资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在坐标原点，点的坐标为，点在第二象限，且反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A．-9 B．-8 C．-7 D．-6
2．如图，这是二次函数的图象，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．两直线a、b对应的函数关系式分别为y=2x和y=2x+3，关于这两直线的位置关系下列
说法正确的是
A．直线a向左平移2个单位得到b B．直线b向上平移3个单位得到a
C．直线a向左平移个单位得到b D．直线a无法平移得到直线b
4．化简的结果是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
5．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=1．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．如图，小明将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（ ）
A． B．
C． D．
8．若数据，，…，的众数为，方差为，则数据，，…，的众数、方差分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A．(3，1) B．（-3，1） C．(3，) D．（，3）
10．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5
11．的倒数是（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500
C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝1500
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n=_____．
14．在中，，，，则的值是__________．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得△DEC，此时CD⊥AB，连接AE，则tan∠EAC=____．
16．已知关于x的方程x2＋3x＋2a＋1＝0的一个根是0，则a＝______．
17．四边形为的内接四边形，为的直径，为延长线上一点，为的切线，若，则_________.若，则__________．
18．如图，量角器的0度刻度线为，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得，点在量角器上的读数为，则该直尺的宽度为____________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查数据的众数落在 组内，中位数落在 组内；
（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．
20．（8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
0
3
1
0
…
不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
21．（8分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．
（1）写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，某中学有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路（阴影部分），余下的四块矩形小场地建成草坪．
（1）请分别写出每条道路的面积（用含或的代数式表示）；
（2）若，并且四块草坪的面积之和为144平方米，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
23．（10分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根.
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．
25．（12分）如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图，每个小题只需作出一个符合条件的图形．
（1）在图1网格中找格点，作直线，使直线平分的面积；
（2）在图2网格中找格点，作直线，使直线把的面积分成两部分．
26．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2 = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，），则C（，-x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，即可得出，解方程组求得k的值．
【详解】解：如图，作轴于，轴于连接AC，BO，
∵，
∴
∵，
∴.
在和中，
∴
∴.
设，则.
∵和互相垂直平分，点的坐标为，
∴交点的坐标为，
∴，
解得，
∴，
故选.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
2、D
【分析】由题意根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到 =0，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：因为二次函数图象过原点，
所以把（0，0）代入二次函数得出 =0，解得或，
又因为二次函数图象开口向下，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式进行分析作答即可．
3、C
【分析】根据上加下减、左加右减的变换规律解答即可．
【详解】A. 直线a向左平移2个单位得到y=2x+4，故A不正确；
B. 直线b向上平移3个单位得到y=2x+5，故B不正确；
C. 直线a向左平移个单位得到=2x+3，故C正确，D不正确.
故选C
【点睛】
此题考查一次函数与几何变换问题，关键是根据上加下减、左加右减的变换规律分析．
4、A
【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.
5、B
【解析】按照系数化1、开平方的步骤求解即可.
【详解】系数化1，得
开平方，得
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解,熟练掌握,即可解题.
6、C
【解析】试题分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=2．故答案选C．
考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．
7、C
【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．
【详解】设含有角的直角三角板的直角边长为1，则斜边长为，
将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，
此圆锥的底面周长为：，
圆锥的侧面展开图是扇形，
，即，
∴，
∵，
∴图C符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．
8、C
【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据，，…，原来数据相比都增加2，,则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．
【详解】解：∵数据，，…，的众数为，方差为，
∴数据，，…，的众数是a+2，这组数据的方差是b．
故选：C
【点睛】
本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变．
9、A
【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.
【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A.
10、A
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11、B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】=
故的倒数是2，
故选B．
【点睛】
此题主要考查倒数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
12、A
【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=1．
故选A．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据题意作出图形，得到Rt△ADO，利用三角函数值计算出sin∠AOD=，得出∠AOD=15°，通过圆周角360°计算即可得出结果．
【详解】解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，
∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，
∴AD=BD=3，
∴sin∠AOD==，
∴∠AOD=15°，
∴∠AOB=90°，
∴n==1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形的性质，垂径定理的应用，三角函数值的应用，掌握圆的性质内容是解题的关键．
14、
【分析】直接利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如下图，在中，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是正弦的定义，熟记定义内容是解此题的关键．
15、
【分析】设，得，根据旋转的性质得，∠1 =30°，分别求得，
，继而求得答案.
