资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题①若，则②相等的圆心角所对的弧相等③各边都相等的多边形是正多边形 ④的平方根是．其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若点都是反比例函数图像上的点，并且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．随的增大而减小 D．两点有可能在同一象限
5．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．一次函数y=kx+k（k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．y＝x-3
8．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
A．180个，160个 B．170个，160个
C．170个，180个 D．160个，200个
9．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
10．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm则圆心O到弦CD的距离为_____．
13．若，则＝_____．
14．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为_______.（结果保留）
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
－2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
当x＝－1时，y＝__________．
16．如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝_____，弧BC＝_____．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，且DEBC，BD＝AE，若AB＝12cm，AC＝24cm，则AE＝_____．
18．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变_____．（填“大”或“小”）
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，直线分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥轴于B，且S△ABP=1．
（1）求证：△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥轴于T，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
20．（6分）阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂
（问题解决）
若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500N和0.4m．
（1）动力F（N）与动力臂l（m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头需要多大的力？
（2）若想使动力F（N）不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（数学思考）
（3）请用数学知识解释：我们使用棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
21．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；
①当面积最大时，求的长度；
②若点为的中点，求点运动的路径长.
22．（8分）如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，半圆与交于点．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留）
23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条件下，方程的实数根是、，求代数式的值．
24．（8分）已知关于的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
25．（10分）定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；
（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．
26．（10分）如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．
2、A
【分析】①根据不等式的性质进行判断；②根据圆心角、弧、弦的关系进行分析即可；③根据正多边形的定义进行判断；④根据平方根的性质进行判断即可．
【详解】①若m2＝0，则，此命题是假命题；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此命题是假命题；
③各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，此命题是假命题；
④=4，4的平方根是，此命题是假命题.
所以原命题是真命题的个数为0，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3、C
【解析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
4、A
【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C，然后根据即可判断两点所在的象限，从而判断D，然后判断出两点所在的象限即可判断B和A．
【详解】解:∵中,-6＜0,
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，故C错误；
∵
∴点在第四象限，点在第二象限，故D错误；
∴，故B错误，A正确．
故选A．
【点睛】
此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．
5、A
【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．
故选A.．
【点睛】
本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
6、C
【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，
故选C．
7、A
【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断．
【详解】A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D. y＝x-3，属于一次函数，故本选项错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0.
8、B
【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
【点睛】
此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
9、D
【解析】试题分析：由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，所以.
因为AD=5，BD=10，DE=4，所以，解得BC=1．
故选D.
考点：相似三角形的判定与性质．
10、B
【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=．
故选B．
点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或．
【分析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．
故答案为或．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
12、2.5cm．
【分析】根据圆周角定理得到∠COB=2∠CDB=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出OE即可．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，
∴OE＝OC＝×5＝2.5，
即圆心O到弦CD的距离为2.5cm．
故答案为2.5cm．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13、
【解析】
=.
14、
【分析】根据弧长公式是，代入就可以求出弧长．
【详解】∵扇形的半径是30cm，圆心角是60°，
∴该扇形的弧长是：
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．
15、3
【解析】试题解析：将点代入，得
解得：
二次函数的解析式为：
当时，
故答案为：
16、80° 50°
【分析】直接利用圆周角定理得到∠AOB＝80°，再计算出∠BOC＝50°，从得到弧BC的度数．
【详解】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝130°﹣80°＝50°，
∴弧BC的度数为50°．
故答案为80°，50°．
【点睛】
此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的内容.
17、1cm
【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进行代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵DE//BC，
∴，即，
解得：AE＝1．
故答案为：1cm．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18、大
【解析】因为二次函数的开口向上,所以点M,N向上平移时,距离对称轴的距离越大,即MN的长度随直线向上平移而变大,故答案为:大.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）P为（2，3）；（3）R（）或（3，0）
【分析】（1）由一对公共角相等，一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）先求出点A、C的坐标，设出A（x，0），C（0，y）代入直线的解析式可知；由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标即可；
（3）把P坐标代入求出反比例函数，设R点坐标为（），根据△BRT与△AOC相似分两种情况，利用线段比建立方程，求出a的值，即可确定出R坐标．
【详解】解：（1）∵∠CAO=∠PAB，∠AOC=∠ABP=10°，
∴△AOC∽△ABP；
（2）设A（x，0），C（0，y）由题意得：
，解得：，
∴A（-4，0），C（0，2），即AO=4，OC=2，
又∵S△ABP=1，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴，即，
∴2BP=AB，
∴2BP2=18，
∴BP2=1，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
（3）设反比例函数为，则，即，
可设R点为（），则RT=，TB=
①要△BRT∽△ACO，则只要，
∴，解得：，
∴；
∴点R的坐标为：（，）；
②若△BRT∽△CAO，则只要，
∴，解得：，
∴，
∴点R的坐标为：（3，2）；
综合上述可知，点R为：（）或（3，2）.
