资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球
D．摸出的三个球中至少有两个球是白球
2．若二次函数y＝-x2+px+q的图像经过A（，n）、B（0，y1）、C（，n）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
3．如图，在中，已知点在上，点在上，，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC=50°，则∠A的度数是（ ）
A．25° B．20° C．80° D．100°
5．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
8．已知函数的图象经过点P(-1,4)，则该图象必经过点( )
A．(1,4) B．(-1，-4) C．(-4,1) D．(4，-1)
9．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1：3，则S△ABF：S△CDE=（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：1
10．抛物线y=x2+kx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
11．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．，是的两条切线，，为切点，直线交于，两点，交于点，为的直径，下列结论中不正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．
14．已知关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，且，则 a的值为 ．
15．如图，是的两条切线，为切点，点分别在线段上，且，则__________．
16．如图，矩形中，，点在边上，且，的延长线与的延长线相交于点，若，则______.
17．观察下列各数：，，，，，……按此规律写出的第个数是______，第个数是______．
18．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．
三、解答题（共78分）
19．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD，某一时刻测得其影长DE＝1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．
20．（8分）如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．
21．（8分）解方程:;
二次函数图象经过点，当时，函数有最大值，求二次函数的解析式．
22．（10分）如图，已知反比例函数的图像与一次函数的图像交于A(－1，），B在(，－3)两点．
（1）求的值；
（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
23．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店要使销售该商品每天获得的利润等于1000元，每天的销售量应为多少件？
（3）若商店按单价不低于成本价，且不高于65元销售，则销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．（10分）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象有两个交点和，过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点，且，连接.
（1）求，，的值；
（2）求四边形的面积.
25．（12分）某班级组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有10人参加本次比赛，成绩如下(10分制)
甲
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
乙
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
（1）甲队成绩的众数是 分，乙队成绩的中位数是 分．
（2）计算乙队成绩的平均数和方差．
（3）已知甲队成绩的方差是1分2，则成绩较为整齐的是 队．
26．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.
【详解】A、是必然事件；
B、是随机事件，选项错误；
C、是随机事件，选项错误；
D、是随机事件，选项错误．
故选A．
2、A
【分析】利用A点与C点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点B、D、E离对称轴的远近求解．
【详解】∵二次函数y＝-x2+px+q的图像经过A（，n）、C（，n），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点D（，y2）的横坐标：
，离对称轴距离为，
点E（，y3）的横坐标：
，离对称轴距离为,
∴B（0，y1）离对称轴最近，点E离对称轴最远，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式，根据抛物线上的对称点坐标得到对称轴是解题的关键．
3、B
【分析】由，得∠CMN=∠CNM，从而得∠AMB=∠∠ANC，结合，即可得到结论.
【详解】∵，
∴∠CMN=∠CNM，
∴180°-∠CMN=180°-∠CNM，
即：∠AMB=∠∠ANC，
∵，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定定理，掌握“对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键.
4、A
【解析】∵∠BOC=50°，
∴∠A=∠BOC=25°．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
5、B
【解析】选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以A错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以B正确；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以C错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以D错误．
故选B．
点睛：在函数与中，相同的系数是“”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关.
6、A
【解析】分别画出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．
【详解】A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确；
B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误；
C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；
D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
7、D
【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
8、A
【解析】把P点坐标代入二次函数解析式可求得a的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可；
【详解】∵二次函数的图象经过点P(-1，4)，
∴，
解得a=4，
∴二次函数解析式为；
当x=1或x=-1时，y=4；
当x=4或x=-4时，y=64；
故点(1，4)在抛物线上；
故选A.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
9、D
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】△ABC中，∵AF∥DE，
∴△CDE∽△CAF，
∵D为AC中点，
∴CD：CA=1：2，
∴S△CDE：S△CAF=（CD：CA）2=1：4，
∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，
又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，
∴S△ABF：S△CDE=1：1．
故选D．
【点睛】
本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S△CDE：S△CAF=1：4是解题的关键．
10、C
【分析】设y=0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
【详解】解：∵抛物线y=x2+kx﹣1，
∴当y=0时，则0=x2+kx﹣1，
∴△=b2﹣4ac=k2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y=x2+kx﹣与x轴交点的个数为2个，
故选C．
11、C
【分析】根据，利用反比例函数系数的几何意义即可求出值，再根据函数在第一象限可确定的符号.
