资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在中，，，，点在边上，且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（ ）
A．3.2 B．2 C．1.2 D．1
2．将抛物线 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图,点A是以BC为直径的半圆的中点，连接AB，点D是直径BC上一点，连接AD，分别过点B、点C向AD作垂线，垂足为E和F，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（ ）.
A． B．
C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A． B． C． D．
8．边长为2的正六边形的面积为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．
9．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s B．4s C．5s D．6s
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（ ）
①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝1．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．在，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．根据下列统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额___________11月份的水果类销售额（请从“>”“=”或“<”中选一个填空）.
14．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．
15．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，这时水面宽度AB 为______________.
16．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝ º．
17．已知扇形的面积为4π，半径为6，则此扇形的圆心角为_____度．
18．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，AB是的弦，D为半径OA上的一点，过D作交弦AB于点E，交于点F，且求证：BC是的切线．
20．（8分）已知二次函数的图像经过点（-2，40）和点（6，-8），求一元二次方程的根.
21．（8分）如图，在中，，，，点在上，，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求线段的长．
22．（10分）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端恰巧与墙壁顶端重合. 因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达处，此时测得梯子与地面的夹角为，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）？
23．（10分）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．
24．（10分）如图，双曲线经过点P(2，1)，且与直线y＝kx﹣4(k＜0)有两个不同的交点.
(1)求m的值.
(2)求k的取值范围.
25．（12分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
26．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．
∵PE∥AB，
∴∠PDB=90°．
由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，
∴PD有最小值．
又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．
∴，即，解得：DF=2.1．
∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．
故选：C．
【点睛】
本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题
2、B
【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可.
【详解】y=2x2向右平移2个单位得y=2（x﹣2）2，再向上平移3个单位得y=2（x﹣2）2+3.
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．
3、D
【分析】延长BE交于点M，连接CM，AC，依据直径所对的圆周角是90度，及等弧对等弦，得到直角三角形BMC和等腰直角三角形BAC，依据等腰直角三角形三边关系，知道要求AB只要求直径BC，直径BC可以在直角三角形BMC中运用勾股定理求，只需要求出BM和CM，依据三个内角是直角的四边形是矩形，可以得到四边形EFCM是矩形，从而得到CM和EM的长度，再用BE+EM即得BM，此题得解.
【详解】解：延长BE交于点M，连接CM，AC，
∵BC为直径，
∴，
又∵由得：,
∴四边形EFCM是矩形，
∴MC=EF =2，EM=CF=6
又∵BE=8，
∴BM=BE+EM=8+6=14,
∴,
∵点A是以BC为直径的半圆的中点,
∴AB=AC,
又∵，
∴，
∴AB=10.
故选：D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度， 矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式.
4、B
【解析】先求出抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的顶点坐标，再根据关于x轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a的值，即可求出答案.
【详解】抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x轴对称和y轴对称两种方式.二次函数关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.
5、D
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6
∴AB==10，故选D．
考点：解直角三角形；
6、B
【解析】根据三视图概念即可解题.
【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替,
故选B.
【点睛】
本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.
7、B
【解析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8、A
【解析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．
【详解】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，
∴边心距是：；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9、B
【分析】根据顶点式就可以直接求出结论；
【详解】解：∵﹣1＜0，
∴当t=4s时，函数有最大值．
即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.
10、C
【分析】①根据折叠的性质∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF＝∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明▱BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF．
【详解】①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE(SAS)；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝，BE＝，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
∴y＝，
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝，
∴sin∠PCB＝；
故④不正确；
⑤如图，连接FG，
由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝1；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．
11、D
【详解】解：过点P作PF⊥BC于F，
∵PE=PB，
∴BF=EF，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴AC=，
∵AP=x，∴PC=-x，
∴PF=FC=，
∴BF=FE=1-FC=，
∴S△PBE=BE•PF=，
即（0＜x＜），
故选D．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象．
12、B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90，
∴∠A+∠B=90，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=，
∴sinA==.
故选B.
