数学文科复习专题一平面向量.doc

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高二下学期数学文科复习专题一 平面向量
题型一：向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理.
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小.
如果和是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.
注意:若和是同一平面内的两个不共线向量，
【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。
例1直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若,则的可能值个数是（　　)
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
解：如图，将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k），所以C点在直线x=3上，由图知,只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B
点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面向量中的数形结合思想.
变式：如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且｜|＝｜|＝1，
｜| ＝，若＝λ+μ(λ,μ∈R）,
则λ+μ的值为 。
解:过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4,2+4=6
点评:本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。
变式2。已知向量和的夹角为，，则　　　　．
解：=，7
点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可.
题型二:向量的运算
【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义,掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。
例2设a=(1，—2），b=(-3，4)，c=（3，2),则（a+2b)·c=(　 ）
A。（－15,12)　　　B.0 C。－3 D.－11
解：(a+2b），（a+2b）·c ,选C
　　点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积,结果是一个数字。
变式1。已知平面向量，且∥，则=（　 )
A．（-2，—4） B. （—3，—6） C。 （—4,—8) D。 （—5,-10）
解:由∥,得m＝－4,所以，
＝(2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C).
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。
变式2.已知平面向量=（1，－3）,=(4，－2)，与垂直，则是（ )
A。 －1 B. 1 C。 －2 D。 2
解：由于
∴,即,选Ａ
点评:本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分.
题型三:定比分点
【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练应用,求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现,难度一般.由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目.
例3。设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与( 　 ）
A。反向平行 B。同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
解：由定比分点的向量式得:同理，有：
以上三式相加得
所以选A。
点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点。
变式1：已知两点，，，则P点坐标是 ( ）
A． B． C． D．
O
P
Q
B
a
b
正确答案:选B
变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若＝a，＝b，则＝　　 　，
＝　 　 (用a、b表示)
课后练习:
1、若，， 则( B ）
A．（－2，－2）　 B．（－2,2） C．（4，12) D．(－4,－12）
2、已知平面向量＝(1，1）,＝(1，－1)，则向量－＝ （ D ）
A、（－2，－1) B、（－2,1) C、（－1，0） D、（－1,2）
3、已知平面向量=（1，－3），=(4，－2),与垂直，则是（ A 　 )
A. －1 B. 1 C. －2 D。 2
4、若平面向量与向量=（1，－2）的夹角是180°，且｜|=，则=(B )
A．（－1，2) B．（－3，6）
C．（3，－6） D．(－3，6）或（3，－6）
5、在是（B ）
A．锐角三角形 B． 直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6、直角坐标平面内三点，若为线段的三等分点，则·＝（　C　）
（A）20　　(B）21　　（C）22　　(D)23
7。在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
【解析】 ∵==－8a－2b=2,∴.
∴四边形ABCD为梯形.
正确答案：选C
8.已知那么与夹角为
A、 B、 C、 D、
正确答案：选C
9.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=,=，=,
则下列各式： ①=－ ②= +
③=－ + ④++=
其中正确的等式的个数为（ ）
A。1 B.2 C。3 D。4
正确答案:选B
10.已知向量a＝(3，－4)，b＝(2，x）， c＝（2，y）且a∥b，ac．求｜b－c|的值．
解:∵ a∥b，∴ 3x＋8＝0． ∴x＝． ∴ b＝(2， ） ．
∵ ac, ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝． ∴ c＝（2, ）．
而b－c ＝（2，）－（2，)＝（0，－），
∴ ｜b－c|＝．
11.设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围。
解：∵，故，
解之 ．
另有，解之，
∴．
12.四边形中，
（1）若，试求与满足的关系式；
(2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积.
解：
（1） 则有
化简得：
（2)