【详解】解：由轴于点，，得到
又因图象过第一象限, ，解得
故选C
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的几何意义.
12、B
【解析】根据切线的性质和切线长定理得到PA=PB，∠APE=∠BPE，，易证△PAE≌△PBE，得到E为AB中点，根据垂径定理得；通过互余的角的运算可得．
【详解】解：∵，是的两条切线，
∴，∠APE=∠BPE，故A选项正确，
在△PAE和△PBE中，
，
∴△PAE≌△PBE（SAS），
∴AE=BE，即E为AB的中点，
∴，即，故C选项正确，
∴
∵为切点，
∴，则，
∴∠PAE=∠AOP，
又∵，
∴∠PAE=∠ABP，
∴，故D选项正确，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理的推论及互余的角的运算，熟练掌握这些知识点的运用是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得，据此建立关于x的方程，解之可得．
【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
则=，即，
解得：x=1，
即四边形BCED的面积为1，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．
14、1．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0 的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1x2=-a，
∴
∴a=1．
15、61°
【分析】根据切线长定理，可得PA=PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠FAD=∠DBE=61°，利用SAS即可证出△FAD≌△DBE，从而得出∠AFD=∠BDE，然后根据三角形外角的性质即可求出∠EDF．
【详解】解：∵是的两条切线，∠P=58°
∴PA=PB
∴∠FAD=∠DBE=（180°－∠P）=61°
在△FAD和△DBE中
∴△FAD≌△DBE
∴∠AFD=∠BDE，
∵∠BDF=∠BDE＋∠EDF =∠AFD＋∠FAD
∴∠EDF =∠FAD =61°
故答案为：61°
【点睛】
此题考查的是切线长定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质和三角形外角的性质，掌握切线长定理、等边对等角和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
16、
【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a的值，再利用tanA即可求解.
【详解】设BC=EC=a,
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△ECF，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴tanF==
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
17、
【分析】由题意可知已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减，进而进行分析即可求解.
【详解】解：给出的数：，，，，，……
序列号：，，，，，……
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减.
因此，第个数是，第个数是.
故第个数是，第个数是.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查探索规律的问题，解决此类问题要从数字中间找出一般规律（符号或数），进一步去运用规律进行解答．
18、1
【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=，即可得出答案．
【详解】解：∵正多边形的每一个外角都等于1°，
∴正多边形的边数为：，
∴这个正多边形的中心角为：.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．
三、解答题（共78分）
19、旗杆AB的高为8m．
【分析】证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，即，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
【点睛】
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
20、（1）y＝x2﹣4x+；（2）S＝﹣（x﹣3）2+（1＜x＜1），当x＝3时，S有最大值；（3）(0，﹣)
【分析】（1）设出解析式，由待定系数法可得出结论；
（2）点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1＜x＜1，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；
（3）找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则
，解得：．
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+．
（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．
E点坐标为(x，x2﹣4x+)，F点的坐标为(x，0)，
∴EF＝0﹣(x2﹣4x+)＝﹣x2+4x﹣．
∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1＜x＜1．
三角形OEB的面积S＝OB•EF＝×1×(﹣x2+4x﹣)＝﹣(x﹣3)2+(1＜x＜1＝．
当x＝3时，S有最大值．
（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+＝(x﹣3)2﹣，
∴D点的坐标为(3，﹣)，
∴D′点的坐标为(﹣3，﹣)．
由对称的特性可知，MD＝MD′，
∴MB+MD＝MB+MD′，
当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BD′的解析式为y＝x﹣．
当x＝0时，y＝﹣，
∴点M的坐标为(0，﹣)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、轴对称的性质、利用二次函数求最值等知识．解题的关键是：（1）能够熟练运用待定系数法求解析式；（2）利用三角形面积公式找出三角形面积的解析式，再去配方求最值；（3）利用轴对称的性质确定M点的位置．
21、；
【分析】（1）根据题意利用因式分解法进行一元二次方程求解；
（2）根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将（4，-3）代入即可确定出解析式．
【详解】解:
;
解:由题意可知此抛物线顶点坐标为，
设其解析式为，
将点代入得:，
解得:，
此抛物线解析式为:.