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20、（1）400N；（2）1.5米；（3）见解析
【分析】(1)根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l=1.5求得力的大小即可；
(2)将求得的函数解析式变形后求得动力臂的大小，然后即可求得增加的长度；
(3)利用反比例函数的知识结合杠杆定律进行说明即可．
【详解】试题解析：(1)、根据“杠杆定律”有FL=1500×0.4，
∴函数的解析式为F=，
当L=1.5时，F==400， 因此，撬动石头需要400N的力；
(2)、由(1)知FL=600，
∴函数解析式可以表示为：L=，
当F=400×=200时，L=3，3﹣1.5=1.5（m），
因此若用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5米；
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F=，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小，所以动力臂越长越省力．
考点：反比例函数的应用
21、（1），；（2）证明见解析；（3）①或；②.
【分析】（1）将代入二次函数的解析式即可求解；
（2）证得是等边三角形即可证得结论；
（3）①根据题意，当或时，或面积最大，利用三角形中位线定理可求得的长，利用勾股定理可求得，即可求得答案；
②根据点M的运动轨迹是半径为2的，则的中点的运动轨迹也是圆，同样，的中点的运动轨迹也是圆，据此即可求得答案．
【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（2）由(1)得：抛物线的解析式为，
∵二次函数的图象与轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为：，
∴顶点的坐标为：，，
∵，
，
∴，
∴是等边三角形，
∵为线段中点，
∴；
（3）①∵为定值，当时，面积最大，如图，
由(2)得，，，
∴∥，
∵点为线段中点，点为的中点，
∴∥，,
∴三点共线，
在Rt中，，，
∴，
∴；
同理，当时，面积最大，
同理可求得：；
故答案为：或；
②如图，
∵点E的运动轨迹是，半径为，
∴的中点的运动轨迹也是圆，半径为1，
∴的中点M的运动轨迹也是圆，半径为，
∴点M运动的路径长为：．
故答案为：．
【点睛】
主要考查了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22、（1）AP=；（2）．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）由题意根据，直接进行分析计算即可．
【详解】解：（1）连接，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质进行分析作答.
23、（1）1；（2）1．
【分析】（1）根据一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；
（2）把m=1代入x2－2x+m=0，根据根与系数的关系可得出x1+x2，x1x2的值，由=（x1+x2）2－3x1x2，最后将x1+x2，x1x2的值代入即可得出结果．
【详解】解：（1）由题意，得＞0，即＞0，
解得m＜2，
∴m的最大整数值为1；
（2）把m=1代入x2－2x+m=0得，x2－2x+1=0，
根据根与系数的关系得，x1+x2 =2，x1x2=1，
∴=（x1+x2）2－3x1x2=（2）2－3×1=1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系．根的情况与判别式的关系如下：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系如下：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=．
24、（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2.
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．
（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞−，在m＞−的范围内选取一个合适的整数求解就可以．
【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m²
=8m+4
∵方程有两个实数根
∴△≥0，即8m+4≥0
解得，m≥-
（2）选取一个整数0，则原方程为，
x²-2x=0 解得x1=0,x2=2.
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
25、（1）是，理由见解析；（2）；（1）或，且
【分析】（1）根据友好函数的定义，求出函数与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出函数与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（1）分一下三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图像可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
【详解】解：（1）是友好函数．理由如下：
当时，；当时，或1，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是1．
故是友好函数．
（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是友好函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（1）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
【点睛】
本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意．
26、（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P坐标为（，4）或（，）或（，﹣）．
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）根据等腰三角形的定义，分和，再分别利用两点之间的距离公式求出点P坐标即可．
【详解】（1）将点代入抛物线的解析式得
解得
故二次函数的解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
由二次函数的解析式可知，其对称轴为
则点D的坐标为，可设点P坐标为
由勾股定理得，
由等腰三角形的定义，分以下2种情况：
①当时，则
解得或（不符题意，舍去），因此，点P坐标为
②当时，
解得，因此，点P坐标为或
综上，存在满足条件的点P，点P坐标为或或．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识点，较难的是（2），依据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
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