资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知抛物线的对称轴过点且平行于y轴，若点在抛物线上，则下列4个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．45°或135°
4．若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
6．如图,在矩形ABCD中,AD=10,AB=6,E为BC上一点,DE平分∠AEC,则CE的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线y =2 x2＋3与两坐标轴的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，一下水管横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面上升了，则水面宽为__________．
14．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．
15．如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，AE＝2，EC＝6，AB＝12，则AD的长为_____．
16．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为_______________．
17．在一只不透明的袋中，装着标有数字，，，的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率_______．
18．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某商场销售一种电子产品，进价为元/件.根据以往经验:当销售单价为元时，每天的销售量是件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件.
（1）销售该电子产品时每天的销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系式为______；
（2）商场决定每销售件该产品，就捐赠元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为元，求的值．
20．（8分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，过点的双曲线与矩形的边交于点．
(1)求双曲线的解析式以及点的坐标；．
(2)若点是抛物线的顶点；
①当双曲线过点时，求顶点的坐标；
②直接写出当抛物线过点时，该抛物线与矩形公共点的个数以及此时的值．
22．（10分）如图，在等腰中，，，是上一点，若.
(1)求的长；
(2)求的值.
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
24．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D，以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）.
25．（12分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．
26．在精准脱贫期间，江口县委、政府对江口教育制定了目标，为了保证2018年中考目标的实现，对九年级进行了一次模拟测试，现对这次模拟测试的数学成绩进行了分段统计，统计如表，共有2500名学生参加了这次模拟测试，为了解本次考试成绩，从中随机抽取了部分学生的数学成绩x（得分均为整数，满分为100分）进行统计后得到下表，请根据表格解答下列问题：
（1）随机抽取了多少学生？
（2）根据表格计算：a＝ ；b＝ ．
分组
频数
频率
x＜30
14
0.07
30≤x＜60
32
b
60≤x＜90
a
0.62
90≤x
30
0.15
合计
﹣
1
（3）设60分（含60）以上为合格，请据此估计我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有多少名？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据二次函数的图象与性质对各个结论进行判断，即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴过点，
∴抛物线的对称轴为，即，可得
由图象可知， ，则，
∴，①正确；
∵图象与x轴有两个交点，
∴，即，②错误；
∵抛物线的顶点在x轴的下方，
∴当x=1时，，③错误；
∵点在抛物线上，即是抛物线与x轴的交点，
由对称轴可得，抛物线与x轴的另一个交点为，
故当x=−2时，，④正确；
综上所述：①④正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析每条结论是否正确．解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．
2、B
【分析】将一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查中心对称图形的定义，熟记定义并掌握各图形的特点是解题的关键.
3、D
【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝3，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.
4、B
【分析】将整理成，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
5、C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
6、B
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质证明∠ADE=∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
又∵∠DEC=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=10，
在直角△ABE中，BE=，
∴CE=BC﹣BE=AD﹣BE=10﹣8=1．
故选B．
考点：矩形的性质；角平分线的性质．
7、D
【解析】如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选D．
8、A
【解析】A既是轴对称图形，又是中心对称图形;
B是轴对称图形，不是中心对称图形;
C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
【详解】
请在此输入详解！
9、C
【解析】根据简单几何体的三视图即可求解.
【详解】三视图的俯视图，应从上面看，故选C
【点睛】
此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义.
10、B
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中球的总数为：2+3=5，有2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为：．
故选B．
11、C
【分析】先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案.
【详解】∵
∴
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键.
12、B
【分析】根据一元二次方程2 x2＋3=1的根的判别式的符号来判定抛物线y =2 x2＋3与x轴的交点个数，当x=1时，y=3，即抛物线y =2 x2＋3与y轴有一个交点．
【详解】解：当y=1时，2 x2＋3=1．
∵△=12-4×2×3=-24＜1，
∴一元二次方程2 x2＋3=1没有实数根，即抛物线y =2 x2＋3与x轴没有交点；
当x=1时，y=3，即抛物线y =2 x2＋3与y轴有一个交点，
∴抛物线y =2 x2＋3与两坐标轴的交点个数为1个．
故选B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴、y轴的交点．注意，本题求得是“抛物线y =2 x2＋3与两坐标轴的交点个数”，而非“抛物线y =2 x2＋3与x轴交点的个数”．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
【详解】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA，OC
∵AB=60cm，OE⊥AB，且直径为100cm，
∴OA=50cm，AE=
∴OE=，
∵水管水面上升了10cm，
∴OF=40-10=030cm，
∴CF=，
∴CD=2CF=1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
14、1150cm1
【分析】设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，则两个正方形的边长分别是cm，cm，再列出二次函数，求其最小值即可．
【详解】如图：设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，列二次函数得：
y＝（）1+（）1＝（x﹣100）1+1150，
由于＞0，故其最小值为1150cm1，
故答案为：1150cm1．
【点睛】
本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．
15、1
【分析】把AE＝2，EC＝6，AB＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】解：∵＝，AE＝2，EC＝6，AB＝12，
∴＝，
解得：AD＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
16、10%.
【分析】1016年的水果产量=1014年的水果产量×（1+年平均增长率）1，把相关数值代入即可．
【详解】根据题意，得 100（1+x）1=144，
解这个方程，得x1=0.1，x1=-1.1．
经检验x1=-1.1不符合题意，舍去．
故答案为10%．
【点睛】
此题考查列一元二次方程；得到1016年水果产量的等量关系是解决本题的关键．
17、
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】根据题意画图如下：
可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和大于等于9的有8种
∴P（小东获胜）＝=
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意画出树状图表示所有情况.