【详解】如图，AB与CD相交于G，过点E作EF⊥AC延长线于点F，设，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴，
∴，
根据旋转的性质知：，∠DCE=∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠1+∠BAC=90°，
∴∠1 =30°，
∵∠1+∠2+∠DCE =1800°，
∴∠2 =60°，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及锐角三角函数的知识，构建合适的辅助线，借助解直角三角形求解是解答本题的关键.
16、－
【分析】把x=0代入原方程可得关于a的方程，解方程即得答案．
【详解】解：∵关于x的方程x2＋3x＋2a＋1＝0的一个根是x=0，
∴2a＋1＝0，解得：a=－．
故答案为：－．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
17、
【分析】连接OC，AC、过点A作AF⊥CE于点F，根据相似三角形的性质与判定，以及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠E=20°，
∴∠COD=70°，
∵OC=OD，
∴∠ABC=180°-55°=125°，
连接AC，过点A做AF⊥CE交CE于点F，
设OC=OD=r，
∴OE=8+r，
在Rt△OEC中，
由勾股定理可知：（8+r）2=r2+122，
∴r=5，
∵OC∥AF
∴△OCE∽△AEF，
故答案为：
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
18、
【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有根据垂径定理有： 解直角即可.
【详解】连接OC,OD,OC与AD交于点E，
直尺的宽度：
故答案为
【点睛】
考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）B，C；（2）1．
【分析】（1）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；
（2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数．
【详解】（1）众数在B组．
根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故本次调查数据的中位数落在C组．
故答案为B，C；
（2）达国家规定体育活动时间的人数约1800×=1（人）．
答：达国家规定体育活动时间的人约有1人．
考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数；众数．
20、（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中数据，可得抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴左侧的增减性，从而进行解答.
【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3
∴该函数三条不同的性质为：
（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
【点睛】
本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.
21、（1）y＝−0.5x＋160（120≤x≤180）（2）销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元
【分析】（1）首先由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，即可得y与x是一次函数关系，则可求得答案；
（2）首先设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．
【详解】（1）∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，
∴y与x是一次函数关系，
∴y与x的函数关系式为：y＝100−0.5（x−120）＝−0.5x＋160，
∵销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，
∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180；
（2）设销售利润为w元，
则w＝（x−80）（−0.5x＋160）＝−x2＋200x−12800＝−（x−200）2＋7200，
∵a＝−＜0，
∴当x＜200时，w随x的增大而增大，
∴当x＝180时，销售利润最大，最大利润是：w＝−（180−200）2＋7200＝7000（元），
答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．
【点睛】
此题考查了二次函数与一次函数的应用．注意理解题意，找到等量关系是关键．
22、（1）这两条道路的面积分别是平方米和平方米；（2）原来矩形的长为20米，宽为10米．
【分析】（1）由题意矩形场地的长为米，宽为米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积；
（2）根据题意四块草坪的面积之和为144平方米这一等量关系建立方程进行分析计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知这两条道路的面积分别是平方米和平方米.
（2），
∴，
根据题意得：
解得：，（舍去），
∴（米）
答：原来矩形的长为20米，宽为10米.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键.
23、（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．
【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.
试题解析：
（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
24、（1）线段BC的长度为4；
（2）AC⊥AB，理由见解析；
（3）点D的坐标为（﹣2，1）
【解析】(1))解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；
(2)由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；
(3)容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
【详解】解:（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），
∴BC=4，
（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA=，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣x﹣1，
∴x=﹣2，
∴D的坐标为（﹣2，1），
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．
25、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；
（2）根据同高且底边长度比为1:2的两个三角形的面积比为1:2寻找点，同时利用相似三角形对应边的比相等可找出格点．
【详解】解：（1）如图①，由网格易知BD=CD，所以S△ABD=S△ADC，作直线AD即为所求；
（2）如图②，取格点E，由AC∥BE可得，
（或）,
∴S△ACN=2S△ABN（或S△ABM=2S△ACM,），
∴作直线AE即为所求．（选取其中一条即可）
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，相似的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意，得到，然后由AD∥BC，得到，则，即可得到AF//CD，即可得到结论；
（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到，即可得到△ABE∽△ADC.
【详解】证明：（1）∵OD2 =OE · OB，
∴．
∵AD//BC，
∴．
∴．
∴ AF//CD．
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）∵AF//CD，
∴∠AED=∠BDC，．
∵BC=BD，
∴BE=BF，∠BDC=∠BCD
∴∠AED=∠BCD．
∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵AE·AF=AD·BF，
∴．
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD．
∴．
∴△ABE∽△ADC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.
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