∠ADC=2∠ABC=140°，故选B.
3、D
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【详解】A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，命题正确，不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，命题正确，不符合题意；
D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
4、D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
④当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
5、A
【分析】运用动点函数进行分段分析，当点P在AD上和在BD上时，结合图象得出符合要求的解析式．
【详解】①当点P在AD上时，此时BC是定值，BC边的高是定值，则△PBC的面积y是定值；
②当点P在BD上时，此时BC是定值，BC边的高与运动时间x成正比例的关系，则△PBC的面积y与运动时间x是一次函数，并且△PBC的面积y与运动时间x之间是减函数，y≥1．
所以只有A符合要求．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键，有一定难度．
6、A
【详解】A. y=x2，是二次函数，正确；
B. y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C. y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D. y=ax2+bx+c，a=0时，，不是二次函数，错误．
故选A．
考点：二次函数的定义.
7、C
【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得,推出，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；
【详解】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．
∵tan∠BAC==2，
∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，
∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，
∴△CBH∽△BAO，
∴，
∴BH=﹣2a，CH=2b，
∴C（b+2a，2b），
由题意可证△CHF∽△BOD，
∴，
∴，
∴FH=2c，
∴C（﹣b﹣2c，2b），
∵2c+2b=﹣2a，
∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，
∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），
故选C．
【点睛】
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8、C
【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
【详解】解：如图，连接AP，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝P′C，
∵P′A：P′C＝1：4，
∴AP＝4P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，
∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则AP＝4x，
∴PP'＝，
∴P'B＝PB＝，
∴P′A：P′B＝2：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.
9、C
【详解】∵，∠AOB=60°，
∴∠BDC=∠AOB=30°．
故选C．
10、B
【分析】根据正方形的性质可得，然后利用SAS即可证出，根据全等三角形的性质可得：，根据直角三角形的性质和三角形的内角和，即可判断①；根据中线的定义即可判断②；设正方形的边长为，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，即可判断③；过点作于，易证△AMN∽△AFB，列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB即可判断④．
【详解】解：在正方形中，，，
、分别为边，的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故①正确;
是的中线，
，
，
故②错误;
设正方形的边长为，则，
在中，，
，，
，
，即，
解得：，
，
，
故③正确；
如图，过点作于，
∴
∴△AMN∽△AFB
∴，
即，
解得，
，
根据勾股定理，，
，
，故④正确.
综上所述，正确的结论有①③④共3个
故选：B．
【点睛】
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
11、D
【分析】根据必然事件的定义即可得出答案.
【详解】ABC均为随机事件，D是必然事件，故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是必然事件的定义：一定会发生的事情.
12、B
【分析】根据相似三角形的性质：周长之比等于相似比解答即可.
【详解】解：∵∽，相似比为，∴与的周长比为.
故选：B.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、15°
【分析】先根据旋转的性质，求得∠BAB'的度数，再根据∠BAC=35°，求得∠B′AC的度数即可．
【详解】∵将绕点顺时针方向旋转50°得到，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：15°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
14、
【解析】设圆心为O，半径长为r米，根据垂径定理可得AD=BD=6，则OD=(r-4)，然后利用勾股定理在Rt△AOD中求解即可.
【详解】解：设圆心为O，半径长为r米，
可知AD=BD=6米，OD=(r-4)米
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：，
解得r=6.5米，即半径长为6.5米.
故答案为6.5
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用,要熟练掌握勾股定理的性质,能够运用到实际生活当中.
15、．
【分析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S△OAC＝，S△OBD＝，再证明Rt△AOC∽Rt△OBD，然后利用相似三角形的性质得到的值．
【详解】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，
∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，
∴S△OAC＝×1＝，S△OBD＝×|﹣5|＝，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠DBO，
∴Rt△AOC∽Rt△OBD，
∴＝（）2＝＝，
∴＝．
∴＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
16、
【解析】试题分析：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ，∴∠OAB=∠OPQ，由直线的斜率可知：tan∠OAB=，∴tan∠OPQ=；故答案为．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．解直角三角形．
17、
【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.