18、
【解析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.
【详解】画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率.
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）a=1．
【分析】(1)利用“实际销售量=原销售量-10×上涨的钱数”可得；
(2) 根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
【详解】(1) 由题意得，
∴函数关系式为：
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w元，
依题意得：
∵-10＜0，且抛物线的对称轴为直线，
∴当y的最大值是1440，
∴，
化简得：，
解得：(不合题意，舍去)， ．
答：的值为1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．
20、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）存在，理由见解析.
【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；
（2）函数的对称轴为：x=1，则点D（1，4），则BE=2，DE=4，即可求解；
（3）△BFC的面积=×BC×|yF|=2|yF|=6，解得：yF=±3，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），
则BE＝2，DE＝4，
BD＝＝2；
（3）存在，理由：
△BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，
解得：yF＝±3，
故：﹣x2+2x+3＝±3，
解得：x＝0或2或1，
故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21、（1），；（2）①；②三个，
【分析】（1）将C点坐标代入求得k的值即可求得反比例函数解析式，将代入所求解析式求得x的值即可求得E点坐标；
（2）①将抛物线化为顶点式，可求得P点的横坐标，再根据双曲线解析式即可求得P点坐标；②根据B点为函数与y轴的交点可求得t的值和函数解析式，再根据函数的对称轴，与x轴的交点坐标即可求得抛物线与矩形公共点的个数．
【详解】解:(1)把点代入，得，
∴
把代入，得，
∴；
(2)①∵抛物线
∴顶点的横坐标，
∵顶点在双曲线上，
∴，
∴顶点，
②当抛物线过点时，
，解得，
抛物线解析式为，
故函数的顶点坐标为，对称轴为，与x轴的交点坐标分别为
所以它与矩形在线段BD上相交于和，在线段AB上相交于，即它与矩形有三个公共点，此时．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式和求二次函数解析式，二次函数的性质．在求函数解析式时一般该函数有几个未知的常量就需要代入几个点的坐标，本题（2）（3）中熟练掌握二次函数一般式，交点式，顶点式三种表达式之间的互相转化是解决此题的关键．
22、 (1)AD=2;(2)
【分析】（1）先作，由等腰三角形，，得到，根据勾股定理可得；
（2）由长度，再根据锐角三角函数即可得到答案.
【详解】（1）作
等腰三角形，
（2）
【点睛】
本题考查等腰三角形和锐角三角函数，解题的关键是掌握等腰三角形和锐角三角函数.
23、（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC.
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠C+∠B=110°，∠ADF=∠DEC
∵∠AFD+∠AFE=110°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C
在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=1．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
24、（1）直线BC与⊙O相切，理由详见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义可得∠DAC=∠DAB，根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，即可证明OD//AC，根据平行线的性质可得，可得直线BC与⊙O相切；
（2）利用弧长公式可求出∠DOE=60°，根据∠DOE的正切可求出BD的长，利用三角形和扇形的面积公式即可得答案.
【详解】（1）直线与⊙O相切，理由如下：
连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线与⊙O相切.
（2）∵，劣弧的长为，
∴，
∴
∵，
∴，
∴.
∴BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积为.
【点睛】
本题考查切线的判定、弧长公式及扇形面积，经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线的圆的切线；n°的圆心角所对的弧长为l=（r为半径）；圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=（r为半径）；熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解题关键.
25、（1）∠BDC=α；（2）∠ACE=β；（3）DE=．
【分析】（1）连接AD，设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，证明∠DAB＝β−γ，β＝90°−γ，∠ABD＝2γ，得出∠ABD＝2∠BDC，即可得出结果；
（2）连接BC，由直角三角形内角和证明∠ACE＝∠ABC，由点C为弧ABD中点，得出∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，即可得出结果；
（3）连接OC，证明∠COB＝∠ABD，得出△OCH∽△ABD，则＝＝，求出BD＝2OH＝10，由勾股定理得出AB＝＝26，则AO＝13，AH＝AO＋OH＝18，证明△AHE∽△ADB，得出＝，求出AE＝，即可得出结果．
【详解】（1）连接AD，如图1所示：
设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝γ，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠CAD＝β，
∴∠DAB＝β﹣γ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴γ+β＝90°，
∴β＝90°﹣γ，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，
∴∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDC＝∠ABD＝α；
（2）连接BC，如图2所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，
∴∠ACE＝β；
（3）连接OC，如图3所示：
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴＝＝，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，
∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，
∴△AHE∽△ADB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．
26、（1）200名；（2）124，0.16；（3）1925名
【分析】（1）由题意根据频数分布表中的数据，可以计算出随机抽取的学生人数；
（2）由题意根据（1）中的数据和频数分布表中的数据，可以计算出a和b的值；
（3）根据频数分布表中的数据，即可计算出我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有多少名．
【详解】解：（1）14÷0.07＝200（名），
即随机抽取了200名学生；
（2）a＝200×0.62＝124，b＝32÷200＝0.16，
故答案为：124，0.16；
（3）2500×（0.62+0.15）
＝2500×0.77
＝1925（名），
答：我县这次这次九年级数学模拟测试成绩合格的学生有1925名．
【点睛】
本题考查频数分布表和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意并求出相应的数据．
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