资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．是关于的一元一次方程的解，则（ ）
A． B． C．4 D．
2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
3．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
4．如图，，两条直线与三条平行线分别交于点和．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝S△CEF，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
6．剪纸是中国特有的民间艺术.在如图所示的四个剪纸图案中.既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（－1，0） D．（0，－1）
8．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( )
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1
C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
10．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为( )
A．90 B．94 C．98 D．102
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算：=_____．
12．若、为关于x的方程（m≠0）的两个实数根，则的值为________．
13．在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
14．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____．
15．如图，二次函数的图象与轴交于点,与轴的一个交点为,点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过两点,根据图象,则满足不等式的的取值范围是_____________
16．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝_______.
17．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝2，CD＝3，则△ABO与△DCO的面积之比为_____．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，∠BAC=30º，BC=4，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90º得到Rt△ADE，则BC扫过的阴影面积为___．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图①，四边形是边长为2的正方形，，四边形是边长为的正方形，点分别在边上，此时，成立．
（1）当正方形绕点逆时针旋转，如图②，成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当正方形绕点逆时针旋转（任意角）时，仍成立吗？直接回答；
（3）连接，当正方形绕点逆时针旋转时，是否存在∥，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（6分）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
21．（6分）关于的一元二次方程
（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和的值
（2）求证：不论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
22．（8分）如图，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出；
（2）与关于原点成中心对称，画出．
23．（8分）已知如图所示，点到、、三点的距离均等于（为常数），到点的距离等于的所有点组成图形. 射线与射线关于对称，过点 C作于.
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；
（2）判断直线与图形的公共点个数并加以证明.
24．（8分）若关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求b的值；
（2）当b取正数时，求此时方程的根，
25．（10分）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
26．（10分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，装载速度（吨/天）与装完货物所需时间（天）之间的函数关系如图．
（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【详解】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
2、D
【解析】试题解析：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在中,由勾股定理得：
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
3、C
【分析】根据题意列出树状图，得到所有a、c的组合再找到满足的数对即可．
【详解】如图：符合的共有6种情况，
而a、c的组合共有12种，
故这两人有“心灵感应”的概率为．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
4、C
【分析】由得设可得答案．
【详解】解： ，，
设 则
故选C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例，比例线段，掌握这两个知识点是解题的关键．
5、C
【解析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，
②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】①四边形ABCD是正方形，
∴AB═AD，∠B=∠D=90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故①正确）．
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2（a-y）
EF=y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2＝(x)2
∴x2=2y（x+y）
∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，
∴S△ABE=S△CEF．（故④正确）．
综上所述，正确的有①③④，
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
6、C
【解析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【详解】A. 此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，
∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合，
∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误。
C. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合,
∴此图形是轴对称图形,旋转180∘能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
D. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合,旋转180°不能与原图形重合，
∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误。
故选C
【点睛】
此题考查轴对称图形和中心对称图形，难度不大
7、D
【详解】当x=0时，y=0-1=-1,
∴图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.
故选D.
8、A
【分析】根据待定系数法求解即可．
【详解】解：设函数的解析式是y＝kx，
根据题意得：2k＝﹣3，解得：k＝﹣．
故函数的解析式是：y＝﹣x．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．
9、C
【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】x2+3=4x，
整理得：x2-4x=-3，
配方得：x2-4x+4=4-3，即（x-2）2=1．
故选C.
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知项移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，开方即可求出解．
10、C
【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有 个五角星，当n=7代入计算即可．
【详解】解：第①个图形一共有个五角星；第②个图形一共有 个五角星；第③个图形一共有个五角星；……第n个图形一共有 个五角星，所以第⑦个图形一共有 个五角星．
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查规律探索，解题的关键是找准规律．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3
【解析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
【详解】
=3，
故答案为3
【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
12、-2
【分析】根据根与系数的关系，，代入化简后的式子计算即可.
【详解】∵，，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，熟记：两根之和是，两根之积是，是解题的关键．
13、二、四.
【解析】试题解析：根据关联点的特征可知：
如果一个点在第一象限，它的关联点在第三象限.
如果一个点在第二象限，它的关联点在第二象限.
如果一个点在第三象限，它的关联点在第一象限.
如果一个点在第四象限，它的关联点在第四象限.
故答案为二，四.
14、．
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
∵BD＝3，AD＝6，
∴AB＝9，
设B点的坐标为（9，b），
∴D（6，b），
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴6b＝k，
∴E（9，b），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝9b﹣k﹣k﹣•3•（b﹣b）＝15，
∴9b﹣6b﹣b＝15，
解得：b＝6，
∴D（6，6），E（9，4），
作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，
∵AB＝9，BE′＝6+4＝10，
∴DE′＝＝，
故答案为．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
15、
【分析】将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，点A、B之间部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集.
【详解】解：抛物线经过点
抛物线解析式为
点坐标
对称轴为x=-2,B、C关于对称轴对称,
点坐标
由图象可知，满足的的取值范围为
故答案为:．
【点睛】
本题考查了利用二次函数的性质来确定系数m和图象上点B的坐标，而根据图象可知满足不等式的的取值范围是在B、A两点之间.
