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课时作业2 平面对量、复数、算法初步
时间：45分钟
一、选择题
1．(2022·山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：由已知得，a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i，选D.
答案：D
2．(2022·新课标卷Ⅰ)＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：＝＝－1－i，故选D.
答案：D
3．(2022·安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：＋i＝＋i(1－i)＝1－i＋i＋1＝2.
答案：C
4．(2022·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．
答案：B
5．(2022·大纲卷)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：由题意得：(a＋b)·a＝0，(2a＋b)·b＝0，即a·b＋a2＝0,2a·b＋b2＝0，又|a|＝1，∴a·b＝－1，从而b2＝2，∴|b|＝.
答案：B
6．(2022·四川卷)平面对量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：由题意得：＝⇒＝⇒＝⇒m＝2，选D.
答案：D
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：∵·＝1，且AB＝2，
∴1＝||||cos(π－B)，∴||cosB＝－.
在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|·cosB，即9＝4＋|BC|2－2×2×.∴|BC|＝.
答案：A
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．假如输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：若n＝3，则输出S＝7；若n＝4，则输出S＝15，符合题意．故选B.
答案：B
9．(2022·湖南卷)执行如图所示的程序框图，假如输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
解析：由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2,6]．因此输出S的值属于[－3,6]．
答案：D
10．(2022·四川卷)执行如图所示的程序框图，假如输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：依据程序框图给出的流程求解．
当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1，当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.
答案：C
11．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：由题意可画出下边的图示，在平行四边形OABC中，
由于∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠AOB＝30°，即AB⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：B
12．(2022·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面对量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析：利用平面对量的平行四边形法则，作出a＋b，a－b，再比较模的大小．
由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错．当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.
答案：D
二、填空题
13．(2022·江苏卷)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析：由题意z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其实部为21.
答案：21
14．(2022·四川卷)复数＝________.
解析：＝＝－2i.
答案：－2i
15．(2022·北京卷)复数()2＝________.
解析：复数＝＝＝i，故()2＝i2＝－1.
答案：－1
16．(2022·辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________.
解析：先读出程序框图的功能，再结合实数的运算进行求解．
x＝9，y＝＋2＝5，|y－x|＝|5－9|＝4<1不成立；
x＝5，y＝＋2＝，|y－x|＝＝<1不成立；
x＝，y＝＋2＝，|y－x|＝＝<1成立，输出y＝.
答案：
17．(2022·新课标卷Ⅰ)已知A，B，C是圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
解析：∵＝(＋)，∴圆心O是线段BC的中点，即BC是⊙O的直径，所以∠BAC＝90°，即与的夹角是90°.
答案：90°
18．(2022·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
解析：∵|a|＝
＝＝3，
|b|＝＝＝2，
∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e
＝9－9×1×1×＋2＝8，
∴cosβ＝＝.
答案：
19．(2022·江苏卷)
如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
解析：＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－·－2，即2＝25－·－×64，解得·＝22.
答案：22
20．(2022·湖北卷)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)，(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.
解析：取a1＝815，通过循环结构逐一求解a，b的值，直到a＝b时，停止循环，留意对新定义的理解．
取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；
由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；
由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；
由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.
答案：495
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