上海市虹口区2023届数学高一上期末检测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．函数是
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的偶函数
2．已知函数（，，）的图象如图所示，则（ ）

A.
B.对于任意，，且，都有
C.，都有
D.，使得
3．长方体中，，，E为中点，则异面直线与CE所成角为（）
A. B.
C. D.
4．半径为2，圆心角为的扇形的面积为（）
A. B.
C. D.2
5．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A. B.
C. D.
6．某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2020年全年投人资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2020年的两倍）的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（）
A.2027年 B.2026年
C.2025年 D.2024年
7．函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
8．若定义在上的奇函数在单调递减，且，则的解集是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数恰有2个零点，则实数a取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．函数y＝的单调增区间为
A.（-，） B.（，+）
C.(－1，] D.[，4）
11．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
12．方程的解所在的区间是
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．在直角坐标系中，直线的倾斜角________
14．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.
15．高三年级的一次模拟考试中，经统计某校重点班30名学生的数学成绩均在[100，150]（单位：分）内，根据统计的数据制作出频率分布直方图如右图所示，则图中的实数a=__________，若以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，估算该班的数学成绩平均值为__________

16．函数的定义域是__________，值域是__________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数是奇函数，且；
（1）判断函数在区间的单调性，并给予证明；
（2）已知函数（且），已知在的最大值为2，求的值
18．已知函数.

（1）利用“五点法”完成下面表格，并画出函数在区间上的图像.

（2）解不等式.
19．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
20．计算下列各题：
（1）；
（2）.
21．某市有，两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费标准不同，俱乐部每张球台每小时5元，俱乐部按月收费，一个月中以内（含）每张球台90元，超过的部分每张球台每小时加收2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于，也不超过
（1）设在俱乐部租一-张球台开展活动的收费为元，在俱乐部租一张球台开展活动的收费为元，试求和的解析式；
（2）问选择哪家俱乐部比较合算?为什么?
22．已知函数，，g (x)与f (x)互为反函数.
（1）若函数在区间内有最小值，求实数m的取值范围；
（2）若函数y = h(g(x))在区间(1，2)内有唯一零点，求实数m的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】根据题意，由于函数是，因此排除线线A,B，
然后对于选项C，D，由于正弦函数周期为，那么利用图象的对称性可知，函数的周期性为，故选C.
考点：函数的奇偶性和周期性
点评：解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题
2、C
【解析】根据给定函数图象求出函数的解析式，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】观察函数的图象得：，令的周期为，则，即，
，由，且得：，于是有，
对于A，，A不正确；
对于B，取且，满足，，且，而，
，此时，B不正确；
对于C，，，，
即，都有，C正确；
对于D，由得：，解得：，
令，解得与矛盾，D不正确.
故选：C
3、C
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角
【详解】解：长方体中，，，为中点，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设异面直线与所成角为，
则，
，
异面直线与所成角为
故选：
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题
4、D
【解析】利用扇形的面积公式即得.
【详解】由题可得.
故选：D
5、B
【解析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B

6、B
【解析】根据题意列出指数方程，取对数，根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行求解即可.
【详解】设第n(n∈N*)年该政府全年投入的资金翻一番，依题意得：120(1+12%)n－1=240，则
lg[120(1+12%)n-1]=lg240，∴lg120+(n-1)lg1.12=lg240，∴(n－1)lg1.12=lg2，∴，即该政府全年投入的资金翻一番的年份是2026年，
故选：B.
7、C
【解析】分析函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，
而，，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：C
8、C
【解析】分析函数的单调性，可得出，分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】因为定义在上的奇函数在单调递减，则函数在上为减函数.
且，
当时，由可得，则；
当时，由可得，则.
综上所述，不等式的解集为.
故选：C.
9、D
【解析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.
【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.
若时，由解得或，满足题意.
若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.
当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.
综上，
故选：D
10、C
【解析】令 ， ，（）
在为增函数，在上是增函数，在上是减函数；根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数y＝的单调增区间为选C.
【点睛】有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断，但在研究函数的单调性时，务必要注意函数的定义域，特别是含参数的函数单调性问题，注意对参数进行讨论，指、对数问题针对底数a讨论两种情况，分0<a<1和a>1两种情况，既要保证函数的单调性，又要保证真数大于零.
11、C
【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.
【详解】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
12、C
【解析】根据零点存在性定理判定即可.
【详解】设，，
根据零点存在性定理可知方程的解所在的区间是.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、##30°
【解析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角
【详解】试题分析：直线化成，可知，而，故
故答案为：
14、9
【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.
【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，
所以，
所以扇形的面积为，
故答案为：9.
15、 ①.0.005（或） ②.126.5（或126.5分）
【解析】根据频率分布直方图的性质得到参数值，进而求得平均值.
详解】由频率分布直方图可得：，
∴；
该班的数学成绩平均值为.
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】解不等式可得出原函数的定义域，利用二次函数的基本性质可得出原函数的值域.
详解】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为，值域为.
故答案为：；.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）函数在区间是递增函数；证明见解析；（2）或
【解析】（1）由奇函数定义建立方程组可求出，再用定义法证明单调性即可；
（2）根据复合函数的单调性，分类讨论的单调性，结合函数的单调性研究最值即可求解
【详解】（1）∵是奇函数，∴，
又，且，
所以，，经检验，满足题意
得，所以函数在区间是递增函数
证明如下：且，所以有：

由，得，，又，故，
所以，即，所以函数在区间是递增函数
（2）令，由（1）可得在区间递增函数，
①当时，是减函数，故当取得最小值时，
（且）取得最大值2，
在区间的最小值为，故的最大值是，∴
②当时，是增函数，故当取得最大值时，（且）取得最大值2，
在区间的最大值为，故的最大值是，
∴或
18、（1）表格、图象见解析；
（2），.
【解析】（1）根据正弦函数的性质，在坐标系中描出上或的点坐标，再画出其图象即可.
（2）由正弦函数的性质得，，即可得解集.
【小问1详解】
由正弦函数的性质，上的五点如下表：

0

0

0

0
函数图象如下：
【小问2详解】
由，即，故，，
所以，，故不等式解集为，.
19、
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用指对幂运算性质化简求值；
（2）利用对数运算性质化简求值.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式

.
21、（1）； （2）当时，选择俱乐部比较合算；当时，两家都一样；当时，选择俱乐部比较合算.
【解析】（1）根据已给函数模型求出函数解析式
（2）比较和的大小可得（可先解方程，然后确定不同范围内两个函数值的大小
【详解】（1）由题意可得
当时，，
当时，，
∴
（2）当时，，，∴；
当时，；
当时，，而，∴；
当时，，而，∴.
∴当时，选择俱乐部比较合算；
当时，两家都一样；
当时，选择俱乐部比较合算。
【点睛】本题考查函数的应用，考查分段函数模型的应用，属于基础题
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据二次函数的性质研究情况下的单调性和值域，根据对数复合函数的单调性及其开区间最值，列不等式求参数范围.
（2）将问题化为在内有唯一零点，利用二次函数的性质求参数范围即可.
【小问1详解】
由题设，，，
所以在定义域上递增，在上递减，在上递增，
又在内有最小值，
当，即时，在上递减，上递增，此时的值域为，则；
所以，可得；
当，即时，在上递减，上递增，此时是值域上的一个子区间，则；
所以开区间上不存在最值.
综上，.
【小问2详解】
由，则，要使在 (1，2)内有唯一零点，
所以在内有唯一零点，又开口向上且对称轴为，
所以，可得.