【点睛】
本题考查互余两角三角函数的关系.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、>
【分析】根据统计图，分别求出该超市10月份的水果类销售额与11月份的水果类销售额，比较大小即可．
【详解】∵10月份的水果类销售额为（万元），11月份的水果类销售额为（万元），
∴10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额．
故答案是：>
【点睛】
本题主要考查从统计图种提取信息，通过观察统计图，得到有用的信息，是解题的关键．
14、（2，10）或（﹣2，0）
【解析】∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
15、
【详解】根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．
16、55
【解析】分析：∵∠ACB与∠AOB是所对的圆周角和圆心角，∠ACB＝35º，
∴∠AOB=2∠ACB=70°．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=．
17、1
【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则由此构建方程即可得出答案．
【详解】解：设该扇形的圆心角度数为n°，
∵扇形的面积为4π，半径为6，
∴4π＝，
解得：n＝1．
∴该扇形的圆心角度数为：1°．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握公式是解此题的关键．
18、∠P=∠B（答案不唯一）
【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、见解析
【解析】试题分析：连接OB，要证明BC是⊙O的切线，即要证明OB⊥BC，即要证明∠OBA+∠EBC=90°，由OA=OB，CE=CB可得：∠OBA=∠OAB，∠CBE=∠CEB，所以即要证明∠OAB+∠CEB=90°，又因为∠CEB=∠AED，所以即要证明∠OAB+∠AED=90°，由CD⊥OA不难证明.
试题解析：
证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
点睛：本题主要掌握圆的切线的证明方法，一般我们将圆心与切点连接起来，证明半径与切线的夹角为90°.
20、x1=2，x2=8.
【分析】把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．
【详解】解：将点（-2，40）和点（6，-8）代入二次函数得,
解得：
∴求得二次函数关系式为，
当y=0时，，
解得x1=2，x2=8.
【点睛】
此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．
21、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质及等腰三角形的性质通过等量代换可得出，即，则，则结论可证；
（2）连接，设，，利用勾股定理即可求出x的值．
【详解】（1）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线.
（2）解：连接，OD,
设，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】
本题主要考查切线的判定及勾股定理，掌握切线的判定方法及勾股定理是解题的关键．
22、胡同左侧的通道拓宽了米.
【分析】根据题意，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BE=CE，再由解直角三角形，求出DE的长度，然后得到CD的长度.
【详解】解：如图，
∵，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴胡同左侧的通道拓宽了米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，正确的进行解直角三角形.
23、（1）详见解析；（2）10m
【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；
（2）易证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.
【详解】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质.
24、 (1)m＝2；(2)k的取值范围是﹣2＜k＜0.
【解析】(1)将点P坐标代入，利用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得关于x的一元二次方程，根据有两个不同的交点，可得△＝(﹣4)2﹣4k•(﹣2)＞0，求解即可.
【详解】(1)∵双曲线经过点P(2，1)，
∴m＝2×1＝2；
(2)∵双曲线与直线y＝kx﹣4(k＜0)有两个不同的交点，
∴，
整理得：kx2﹣4x﹣2＝0，
∴△＝(﹣4)2﹣4k•(﹣2)＞0，
∴k＞﹣2，
∴k的取值范围是﹣2＜k＜0.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了待定系数法、一元二次方程根的判别式等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
25、（3）证明见解析；（3）2πcm3．
【分析】连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．（3）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；
（3）证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．
【详解】如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．
（3）根据圆周角定理得：∠COB=3∠CDB=3×30°=20°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=380°﹣30°﹣20°=90°，即OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）由（3）知，AC为⊙O的切线，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD=MB=BD=3．
在Rt△OBM中，
∠COB=20°，OB==2．
在△CDM与△OBM中
，
∴△CDM≌△OBM（ASA），
∴S△CDM=S△OBM
∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==2π（cm3）．
考点：3．切线的判定；3.扇形面积的计算．
26、（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）该函数图象如图所示；见解析（1）x的取值范围x≤﹣1或x≥1．
【分析】（1）用待定系数法将A（﹣1，0），C（0，1）坐标代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c即可.
（2）利用五点绘图法分别求出两交点，顶点，以及与y轴的交点和其关于对称轴的对称点，从而绘图即可.
（1）根据A,B,C三点画出函数图像，观察函数图像即可求出x的取值范围.
【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，1），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（1，4），开口向上，过点（﹣1，0），（1，0），（0，1），（2，1），
该函数图象如右图所示；
（1）由图象可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥1．
【点睛】
本题考查二次函数综合问题，结合待定系数法求二次函数解析式以及二次函数性质和二次函数图像的性质进行分析.
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