资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
2．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的符号不能确定
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.以下结论：①2a＞－b；②4a＋2b＋c＞0；③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）；④3a＋c＜0其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在中，=90〫，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是
A． B． C． D．
9．如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )
A．2－ B． C． D．1
10．已知一组数据:2，5，2，8，3，2，6，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．中位数是3，众数是2 B．中位数是2，众数是3
C．中位数是4，众数是2 D．中位数是3，众数是4
11．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则=_____．
14．观察下列各数：，，，，，……按此规律写出的第个数是______，第个数是______．
15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DCB＝60°，CB＝CD，AC＝8，则四边形ABCD的面积为__．
16．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB＝2，且∠1＝∠2，则下列结论中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）．①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四边形BFGC＝﹣1．
17．如图，把直角三角板的直角顶点放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点、．量得，，则该圆玻璃镜的半径是__________．
18．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．
三、解答题（共78分）
19．（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示.
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
20．（8分）如图,在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是, , .
（1）以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴右侧画出;
（2） 的正弦值为 .
21．（8分）如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．
22．（10分）如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
23．（10分）某班级元旦晚会上，有一个闯关游戏，在一个不透明的布袋中放入3个乒乓球，除颜色外其它都相同，它们的颜色分别是绿色、黄色和红色．搅均后从中随意地摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，搅均后再从袋中随意地摸出一个乒乓球，如果两次摸出的球的颜色相同，即为过关．请用画树状图或列表法求过关的概率．
24．（10分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．用直尺和圆规作出所在圆的圆心O（要求保留作图痕迹，不写作法）；
25．（12分）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
26．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AB=2AC，
而CA=5米，
∴AB=10米，
∴AB+AC=15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故选B．
【点睛】
本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．
2、A
【分析】由题意根据二次函数的图象与性质即可求出答案判断选项．
【详解】解：由图象可知开口向上a＞0，与y轴交点在上半轴c＞0，
∴ac＞0，
故选A.
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
3、C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4、A
【分析】先在直角三角形ABC中，求出AB，BC，然后证明△ABD为等边三角形，得出BD=AB=2，再根据CD=BC-BD即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，∠B=60°，
∴BC=2AB，BC2=AC2+AB2，∴4AB2=AC2+AB2，
∴AB=2，BC=4，
由旋转得，AD=AB，
∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，解本题的关键是综合运用基本性质．
5、B
【详解】函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=1．故选B．
6、A
【分析】根据图象得出函数及对称轴信息，分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．
【详解】解：由图象可得：，则2a+b=0，故①2a＞－b错误；
由图象可得：抛物线与x轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c＜0，故②4a＋2b＋c＞0错误；
∵x=1时，二次函数取到最小值，∴m（am+b）=am2+bm＞a+b，故③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）正确；
∵b=-2a，∴当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，故④3a＋c＜0错误．
综上所述，只有③正确
故选：A
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．
7、A
【分析】根据同角三角函数关系：+求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，，
∵+，
∴ ,
∴=
故选：A
【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道是解题的关键．
8、A
【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范围为a≤且a≠0.
点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b2-4ac的值即可.
注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的十数根；
当△＜0时，方程没有实数根.
9、C
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
10、A
【分析】先将这组数据从小到大排列，找出最中间的数，就是中位数，出现次数最多的数就是众数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：
2，2，2，3，5，6，8，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了三次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是2；
故选：A.
【点睛】
此题考查了众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
11、D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
12、C
【分析】根据题意列出树状图，得到所有a、c的组合再找到满足的数对即可．
【详解】如图：符合的共有6种情况，
而a、c的组合共有12种，
故这两人有“心灵感应”的概率为．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】设则所以,故答案为:.
14、
【分析】由题意可知已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减，进而进行分析即可求解.
【详解】解：给出的数：，，，，，……
序列号：，，，，，……
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减.
因此，第个数是，第个数是.
故第个数是，第个数是.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查探索规律的问题，解决此类问题要从数字中间找出一般规律（符号或数），进一步去运用规律进行解答．
15、16
【分析】延长AB至点E，使BE＝DA，连接CE，作CF⊥AB于F，证明△CDA≌△CBE，根据全等三角形的性质得到CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，得到△CAE为等边三角形，根据等边三角形的性质计算，得到答案．
【详解】延长AB至点E，使BE＝DA，连接CE，作CF⊥AB于F，
∵∠DAB+∠DCB＝120°+60°＝180°，
∴∠CDA+∠CBA＝180°，又∠CBE+∠CBA＝180°，
∴∠CDA＝∠CBE，
在△CDA和△CBE中，
，
∴△CDA≌△CBE（SAS）
∴CA＝CE，∠BCE＝∠DCA，
∵∠DCB＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AE＝AC＝8，CF＝AC＝4，
则四边形ABCD的面积＝△CAB的面积＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】
考核知识点：等边三角形判定和性质，三角函数.作辅助线，构造直角三角形是关键.
