资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图象与点A和点B，P和Q在x轴上，且四边形ABPQ为平行四边形，则四边形ABPQ的面积等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
2．从下列两组卡片中各摸一张，所摸两张卡片上的数字之和为5的概率是（ ）
第一组：1,2,3 第二组：2,3,4
A． B． C． D．
3．若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，则的面积是( )
A． B． C． D．
5．下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF内接于，M为EF的中点，连接DM，若的半径为2，则MD的长度为
A． B． C．2 D．1
7．在直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．要得到抛物线，可以将（ ）
A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
9．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3
10．下列事件中是随机事件的是( )
A．校运会上立定跳远成绩为10米
B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球
C．慈溪市明年五一节是晴天
D．在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
12．数据1、2、3、2、4的众数是______．
13．如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是__________，点的坐标是__________.
14．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则的面积是________.
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是_____cm．
16．关于的方程=0的两根分别是和，且=__________．
17．如图，正五边形内接于，为上一点，连接，则的度数为__________.
18．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某校为了弘扬中华传统文化，了解学生整体阅读能力，组织全校的1000名学生进行一次阅读理解大赛．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分
频数
频率
50≤x＜60
6
0.12
60≤x＜70
0.28
70≤x＜80
16
0.32
80≤x＜90
10
0.20
90≤x≤100
4
0.08
（1）频数分布表中的 ；
（2）将上面的频数分布直方图补充完整；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，估计该校进入决赛的学生大约有 人．
20．（6分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
21．（6分）已知，如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点.
求证:；
若，垂足为点，且，求的值.
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8m，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
23．（8分）已知：如图，四边形的对角线、相交于点，.
（1）求证：；
（2）设的面积为，，求证：S四边形ABCD.
24．（8分）如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．
25．（10分）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．
（1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；
（2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″；
（3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是 ．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为（4,2），的垂直平分线分别交于点，过点的反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数的表示式；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）连接，在反比例函数图像上存在点，使，直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】分别过A、B作AD、BE垂直x轴，易证，则平行四边形ABPQ的面积等于矩形ADEB的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义分别求得矩形ADOC和矩形BEOC的面积，相加即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过A、B作AD、BE垂直x轴于点D、点E，则四边形ADEB是矩形，
易证，
∴S矩形ABED，
∵点A在反比例函数上，
由反比例函数比例系数k的几何意义可得：
S矩形ADOC=|k|=3，
同理可得：S矩形BEOC=7，
∴S矩形ABED= S矩形ADOC+S矩形BEOC=3+7=10，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练运用比例系数k的几何意义是解决本题的关键．
2、D
【分析】根据题意，通过树状图法即可得解.
【详解】如下图，画树状图
可知，从两组卡片中各摸一张，一共有9种可能性，两张卡片上的数字之和为5的可能性有3种，则P(两张卡片上的数字之和为5)，
故选：D.
【点睛】
本题属于概率初步题，熟练掌握树状图法或者列表法是解决本题的关键.
3、B
【分析】根据，设x=1a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．
【详解】解：∵，设x=1a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==1．
∴A＜B＜C．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．
4、C
【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AB=8cm，
∴sinA==，
∴BC=6（cm），
∴AC=（cm），
∴S△ABC=•BC•AC=×6×2=6（cm2）．
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、B
【分析】将每个选项中点的横坐标代入反比例函数解析式中，看函数值是否一致，如果一致，说明点在函数图象上，反之则不在.
【详解】A选项中，当时，故该选项错误；
B选项中，当时，，故该选项正确；
C选项中，当时，，故该选项错误；
D选项中，当时，，故该选项错误.
故选B
【点睛】
本题主要考查点是否在反比例函数图象上，掌握反比例函数变量的求法是解题的关键.
6、A
【解析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．
【详解】连接OM、OD、OF，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，
∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，
∴∠MOD=∠OMF=90°，
∴OM=OF•sin∠MFO=2×=，
∴MD=，
故选A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
7、D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都相反，进行判断即可．
【详解】点A(－1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，－2)．
故选：D．
【点睛】
本题考查点的坐标特征，熟记特殊点的坐标特征是关键．
8、C
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】解：∵y=（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1），y=x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y=（x-1）2+1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
9、A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系 即可得出答案．
【详解】由根与系数的关系得
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10、C
【分析】根据随机事件的定义，就是可能发生也可能不发生的事件进行判断即可．
【详解】解：A．“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A不符合题意；
B．“在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B不符合题意；
C．“慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C符合题意；
D．“在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，理解随机事件的定义是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或．
【解析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，
∴在Rt△CFE中，，.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴，
∴在Rt△ODE中，.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，，
∴在Rt△MFE中，，
∵∠DEO=∠EMF，
∴，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，.
综上所述，DO的长是或.
故本题应填写：或.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.
