四川省成都市嘉祥教育集团2022-2023学年数学高一上期末经典模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知定义域为的函数满足：，且，当时，，则等于
A. B.
C.2 D.4
3．若角，均为锐角，，，则（）
A. B.
C. D.
4．已知集合，，则　　
A.或 B.或
C. D.或
5．已知函数（其中）的最小正周期为，则（）
A. B.
C.1 D.
6．在内，使成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
7．若，且 x为第四象限的角，则tanx的值等于
A. B.－
C. D.－
8．命题“任意实数”的否定是（）
A.任意实数 B.存在实数
C.任意实数 D.存实数
9．已知全集，集合，则（　　）
A. B.
C. D.
10．设函数，则的值为（）
A. B.
C. D.18
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数，若，则的取值范围是__________
12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
13．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______
14．已知，则__________.
15．已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最大值和最小值.
18．设，，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
19．已知函数，.
（1）用函数单调性的定义证明：是增函数；
（2）若，则当为何值时，取得最小值？并求出其最小值.
20．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点.

（I）证明：AM⊥PM ；
(II)求二面角P－AM－D的大小.
21．若两个函数和对任意，都有，则称函数和在上是疏远的
（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
（2）若函数和在上是疏远的，求整数a的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】要保证函数在R上单调递减，需使得和都为减函数，且x=1处函数值满足,由此解得答案.
【详解】由函数在R上单调递减，
可得 ，解得 ，
故选：D.
2、D
【解析】由得，
又由得函数为偶函数，
所以
选D
3、B
【解析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.
【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，
所以，.
故选：B
4、A
【解析】进行交集、补集的运算即可．
【详解】；
，或
故选A．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
5、D
【解析】根据正弦型函数的最小正周期求ω，从而可求的值.
【详解】由题可知，，
∴.
故选：D.
6、C
【解析】
直接画出函数图像得到答案.
【详解】画出函数图像，如图所示：根据图像知.
故选：.

【点睛】本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.
7、D
【解析】∵x为第四象限的角，，于是 ，
故选D.
考点：商数关系
8、B
【解析】根据含全称量词的命题的否定求解.
【详解】根据含量词命题的否定，
命题“任意实数”的否定是存在实数，
故选：B
9、B
【解析】首先确定全集，而后由补集定义可得结果
【详解】解：，又，
.
故选B
【点睛】本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键，属于基础题型.
10、B
【解析】根据分段函数的不同定义域对应的函数解析式，进行代入计算即可.
【详解】，
故选：B

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.
【详解】画出的函数图象如图，不妨设，
因为，则由图可得，
，可得，即，
又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，
所以解得，即的取值范围是.
故答案为：.

12、
【解析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
13、
【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域
【详解】解：由得，
又为奇函数，得，
，
又是定义在，上的减函数，

解得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”
14、##
【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以

故答案为：
15、##
【解析】根据幂函数的定义设函数解析式，将点的坐标代入求解即可.
【详解】由题意知，
设幂函数的解析式为为常数)，
则，解得，
所以.
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）利用二倍角公式和两角和正弦公式化简再由周期公式计算可得答案；
（2）根据当的范围可得，再计算出可得答案.
【小问1详解】

，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
当时， ，
所以，
所以 ，
所以在区间上的最大值为和最小值.
17、（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）展开两角差的余弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；
（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性可求函数在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】

，
，
的最小正周期为；
【小问2详解】
因，
所以，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
18、（1）或；（2）.
【解析】（1）先得出集合A，利用并集定义求出，再由补集定义即可求出；
（2）由题可得集合是集合的真子集，则可列出不等式组求出.
【详解】解：（1）当时，，又，
所以，所以或；
（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.
又因为，，，
所以，解得，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含
19、证明详见解析；（2）时，的最小值是.
【解析】（1）根据函数单调性定义法证明，定义域内任取，且，在作差，变形后判断符号，证明函数的单调性；（2）首先根据函数的定义域求的范围，再根据基本不等式求最小值.
【详解】（1）证明：在区间任取，设，

，
，，
，
即，
所以函数在是增函数；
（2），
的定义域是，
，
设，时，，
当时，，
当，即时，等号成立，
即时，函数取得最小值4.
【点睛】易错点睛：本题的易错点是第二问容易忽略函数的定义域，换元时，也要注意中间变量的取值范围.
20、（1）见解析； （2）45°.
【解析】（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,求出与的坐标，利用数量积为零，即可证得结果；（Ⅱ）求出平面PAM与平面ABCD的法向量，代入公式即可得到结果.
【详解】（I）证明:以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意，可得
∴

∴
即,∴AM⊥PM .
(II)设，且平面PAM，则
,即 ∴ ,
取，得；取，显然平面ABCD，
∴，结合图形可知，二面角P－AM－D为45°.

【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21、（1）该命题为假命题，反例为:当时，.
（2）.
【解析】（1）利用“疏远函数”的定义直接判断即可，以或举例即可；（2）由函数的定义域可确定实数，构造函数，可证当时，恒成立，即函数和在上是疏远的
【小问1详解】
该命题为假命题，反例为:当时，.
【小问2详解】
由函数的定义域可知，故
记
∵在上单调递增，在上单调递减，
∴在上单调递增，
∴当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，
∴当时，
故.