16、①②③
【分析】①由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出①正确；
②由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB•cos∠BAC，AG，求出AC，AG，即可得出②正确；
③由勾股定理求出DF，由GE=tan∠2•ED求出GE，即可得出③正确；
④由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出④不正确．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FAG=∠EAG，AB=AD，BC∥AD，
∴∠1=∠GAD．
∵∠1=∠2，
∴∠GAD=∠2，
∴AG=GD．
∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，
∴AE=ED．
∵F为边AB的中点，
∴AF=AE，
在△AFG和△AEG中，
∵，
∴△AFG≌△AEG(SAS)，
∴∠AFG=∠AEG=90°，
∴DF⊥AB，
∴①正确；
连接BD交AC于点O．
∵DF⊥AB，F为边AB的中点，
∴AFAB=1，AD=BD．
∵AB=AD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAC=∠1=∠2=30°，
∴AC=2AO=2AB•cos∠BAC=2×22，
AG，
∴CG=AC﹣AG=2，
∴CG=2GA，
∴②正确；
∵GE垂直平分AD，
∴EDAD=1，
由勾股定理得：DF，
GE=tan∠2•ED=tan30°×1，
∴DF+GECG，
∴③正确；
∵∠BAC=∠1=30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
FGAG，
S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF211，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
17、1．
【解析】解：∵∠MON=90°，∴为圆玻璃镜的直径，，∴半径为．故答案为：1．
18、1
【解析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送10份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【详解】解：设参加聚会的有x名学生，
根据题意得：
，
解得：，舍去，
即参加聚会的有1名同学，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1） ；（2）销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.
【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；
（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
【详解】解：（1）设一次函数关系式为
由图象可得，当时，；时，.
∴，解得
∴与之间的关系式为
（2）设该公司日获利为元，由题意得
∵；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴；
∴当时，随着的增大而增大；
∵，
∴时，有最大值；
.
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得。
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接、，分别取、、的中点即可画出△，
（2）利用正弦函数的定义可知．由，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点 、、，顺次连接 、、，△即为所求，如图所示，
（2），，，
，
．
，
．
【点睛】
本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
21、（1）详见解析；（2）⊙O的半径是．
【分析】（1）连接OA，求出OA∥BC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBA＝∠OAB，∠OBA＝∠ABC，即可得出答案；
（2）根据矩形的性质求出OD＝AC＝1，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BD，再根据勾股定理求出OB即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：过O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OD⊥BC，OD过O，
∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝，
即⊙O的半径是．
【点睛】
此题主要考查切线的性质及判定，解题的关键熟知等腰三角形的性质、垂径定理及切线的性质.
22、 (1) y＝－x2＋3x；(2) 当x＝3时，y有最大值，为4.5.
【解析】分析：（1）由矩形的周长为12，AB=x，结合矩形的性质可得BC=6-x，然后由E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点可得四边形EFGH的面积是矩形面积的一半，从而列出函数关系式；
（2）由关系式为二次函数以及二次项系数小于0可得四边形EFGH的面积有最大值，然后利用配方法将抛物线的解析式写成顶点式，从而得到x取什么值时，y取得最大值，以及最大值是多少.
详解：(1)∵矩形ABCD的周长为12，AB＝x，
∴BC＝×12－x＝6－x.
∵E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，
∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，
即y＝－x2＋3x.
(2)y＝－x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，
∵a＝－＜0，
∴y有最大值，
当x＝3时，y有最大值，为4.5.
点睛：本题是一道有关二次函数应用的题目，解题的关键是依据矩形的性质结合已知列出二次函数关系式，然后利用二次函数的最值解决问题.
23、．
【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果.
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球的颜色相同的结果数为3，
所以过关的概率是＝．
【点睛】
本题的考点是树状图法.方法是根据题意画出树状图，由树状图得出答案.
24、见解析.
【分析】根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，只需连接AC、BC，尺规作线段AC和BC的垂直平分线，其交点即为所求.
【详解】解：如图所示：
圆心O即为圆弧所在圆的圆心．
【点睛】
本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键.
25、
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a，
解得：.
∴.
当y=-3时，.
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
26、（1）48000 m3（2）V= （3）8000 m3
【解析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=，再把点（12，4000）代入即可求出答案；
（2）此题根据点（12，4000）在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；
（3）此题须把t=6代入函数的解析式即可求出每小时的排水量；
【详解】（1）设V=．
∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴蓄水量为12×4000=48000m3；
（2）∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴4000=，
k=48000，
∴此函数的解析式V=；
（3）∵当t=6时，V==8000m3；
∴每小时的排水量应该是8000m3.
【点睛】
主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
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