12、1
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【详解】解：数据1、1、3、1、4中，
∵数字1出现了两次，出现次数最多，
∴1是众数，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
13、 (2，2)
【分析】根据坐标系中，以点为位似中心的位似图形的性质可得点D的坐标，过点C作CM⊥OD于点M，根据含30°角的直角三角形的性质，可求点C的坐标．
【详解】∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标是，
∴点D的坐标是(8，0)，
∵，，
∴∠D=30°，
∴OC=OD=×8=4，
过点C作CM⊥OD于点M，
∴∠OCM=30°，
∴OM=OC=×2=2，CM=OM=2，
∴点C的坐标是(2，2)．
故答案是：(2，2)；(8，0)．
【点睛】
本题主要考查直角坐标系中，位似图形的性质和直角三角形的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
14、1
【分析】连接OA、OB，如图，由于AB∥x轴，根据反比例函数k的几何意义得到S△OAP=2，S△OBP=1，则S△OAB=1，然后利用AB∥OC，根据三角形面积公式即可得到S△CAB=S△OAB=1．
【详解】连接OA，OB，如图
轴，
，
，
∴，
，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
15、1．
【分析】根据勾股定理求出的斜边AB，再由等面积法，即可求得内切圆的半径.
【详解】由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆，设AC边上的切点为D，连接OA、OB、OC，OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，
∴AB＝＝50cm，
设半径OD＝rcm，
∴S△ACB＝＝，
∴30×40＝30r+40r+50r，
∴r＝1，
则该圆半径是 1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查内切圆、勾股定理和等面积法的问题，属中档题.
16、2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答.
【详解】∵方程=0的两根分别是和，
∴， ，
∴=，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查根与系数的关系，熟记两个关系式并运用解题是关键.
17、
【分析】连接OA，OE．根据正五边形求出∠AOE的度数，再根据圆的有关性质即可解答
【详解】如图，连接OA，OE．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOE= =72°，
∴∠APE= ∠AOE=36°
【点睛】
本题考查了正多边形和圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握想关性质并且灵活运用题目的已知条件.
18、3.
【分析】先根据同角的余角相等证明∠ADE＝∠ACD，在△ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和DC=3k，从而根据勾股定理得出AC=5k，又AC=5，从而求出DC的值即为AB.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝＝，
设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，
∴5k＝5，
∴k＝1，
∴CD＝AB＝3，
故答案为3.
【点睛】
本题考查矩形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，解决此类问题时需要将已知角的三角函数、已知边、未知边，转换到同一直角三角形中，然后解决问题.
三、解答题(共66分)
19、（1）14；（2）补图见解析；（3）1.
【解析】（1）根据第1组频数及其频率求得总人数，总人数乘以第2组频率可得a的值；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整；
（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．
【详解】（1）∵被调查的总人数为6÷0.12=50人，
∴a=50×0.28=14，
故答案为：14；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计该校进入决赛的学生大约有1000×0.08=1人，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．
20、（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；
（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；
（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）9.
【分析】（1）首先根据直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，然后由垂直的性质得出，最后由，即可得出；
（2）首先由相似三角形的性质得出，然后由得出，进而即可得出的值.
【详解】是直角三角形斜边上的中线
.
，
而
又
由(1)知
即.
.
【点睛】
此题主要考查直角三角形斜边中线性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
22、（1）1s或2s；（1）当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
（1）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm1．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝1xcm，
则（6﹣x）•1x＝8，
整理得x1﹣6x+8＝0，
解得x1＝1，x1＝2．
所以P、Q同时出发，1s或2s后可使△PCQ的面积为8cm1．
（1）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝6﹣t，QC＝1t．
当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝．
综上所述，当t＝或t＝时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．关键在于读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程求解．
23、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根据三角形面积公式得到点D和点C到AB的距离相等，则CD∥AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；
（2）利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）∵S△AOD=S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴ ；
（2）∵△DOC∽△BOA
∴ ＝k，2=k2，
∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，
∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，
∴S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，证明△DOC∽△BOA是解题的关键．
24、证明见解析．
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】是的角平分线
又
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
25、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（2，﹣3）．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：△A″B″C″，即为所求；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是（2，﹣3）．
【点睛】
考点：1.-旋转变换；2.-平移变换．
26、（1）反比例函数表达式为；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）求出点横坐标，也就是.由垂直平分，得到,,
,在，,求出,从而求出.
（2）方法一:通过边长关系可证,为公共角,从而,,;
方法二:求出直线与直线的解析式，系数相等,所以
方法三: 延长交轴于点,证明,四边形是平行四边形, .
（3）求出,根据,设,代入点坐标，求得,与联立,求出的坐标.
【详解】（1）连接，
∵垂直平分，∴．
∵，∴．
设，则，
∵四边形矩形，
∴，．
在中，
．即 ．解得．
∴点．
将点的坐标代入中，得．
∴所求反比例函数表达式为．
（2）．
方法一：将代入得，，∴点．
∵，，，，
∴，，，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
方法二：将代入得，，∴点．
由（1）知，，．
设直线的函数表达式为，∵点在直线上，∴，∴．
∴设直线的函数表达式为．
设直线的函数表达式为，∵点在直线上，
∴ 解得
∴直线的函数表达式为．
∵直线与直线的值为，∴直线与直线平行．
∴．
方法三：延长交轴于点，
设直线的函数表达式为，∵点在直线上，
∴ 解得
∴直线的函数表达式为．
将代入中，得．∴点．
∴，．
∴．
∵四边形矩形，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
（3）．
【点睛】
本题考查了反比例函数的求法,平行的性质以及两直线垂直的性质.
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