【点睛】
考查一元二次方程求解以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法和待定系数法求二次函数解析式是解本题的关键．
22、（1）1；（2）x＜－1或0＜x＜
【分析】（1）将点B代入求出，再将点A代入即可求出的值；
（2）由图像可得结论.
【详解】（1）把B（，-3）代入中，得
∴．
∴．
当时，
．
（2）如图，过点A、点B且平行于y轴及y轴所在的三条直线把平面分成了4部分
由图象可得x＜－1或0＜x＜时一次函数的图像在反比例函数图像的上方时，此时一次函数值大于反比例函数值，所以x的取值范围为x＜－1或0＜x＜.
【点睛】
本题考查了反比例函数，将反比例函数的解析式与图像相结合是解题的关键.
23、（1）y=-2x+200；（2）100件或20件；（3）销售单价定为65元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元
【分析】（1）将点（40，120）、（60，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得（x-40）（-2x+200）=1000，解不等式即可得到结论;
（3）由题意得w=（x-40）（-2x+200）=-2（x-70）2+1800，即可求解.
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（40，120）、（60，80）代入一次函数表达式得：
解得，
所以关系式为y=-2x+200；
（2）由题意得：（x-40）（-2x+200）=1000
解得x1=50，x2=90；
所以当x=50时，销量为：100件；
当x=90时，销量为20件；
（3）由题意可得利润W＝（x-40）（-2x+200）=-2（x-70）2+1800，
∵-2＜0，故当x＜70时，w随x的增大而增大，而x≤65，
∴当x=65时，w有最大值，此时，w=1750，
故销售单价定为65元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元．
【点睛】
考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
24、（1），，.（2）6
【解析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长，交于点，则.根据求解.
【详解】解：（1）∵点在上，
∴，
∵点在上，且，
∴.
∵过，两点，
∴，
解得，
∴，，.
（2）如图，延长，交于点，则.
∵轴，轴，
∴，，
∴，，
∴
.
∴四边形的面积为6.
【点睛】
考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
25、（1）10，9.5；（2）平均数=9，方差=1.4；（3）甲．
【分析】（1）根据众数、中位数的意义求出结果即可；
（2）根据平均数、方差的计算方法进行计算即可；
（3）根据甲队、乙队的方差比较得出结论．
【详解】（1）甲队成绩中出现次数最多的是10分，因此众数是10，乙队成绩从小到大排列后处在第5、6两个数的平均数为＝9.5，因此中位数为9.5，
故答案为：10，9.5；
（2）乙队的平均数为：，
＝[(7﹣9)2×2+(8﹣9)2+(10﹣9)2×5]＝1.4，
∵1＜1.4，
∴甲队比较整齐，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了统计的问题，掌握众数、中位数的意义、平均数、方差的计算方法是解题的关键．
26、（1）y＝x2-4x＋1；（2）点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为；（1）能，点P的坐标为：(1，0)或（2，-1）．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（1）分情况讨论①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
【详解】（1）把点A(1，0)和点B(1，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，
得：
解得
∴y＝x2-4x＋1．
（2）把x＝0代入y＝x2-4x＋1，得y＝1．
∴C(0，1)．
又∵A(1，0)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋m，
把点A，C的坐标代入得：
∴直线AC的解析式为：y＝－x＋1．
PD＝-x＋1- (x2-4x＋1)＝-x2＋1x＝＋．
∵0<x<1，
∴x＝时，PD最大为．
即点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为．
（1）①∠APD是直角时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵A（1，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，
此时，点P（2，﹣1），
综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，直角三角形存在性问题时需要分类讨论.
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