16、
【分析】作CD⊥AB于点D，先在Rt△ACD中求得CD的长，再解Rt△BCD即得结果．
【详解】如图，作CD⊥AB于点D：
，∠A＝30°，
，得，
，∠B＝45°，
，
解得
考点：本题考查的是解直角三角形
点评：解答本题的关键是作高，构造直角三角形，正确把握公共边CD的作用．
17、
【分析】由AB∥CD可得出∠A＝∠D，∠B＝∠C，进而可得出△ABO∽△DCO，再利用相似三角形的性质可求出△ABO与△DCO的面积之比．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABO∽△DCO，
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
18、4π
【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8，AC=BC=，再根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAD=90°，然后根据扇形的面积公式，利用BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-S△CAE进行计算．
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=8，AC=BC=4，
∵Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=90°，
∴BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-S△CAE
=．
故答案为：4π．
【点睛】
本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）成立，证明见解析；（2）结论仍成立；（3）存在，
【分析】（1）先利用正方形的性质和旋转的性质证明≌，然后得出，再根据等量代换即可得出，则有；
（2）先利用正方形的性质和旋转的性质证明≌，然后得出，再根据等量代换即可得出，则有；
（3）通过分析得出时，在同一直线上,根据AO,AF求，从而有,最后利用即可求解．
【详解】（1）结论，仍成立．
如图1，延长交于交于点，
∵四边形，ABCD都是正方形,
∴ ．
由旋转可得，，
，
∴≌，
∴．
,
，
∴，
∴结论仍成立 ．
（2）若正方形绕点逆时针旋转时，如图，结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长交于交于点，
∵四边形，ABCD都是正方形,
∴ ．
由旋转可得，，
，
∴≌，
∴．
,
，
∴，
∴结论仍成立 ．
当旋转其他角度时同理可证 ，所以结论仍成立．
（3）存在
如图3，连接，与相交于，
∵，当∥时，，
又∵，
∴在同一直线上．
∵四边形ABCD，AEGF是正方形，
∴ ．
∵，
∴ ．
∵,
，
，
∴，
即当时，∥成立．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
20、（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）点P（﹣2，1）在这个二次函数的图象上，
【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）代入x=-2求出y值，将其与1比较后即可得出结论．
【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1；
∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），（2，﹣5），则有：
解得；
∴y=﹣x2﹣2x+1．
（2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1=﹣4+4+1=1，
∴点P（﹣2，1）在这个二次函数的图象上，
【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.
21、（1），另一个根是；（2）详见解析．
【分析】（1）代入x=1求出m值，从而得出方程，解方程即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【详解】解：（1）把代入原方程得解得：
当时，原方程为
解得：
∴方程的另一个根是
（2）证明：
∵
∴
∴不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，由判别式的符号得到方程根的情况是解题的关键．
22、答案见解析．
【分析】（1）将的三个顶点进行平移得到对应点，再顺次连接即可求解；
（2）找到△ABC的三个得到关于原点的对称点，再顺次连接即可求解．
【详解】（1）为所求；
（2）为所求．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是根据题意找到各顶点的对应点．
23、（1）补全图形见解析；（2）直线与图形有一个公共点，证明见解析.
【分析】（1）根据题意可知，点O为△ABC的外心，作AC、BC的垂直平分线，交点为O，然后做出圆O，AC为∠OAM的角平分线，过C作于F，即可得到图形；
（2）连接OC，由AC平分∠OAM，则，然后证明，由，得到，得到CF是圆O的切线，即可得到结论.
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图，
（2）如图，直线与图形有一个公共点
证明：连接，
∵射线与射线关于对称，
∴AC平分∠OAM，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于
∴，
∵图形即⊙，为半径，
∴与⊙O相切，即与图形有一个公共点.
【点睛】
本题考查了复杂作图——作圆，作垂直平分线，作角平分线，以及圆的切线的判定，解题的关键是准确作出图形，熟练证明直线是圆的切线.
24、（1）b=2或b=；（2）x1=x2=2；
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b）=0，
∴
解得：b=2或b=．
（2）当b=2时，
此时x2-4x+4=0，
∴，
∴x1=x2=2；
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
25、见解析
【解析】试题分析：
先将原式按分式的相关运算法则化简，再解方程求得x的值，最后将使原分式有意义的x的值代入化简后的式子计算即可.
试题解析：
原式．
解方程得．
当时，原式；
当时，原式无意义．
点睛：求分式的值时，字母的取值需确保原分式有意义，本题中，当时，原分式无意义，此时不能将代入化简所得的分式中进行计算.
26、（1）；（2）80吨
【分析】（1））设y与x之间的函数表达式为y= ，然后根据待定系数法求出解析式，然后根据k确定x的取值范围；
（2）将x=5代入函数解析式求得y的值，即可解答．
【详解】解：（1）由图像可知与成反比例函数设
∵过点，
∴
∴与之间的函数表达式为；
∴自变量的取值范围：
（2）∵当时，
答：平均每天至少要卸80吨货物.
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用，弄清题意、确定反比例函数的解析式是解答本题的关键．
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