资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．如图是抛物线的部分图象，其顶点为，与轴交于点，与轴的一个交点为，连接.以下结论：①；②抛物线经过点；③；④当时， .其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
3．是四边形的外接圆，平分，则正确结论是（ ）
A． B． C． D．
4．有三个质地、大小一样的纸条上面分别写着三个数，其中两个正数，一个负数，任意抽取一张，记下数的符号后，放回摇匀，再重复同样的操作一次，试问两次抽到的数字之积是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
6．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，点是延长线上一点，是的切线，点是切点，，若半径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象可能（ ）
A． B．
C． D．
9．关于x的一元二次方程x2+bx-6=0的一个根为2，则b的值为( )
A．-2 B．2 C．-1 D．1
10．若反比例函数的图像在第二、四象限，则它的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
11．把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意画一个五边形，其内角和是540° D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为___________
14．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
15．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．
17．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________．
18．布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其余都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在等腰中，，以为直径的，分别与和相交于点和，连接.
（1）求证：；
（2）求证：.
20．（8分） (1)解方程: ；
(2)计算: ．
21．（8分）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为，求的值．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，点E是弧BC的中点.
(1)过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线.
(2)点F是弧AC的中点，求EF的长.
23．（10分）如图，中，，，为内部一点，且.
(1)求证：；
(2)求证：.
24．（10分）如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠BAC=2∠EBC ，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若AB=8，BE=4，求BC的长．
25．（12分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中．共调查了______名中学生家长；
（2）将图形①、②补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
26．解方程：x2+11x+9＝1．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
2、D
【分析】根据抛物线与y轴交于点（0，3），可得出k的值为4，从而得出抛物线的解析式为，将（-2，3）代入即可判断正确与否，抛物线与x轴的交点A（1，0）,因此得出三角形的面积为2，当x-3<x<1时，y>0.据此判断④正确.
【详解】解：把（0，3）代入抛物线解析式求出k=4,选项①错误，
由此得出抛物线解析式为：，
将（-2，3）代入解析式可得出选项②正确；
抛物线与x轴的两交点分别为（1，0），（-3，0），
∴OA=1,
∵点M到x轴的距离为4，
∴，选项③错误；
∵当x-3<x<1时，y>0.
∵
∴y>0，选项④正确，
故答案为D.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键,再利用其性质求解.
3、B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
【详解】解：与的大小关系不确定，与不一定相等，故选项A错误；
平分，，，故选项B正确；
与的大小关系不确定，与不一定相等，选项C错误；
∵与的大小关系不确定，选项D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4、C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与两次抽到的数字之积是正数的情况数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：两个正数分别用a，b表示，一个负数用c表示，画树状图如下：
共有9种等情况数，其中两次抽到的数字之积是正数的有5种，
则两次抽到的数字之积是正数的概率是；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、B
【解析】x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
故选B.
6、D
【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.
【详解】∵DE//BC，∴ ，故A正确；
∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴，故B正确；
∵DF//BE，∴ ，∵ ，∴，故C正确；
∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴，∵DF//BE，∴，∴，故D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.
7、B
【分析】连接OC，求出∠COD和∠D，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案．
【详解】连接OC，
∵AO=CO，∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB =60°，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=90°-∠COD =90°-60°=30°，
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=4，
∴，
∴阴影部分的面积是:
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，三角形的面积的应用，还考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．
8、C
【分析】先分别根据二次函数和一次函数的图象得出a、c的符号，再根据两个函数的图象与y轴的交点重合，为点逐项判断即可．
【详解】A、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意
B、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意
C、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号一致，且都经过点，则此项符合题意
D、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号一致，但与y轴的交点不是同一点，则此项不符题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．
9、D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=2代入程x2+bx-6=0得4+2b-6=0，
解得b=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
10、A
【分析】根据反比例函数的定义及图象经过第二、四象限时，判断即可．
【详解】解：、对于函数，是反比例函数，其，图象位于第二、四象限；
、对于函数，是正比例函数，不是反比例函数；
、对于函数，是反比例函数，图象位于一、三象限；
、对于函数，是二次函数，不是反比例函数；
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数、反比例的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
11、B
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】解：抛物线y=-x1的顶点坐标为（0，0），
先向左平移1个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，-1），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=-（x+1）1-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
12、C
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件．
B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件．
C、任意画一个五边形，其内角和是540°，是必然事件．
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件．
故选：C．
【点睛】
本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【详解】解：∵AB⊥x轴于点B，且S△AOB=2，
∴S△AOB=|k|=2，
∴k=±1．
∵函数在第一象限有图象，
∴k=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义．
14、1．
【详解】解：，得x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=1．
故答案是：1
15、2：1．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应中线的比．
故答案为：2：1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
16、1
【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．
【详解】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=1，
∴a的最大值为1．
故答案为1．
【点睛】
圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径．
17、1
【分析】依题意可知所求的长度等于AB的长，通过解直角△ABC即可求解．
【详解】如图，∵∠BAC＝30，∠ACB＝90，AC＝，
∴AB＝AC/cos30＝（m）．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
18、
【分析】由题意根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．
【详解】解：∵一个布袋里装有3个红球和4个白球，共7个球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，从而得出，最后根据平行线的判定即可证出结论；
（2）连接半径，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而得出，最后根据在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等即可证出结论．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
连接半径，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质和平行线的判定及性质，掌握在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等、等边对等角和平行线的判定及性质是解决此题的关键．
20、（1）；（2）-3
【分析】（1）先依次写出a、b、c的值，再求出△的值，最后代入公式计算即可；
（2）分别计算特殊角的三角函数值和算术平方根，再依据有理数的混合运算计算即可．
【详解】解:(1):∵
∴，
∴，
∴
，
即
(2)原式= ，
．
【点睛】
本题考查利用公式法解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算和算术平方根．（1）中熟记一元二次方程的求根公式是解题关键；（2）中熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21、
【分析】把点A代入直线解析式求出点A的坐标，然后再代入反比例函数解析式求出k值即可.