【详解】原方程化为一般形式为：mx2+(2m+1)x=0，
∵方程有两个相等的实数根
∴（2m+1）2-4m×0=0
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
18、1
【分析】由，得a＝3b，进而即可求解．
【详解】∵，
∴a＝3b，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明，然后利用平行线的判定定理即可．
（2）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（3）连接CD．由（2）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用全等三角形的性质求出MD即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接、、．
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）连接．由（1）可知：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，∴，，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质，解题关键在于构造辅助线，相似三角形解决问题.
20、 (1)；(2).
【分析】（1）由题意可知绿球占总数的六分之一，因此摸到绿球的概率为六分之一，
（2）红球和绿球共有9个，占总数的二分之一，因此摸到红球或绿球的概率为二分之一．
【详解】解：解：(1)，
(2).
【点睛】
本题考查随机事件发生的概率，关键是找出所有可能出现的结果数和符合条件的结果数．
21、第二个月的单价应是70元.
【解析】试题分析：
设第二个月降价元，则由题意可得第二个月的销售单价为元，销售量为件，由此可得第二个月的销售额为元，结合第一个月的销售额为元和第三个月的销售额为元及总的利润为9000元，即可列出方程，解方程即可求得第二个月的销售单价.
试题解析：
设第二个月的降价应是元，根据题意，得:
80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000,
整理，得x2-20x+100=0，
解得x1=x2=10，
当x=10时，80-x=70＞50，符合题意.
答：第二个月的单价应是70元.
点睛：这是一道有关商品销售的实际问题，解题时需注意以下几点：（1）进货成本=商品进货单价×进货数量；（2）销售金额=商品销售单价×销售量；（3）利润=销售金额-进货成本；（4）若商品售价每降价元，销量增加件，则当售价降低元时，销量增加：件.
22、（2）详见解析；（2）详见解析
【分析】（2）按题中要求，把图形上的每个关键点图2中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A2B2C2单位后，依次连接各个关键点，即可得出要画的图形；
（2）根据平移作图的规律作图即可做个位似图形即可，相似比可以是2：2．
【详解】（2）如图2．（2）如图2．
（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了作图-平移变换、作图-位似图形，根据要求作图是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）（4,4），（3,1）；（3）.
【分析】（1）根据题意作线段CD即可；
（2）根据题意画出图形即可解决问题；
（3）因为点C的运动轨迹是直线，所以点P的运动轨迹也是直线，找到当C坐标为（0,0）时，P'的坐标，利用待定系数法即可求出关系式.
【详解】（1）如图所示，线段CD即为所求，
（2）如图所示，P点坐标为（4,4），C点坐标为（3,1），
故答案为：（4,4），（3,1）.
（3）如图所示，
∵点C的运动轨迹是直线，
∴点P的运动轨迹也是直线，
当C点坐标为（3,1）时，P点坐标为（4,4），
当C点坐标为（0,0）时，P'的坐标为（3,2），
设直线PP'的解析式为，则有，解得，
∴P点横、纵坐标之间的关系为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查网格作图和一次函数的解析式，熟练掌握旋转变换的特征是解题的关键.
24、命题一、二均为真命题，证明见解析.
【分析】利用圆周角定理可证明命题正确；利用反证法可证明命题2正确．
【详解】命题一、二均为真命题，
命题1、命题2都是真命题．
证明命题1：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接OA、OC，
∵∠B=∠1，∠D=∠2，
而∠1+∠2=360°，
∴∠B+∠D=×360°=180°，
即圆的内接四边形的对角互补．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25、（1）144°，1；（2）180；（3）．
【解析】试题分析：（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图；
（2）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；
（3）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°；
“经常参加”的人数为：40×40%=16人，喜欢足的学生人数为：16﹣6﹣4﹣3﹣2=1人；
补全统计图如图所示：
故答案为：144°，1；
（2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×=180人；
（3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．
26、（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，做出AB的垂直平分线找到斜边中点O，然后连接OC即可；（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出圆心角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解.
【详解】解：（1）如图所示：外接圆与线段为所求.
【点睛】
本题考查尺规作图和扇形面积的求法，掌握直角三角形外接圆的圆心是斜边中点，从而做出斜边的垂直平分线，熟记扇形面积公式并正确计算是本题的解题关键.
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