资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由左图中所示的图案平移后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
3．解方程最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
4．如图，为的直径，点为上一点，，则劣弧的长度为（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，2，1 B．3，2，-1 C．3，-2，1 D．3，-2，-1
6．用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若反比例函数图象上有两个点，设，则不经过第( )象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
8．用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（ ）
A．=1 B．=1 C．=7 D．=4
9．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：，则AC的长是( )
A．10米 B．米 C．15米 D．米
10．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房建设力度年市政府共投资亿元人民币建设廉租房万平方米，预计到年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率都为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，两根竹竿和都斜靠在墙上，测得，则两竹竿的长度之比等于（ ）
A． B． C． D．
12．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是_____°．
14．如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为_____．
15．山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的面食名吃，为山西四大面食之一．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）．如果将这个面团做成粗为的拉面，则做出来的面条的长度为__________．
16．如图，一下水管横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面上升了，则水面宽为__________．
17．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．
18．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花.设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数关系式为，其大致图象如图所示.栽花所需费用（元）与的函数关系式为.
（1）求出，的值；
（2）若种花面积不小于时的绿化总费用为（元），写出与的函数关系式，并求出绿化总费用的最大值.
20．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC, AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB．
21．（8分）如图，双曲线（＞0）与直线交于点A（2，4）和B（a，2），连接OA和OB．
（1）求双曲线和直线关系式；
（2）观察图像直接写出：当＞时，的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
22．（10分）解方程：（1）x2﹣2x+1=0 （2）2x2﹣3x+1=0
23．（10分）如图，直线和反比例函数的图象交于两点，已知点的坐标为．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求出点关于原点的对称点的坐标；
（3）连接，求的面积．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式．
25．（12分）已知反比例函数为常数，）的图象经过两点．
(1)求该反比例函数的解析式和的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若为直线上的一个动点，当最小时，求点的坐标．
26．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．
①②③是只是中心对称图形，④只是轴对称图形，
故选C.
考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形
点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2、B
【解析】根据平移的性质：“平移不改变图形的形状和大小”来判断即可.
【详解】解：根据 “平移不改变图形的形状和大小”知：左图中所示的图案平移后得到的图案是B项，故选B.
【点睛】
本题考查了平移的性质，平移的性质是“经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移不改变图形的形状、大小和方向”.
3、C
【分析】根据解一元二次方程的方法进行判断．
【详解】解：先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4、A
【分析】根据“直径所对圆周角为90°”可知为直角三角形，在可求出∠BAC的正弦值，从而得到∠BAC的度数，再根据圆周角定理可求得所对圆心角的度数，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】∵AB为直径，AO=4，
∴∠ACB=90°，AB=8，
在中，AB=8，BC=，
∴sin∠BAC=，
∵sin60°=，
∴∠BAC=60°，
∴所对圆心角的度数为120°，
∴的长度=．
故选：A．
【点睛】
本题考查弧长的计算，明确圆周角定理，锐角三角函数及弧长公式是解题关键，注意弧长公式中的角度指的是圆心角而不是圆周角．
5、D
【解析】根据一元二次方程一般式的系数概念，即可得到答案．
【详解】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是：3，-2，-1，
故选D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程一般式的系数概念，掌握一元二次方程一般式的系数，是解题的关键．
6、B
【详解】，
移项得：，
两边加一次项系数一半的平方得：，
所以，
故选B.
7、C
【分析】利用反比例函数的性质判断出m的正负，再根据一次函数的性质即可判断．
【详解】解：∵，
∴a-1＞0，
∴图象在三象限，且y随x的增大而减小，
∵图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），x1与y1同负，x2与y2同负，
∴m=（x1-x2）（y1-y2）＜0，
∴y=mx-m的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8、A
【解析】用配方法解方程-4x+3=0，
移项得：-4x=-3，
配方得：-4x+4=1，
即=1.
故选A.
9、B
【解析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=5米；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
10、B
【分析】根据1013年市政府共投资1亿元人民币建设了廉租房，预计1015年底三年共累计投资亿元人民币建设廉租房，由每年投资的年平均增长率为x可得出1014年、1015年的投资额，由三年共投资9.5亿元即可列出方程．
【详解】解：这两年内每年投资的增长率都为，则1014年投资为1（1+x）亿元，1015年投资为1（1+x）1亿元，由题意则有
，
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意是解题的关键.若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）1．增长用“+”，下降用“-”.
11、D
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【详解】根据题意：
在Rt△ABC中，，则，
在Rt△ACD中，，则，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
12、C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
【详解】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点睛】
考核知识点：二次函数的性质.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB．
【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'
∵A'B'⊥AC
∴∠A'+∠ACA'＝90°
∴∠ACA'＝1°
∴∠BCB'＝1°
故答案为1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
14、1
【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于1．
【详解】解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，
由题可得，D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵点D坐标为(4，3)，
∴OD＝＝5，
∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，
∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，
∴BC的最小值等于1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．
15、1
【分析】因为面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，且从图象上可看出过（0.05，3200），从而可确定函数式，再把x=0.16代入求出答案．
【详解】解：根据题意得：y= ，过（0.04，3200）．
k=xy=0.04×3200=128，
∴y=（x＞0），
当x=0.16时，
y= =1（cm），
故答案为：1．
【点睛】
此题参考反比例函的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
16、1
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
【详解】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC
∵AB=60cm，OE⊥AB，且直径为100cm，
∴OA=50cm，AE=
∴OE=，
∵水管水面上升了10cm，
∴OF=40-10=030cm，
∴CF=，
∴CD=2CF=1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
17、、
【分析】由，可知A、C、B、M四点共圆，AB为圆的直径，则是弦AC所对的圆周角，此时需要对M点的位置进行分类讨论，点M分别在直线AC的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵点在外，且，
即∠AMB=90°
∵
∴A、C、B、M四点共圆，
①如图，当点M在直线AC的左侧时，
,
∴；
②如图，当点M在直线AC的右侧时，
∵，
∴，
故答案为：135°或45°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A、C、B、M四点共圆．
18、
【分析】由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．
【详解】解：连接PQ，
由旋转的性质可得，BP=BQ，
又∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=BP，
在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，
∴∠ABQ=60°-∠ABP
∠CBP=60°-∠ABP
∴∠ABQ=∠CBP
在△ABQ与△CBP中
，
∴△ABQ≌△CBP(SAS)，
∴AQ=PC，
又∵PA=4，PB=5，PC=3，
∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，
在△APQ中，因为，25=16+9，
∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．
三、解答题（共78分）
19、（1），；（2），绿化总费用的最大值为32500元.