【详解】解： ∵ 直线与反比例函数的图象的一个交点为
∴ 2= -a+4，即a=2
∴ 点A坐标为（2，2）
∴ ，即k=4.
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，即点A即在直线上又在双曲线上，代入求值即可.
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接AE，由等弦对等弧可得，进而推出，可知AE为⊙O的直径，再由等腰三角形三线合一得到AE⊥BC，根据DE∥BC即可得DE⊥AE，即可得证；
（2）连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，利用勾股定理求出AG，然后求直径AE，再利用垂径定理求出HF，最后用勾股定理求AF和EF.
【详解】证明：（1）如图，连接AE，
∵AB=AC
∴
又∵点E是弧BC的中点，即
∴，即
∴AE为⊙O的直径，
∵
∴∠BAE=∠CAE
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∵DE∥BC
∴DE⊥AE
∴DE是⊙O的切线.
（2）如图，连接BE，AF，OF，OF与AC交于点H，AE与BC交于点G，
∴∠ABE=∠AFE=90°，OF⊥AC
由（1）可知AG垂直平分BC，∴BG=BC=6
在Rt△ABG中，
∵cos∠BAE=cos∠BAG
∴，即
∴AE=
∴⊙O的直径为，半径为.
设HF=x，则OH=
∴在Rt△AHO中，
即，
解得
∴
∴
【点睛】
本题考查圆的综合问题，需要熟练掌握切线的证明方法，以及垂径定理和勾股定理的运用是关键.
23、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，进而得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论.
【详解】证明：（1）∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．
24、（1）证明见解析；（2）BC=
【分析】（1）运用切线的判定，只需要证明AB⊥BC即可，即证∠ABC=90°. 连接AF，依据直径所对圆周角为90度，可以得到∠AFB=90°，依据三线合一可以得到2∠BAF=∠BAC，再结合已知条件进行等量代换可得∠BAF=∠EBC，最后运用直角三角形两锐角互余及等量代换即可.
（2）依据三线合一可以得到BF的长度，继而算出∠BAF=∠EBC的正弦值，过E作EG⊥BC于点G，利用三角函数可以解除EG的值，依据垂直于同一直线的两直线平行，可得EG与AB平行，从而得到相似三角形，依据相似三角形的性质可以求出AC的长度，最后运用勾股定理求出BC的长度.
【详解】（1）证明：连接AF．
∵AB为直径， ∴∠AFB=90°．
又∵AE=AB，
∴2∠BAF=∠BAC，∠FAB+∠FBA=90°．
又∵∠BAC=2∠EBC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．即AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：过E作EG⊥BC于点G，
∵AB=AE，∠AFB=90°，
∴BF=BE=×4=2，
∴sin∠BAF=，
又∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠EBC=．
又∵在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴．
∴，
∴CE=，
∴AC=AE+CE=8+=．
在Rt△ABC中，
BC=
【点睛】
本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，锐角三角函数等知识，作辅助线构造熟悉图形，实现角或线段的转化是解题的关键.
25、（1）200；（2）详见解析；（3）48000
【分析】（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可．
【详解】解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；
故答案为：200.
（2）持赞成态度的学生家长有200-50-120=30人，
B所占的百分比为：；
C所占的百分比为：；
故统计图为：
（3）持反对态度的家长有：80000×60%=48000人．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．
26、x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】利用因式分解法进行解答即可.
【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+2）＝1，
可得x+1＝1或x+2＝1，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键.
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