又 则
化简有：
联立
解得 或
则四边形为对角线互相垂直的梯形
当
此时
当
此时
高二下学期数学文科复习专题二 三角函数
题型一、三角函数的定义，诱导公式
例1．已知角终边上一点P（－4，3），求的值
【解】∵
∴
变式1．设角的值等于( C ）
A． B．－ C． D．－
变式2．已知那么 ( B ）
A． B． C． D．
题型二、三角函数的求值、化简问题
例2．已知,，且．
(1）求的值；（2)求．
解：(1）由，，得．
∴．于是．
(2）由，得．又∵,
∴．
由，得
　∴．
变式1．若 〈 θ < π，且cosθ= −3/5 ，则sin(θ+)等于（ B )
A . B . C . D .
变式2：已知向量,且
（1)求tanA的值；（2)求函数R）的值域
解：(1）由题意得m·n=sinA—2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.
（2）由tanA=2得
因为xR，所以，当时，f（x）有最大值；
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f（x)的值域是
题型三、三角函数的图像与性质问题
例3．函数的图象为C, 如下结论中正确的是__①②③_. （写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；
③函数)内是增函数；④由的图象向右平移个单位可以得到图象C.
变式1. 已知函数
（1）求函数的最小正周期和最值；
（2)指出图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。
解:（1)最小正周期，的最大值为，最小值为
(2）
变式2：
已知函数()的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间;
（2)画函数f（x）在区间［0，］上的图象；
（3）将函数图象按向量平移后所得的图象关于原点对称，求向量的坐标
（一个即可）．
解：(1） 由周期为得，故
由得，所以函数的增区间为Z
x
0

y

2
1
0
1

(2)如下表：

图象如下：

（3）

题型四、三角形中的三角函数问题
例4。 在△ABC中，，，分别是角A,B，C的对边，且
(1）求角A的大小;（2) 若=，+ =3，求和的值。
解:（1）在△ABC中有B+C=π－A,由条件可得4［1－cos(B+C)] －4cos2A+2=7
∵cos(B+C)= －cosA ∴4cos2A－4cosA+1=0 解得
（2)由

变式1。 已知在中，三条边所对的角分别为，向量，且满足。
（1）求角的大小；（2)若成等比数列,且，求的值.
解:(1)∵，，;
∴；∴
∴；∴；又为的内角;∴；
（2）∵成等比数列，∴，
由正弦定理知：；又且，即，
∴;∴；∴；∴
变式2：已知A、B、C是的三个内角，a，b，c为其对应边，
向量
（1）求角A；(2）若
解：（1） 　

（2）由正弦定理，得故
.、C为的内角，又为正三角形.

课后练习
1．已知，则的值是( C ）
A． B． C． D．
2．函数的最小值和最大值分别为（ C ）
A．， B．， C．， D．，
3．下列函数中，最小正周期是，且图象关于直线对称的是( B )
A． B． C． D．
4．函数的一个减区间为 ( C ）
A. B. C。 D。
5．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ D )
A 向右平移个单位 B 向右平移个单位C 向左平移个单位 D向右平移个单位
6．已知函数,则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是( D ）
A．T=2π,一条对称轴方程为 B．T=2π,一条对称轴方程为
C．T=π，一条对称轴方程为 D．T=π，一条对称轴方程为
7．若，则的值为
8．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则
9．设，则函数的最小值为
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A,B,C所对的边，已知 则A＝
11．已知的面积为。
（1）求的值；（2)求的值.
解：(1）∵， ①
又∵，∴。 ②
由①、②得。
（2）

12．求值:
解：原式＝＝＝
13. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c。已知，求：
（1)A的大小；（2)的值.
解：(1)
（2）

14．已知函数（）的最小正周期为
（1)求的值;（2）求函数在区间上的取值范围
解:（1）
．
因为函数的最小正周期为，且,所以，解得．
（2）由(1)得．因为，所以，所以．因此，
即的取值范围为．
15．已知函数
（1）将函数化简成的形式，
并指出的周期；
（2）求函数上的最大值和最小值.
解:(1)f（x)=sinx+。
故f（x）的周期为2kπ{k∈Z且k≠0}.
（2）由π≤x≤π,得.因为f（x)＝在[］上是减函数,在［］上是增函数。故当x=时，f（x）有最小值－；而f(π)=－2，f（π）＝－＜－2,所以当x=π时，f（x)有最大值－2。