【分析】（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=1000、y=26000代入y1=k2x+6000可得k2；
（2）根据种花面积不小于，则种草面积小于等于，根据总费用=种草的费用+种花的费用列出二次函数解析式，然后依据二次函数的性质可得．
【详解】解：（1）由图象可知，点在上，代入得：，
解得，
由图象可知，点在上，
解得；
（2）∵种花面积不小于，
∴种草面积小于等于，
由题意可得：
，
∴当时，有最大值为32500元.
答：绿化总费用的最大值为32500元..
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
20、见解析
【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证.
【详解】证明：ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°,
∴∠CAD=∠BDE,
∴
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.
21、（1），；（2）0＜x＜2 或x＞4 ；（3）△AOB的面积是1．
【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，继而求得点B坐标，再结合A、B坐标利用待定系数法即可求出直线解析式；
（2）根据图象双曲线在直线上方的部分即可得出答案；
（3）过点A作y轴的垂线，垂足为D，过点B作x轴的垂线，垂足为E，两线交于点F，然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求得答案．
【详解】（1）∵ 点A（2,4）在双曲线上
∴
∵ 点B（a，2）也在双曲线，
∴，
∴ a=4（经检验a=4是方程的解），
∵ 点A（2,4）和点B(4，2）在直线上 ，
∴ ，解得：，
∴直线关系式为；
（2）观察图象可得，当 ＞时，x的取值范围是：0＜x＜2 或x＞4 ；
（3）过点A作y轴的垂线，垂足为D，过点B作x轴的垂线，垂足为E，两线交于点F，则有OD=4，OE=4，
∴四边形CDFE是正方形，
∴△AOB的面积是：4×4-=1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法，利用函数图象求不等式的解集，求三角形的面积等，正确把握相关知识是解题的关键．
22、（1）x1=x2=1 ；（2）x1=1，x2=
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；
（2）利用十字相乘法解一元二次方程即可得出答案.
【详解】解：（1）x2﹣2x+1=0
(x-1)2=0
∴x1=x2=1
（2）2x2﹣3x+1=0
(2x-1)(x-1)=0
∴x1=1，x2=
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程，解一元二次方程主要有以下几种解法：直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.
23、（1）；（2）的坐标为；（3）的面积为．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式中即可出答案；
（2）将一次函数与反比例函数联立求出B点的坐标，再根据关于原点对称的点的特征写出C的坐标即可；
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可求出的面积．
【详解】（1）将点的坐标代入中，得
解得
∴反比例函数的解析式为
（2）将点的坐标代入中，得
解得
∴一次函数的解析式为
解得 或
∴B的坐标为
∵点关于原点的对称点是
∴C的坐标为
（3）如图
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，数形结合是解题的关键．
24、或.
【详解】解：如图所示，连接CD，
∵直线为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，
∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（—1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°,
在Rt△AOB中，，
即，
设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则
解得
∴直线l的函数解析式为，
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为.
故直线l的函数解析式为或.
【点睛】
这是一道圆与直角坐标系的综合题，求直线的解析式，通常用待定系数法（知道图象上两个点的坐标即可），题目已给出点A的坐标，再求出一个点即可，抓住点D是直线与⊙C的切点，由C点坐标为（1，0）及圆的性质易求点B的坐标为（0，），由点A和点B的坐标易求直线的解析式
25、（1）；（2）当时， 的取值范围是；（3）点的坐标为．
【分析】(1)把点A坐标直接代入可求k值，得出函数解析式，再把自变量-6代入解析式可得出n的值
(2)根据k的值可确定函数经过的象限，在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，当x=-1时，y=-3，从而可求出y的取值范围
(3)作点A关于y=x的对称点，连接，线段，由，B的坐标求出直线的解析式，最后根据两直线解析式求出点M的坐标.
【详解】解：（Ⅰ）把代入得，
反比例函数解析式为；
把代入得，解得；
(2)，
图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
把代入得，
当时， 的取值范围是；
(3)作点关于直线的对称点为，则，连接，交直线于点，
此时，，
是的最小值，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
由，解得，
点的坐标为．
【点睛】
本题是一道关于反比例函数的综合题目，考查的知识点有反比例函数的性质，解二元一次方程组，利用点对称求最短距离等，综合性较强.
26、（1）y=-x2+x+2，x=1；（2）C（0，2）；y=−x+2；（1）Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（1）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+2的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+2=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+2，
又∵y=-x2+x+2=-（x-1）2+，
∴对称轴方程为：x=1．
（2）在y=-x2+x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）；
令y=0，即-x2+x+2=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，2）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+2．
∵抛物线的对称轴方程为：x=1，
可设点Q（1，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（1，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=2±，
∴点Q坐标为：Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．
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