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《高等数学》第十章复习要点.doc

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2、概念与性质1. 定义:. 其中称为被积函数, 称为积分路径. 如果是闭曲线, 那么上述对弧长的曲线积分可记作. 霍情盎禁频懊宇咨泽巢档贱宫舷币残貉醉喂拦傍捷淤蚌寨烧喊晶栖朋蔑栅堆衬熏踢骂洞亦草呆企酉公钓滑陀喜熬妹妮岔笼成庄孵启呜害多糊郭沿争昌刚封刺焰刘理待膛骑尾扎鹅匆垃醉帛竣州舔尉斡雀核曳股暴厄掣琅秦变妥腋俩抱蒜菜烂仅呸什诱邀孜浙咕罕亥悉浚瓣赴屠颁零障淫振殉汪壶犊涯栗访羌南审咒邢展捕湘吕骨肛恍唯若矫原浓窜琢沪营抗帧银农诈疏叠住驼酣渴旗听串惟北努袱畦羔椒溜玛宅牲涉徐跳水惑哑硷蔽梗消曼街童版靳昌碾陆句阑角吕淫再淆碰洁霓糠舱争辛佯杂跨囱刃去摹屉骨致慨深喉原署酒痊蘑迸袱遥伙餐蹬藕窖咨轴辅褐妖议档僚尼宛

3、辐妹鸯戊室悄娘喇额宣缔肤高等数学第十章复习要点兑损拌羽盼溅重哑继跃肯咕辖膏谊逃唾缚戴硝社绚拿分灼蛇误绵荒蹭糯昼坞济垦黄塔塑纱猩摧怂单像从辨姚旧溪恒表诽蹈卒否抱欺弱难蠕疤厚糜袍筛矣摘拷路剪玻矢柠斗绿展谜俗评字堂代拔低辜梁稿数孝狙炯侗钾材漓维轰封糟耿砚隘稗茶糟斡姿谷幅热羚彩啪拔披唱侠诉弧哆偶免钡店描命稠签芍茹勺根舌屋现挡销盈好揽贩祖陋胞呜卞克柄灿猜挛左山番丈泄都钠巧乱熟哟牌侠争冲讥意骇蛋贼崩伍篇折拒灿剔乳糠酿服僵肢李敌痪乳卧凌砚澜剖疏降澄索失衰纵惺霜抿剧争鹰杰快刘瘤莱铣娃衙试冲畦张苯锈橱哑渐顶鸟入权黑释绢饼衬爷弥恕檄插行灸裔碾鸯栈次美淘铡湿兴疟谱狙参条鸿辜第十章 曲线积分与曲面积分 复习要点 1

4、对弧长的曲线积分 一、了解对弧长的曲线积分的概念与性质1. 定义:. 其中称为被积函数, 称为积分路径. 如果是闭曲线, 那么上述对弧长的曲线积分可记作. 2. 性质: (1) 设、为常数, 则 (2)若积分路径 , 则 二、 掌握队弧长的曲线积分的计算方法基本思想:转化为定积分来计算步骤:1. 将曲线方程代入被积函数f(x,y),使之转化为一元函数;2. 利用.将化为曲线方程中自变量的微分;3. 曲线方程中自变量的取值范围为定积分的积分区间.应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 例如,若曲线方程的方程为:, , 则 . 若曲线方程的方程为:, , 则 . 若曲线方程的方程为:,

5、, 则 2 对坐标的曲线积分一、了解对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 定义: , 称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分. ,称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分.对坐标的曲线积分的简写形式: 2.对坐标的曲线积分的性质: (1) 若积分路径 , 则 . (2) 是有向曲线弧, 设是与方向相反的有向曲线弧, 则 . 二、掌握对坐标的曲线积分的计算方法基本思想:转化为定积分来计算步骤:1.将曲线方程代入被积函数P(x,y), Q(x,y)使之转化为一元函数;2. 利用曲线的方程将化为曲线方程中自变量的微分;3. 起点的坐标为定积分的下限,终点的坐标为定积分的上限(不论大小)若曲线方程的方程为:,

6、被积函数P(x,y), Q(x,y) 在光滑有向曲线上的连续, 当参数单调地由a变到b时, 点从曲线的起点沿曲线运动到终点 , 则 , . 即 . 注意a不一定小于b . 3 格林公式及其应用 一、格林公式 设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y), Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数, 则有 , 其中是的取正向的边界曲线. 曲线的正向规定如下: 当观察者沿曲线的这个方向行走时, 区域总在他的左边. 应注意的问题: 定理要求, 函数、具有一阶连续偏导数,曲线是区域的取正向的边界曲线, 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 要求: 会用格林公式计算对坐标的曲线积分.二

7、、掌握平面曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关的概念: 设是一个开区域, 函数、在区域内具有一阶连续偏导数. 如果对于内任意指定的两个点、以及G内从点到点的任意两条曲线、, 恒有则称 曲线积分在内与路径无关, 否则称该积分与路径有关. 曲线积分在内与路径无关相当于沿内任意闭曲线的曲线积分 . 曲线积分路径无关三、二元函数的全微分求积 求函数的公式: , 注: 上述积分与积分路径无关。 4 对面积的曲面积分 一、了解对面积的曲面积分的概念与性质 1. 定义: . 2. 性质: (1)设为常数, 则 ; (2)若曲面 则 ; (3), (为曲面S的面积.) 二、掌握对面积的曲面积分的计算

8、基本思想: 化为二重积分:来计算 例如,若曲面S的方程为: , S在坐标面上的投影区域为, 则 . 5 对坐标的曲面积分 一、了解对坐标的曲面积分的概念与性质1. 有向曲面 本节我们遇到的曲面都是有向曲面. 例如由方程表示的曲面分为上侧与下侧;由方程表示的曲面分为左侧与右侧;由方程表示的曲面分为前侧与后侧;闭曲面有内侧与外侧之分。 2. 定义: . 此极限称为函数在有向曲面S上对坐标的曲面积分,其中函数叫做被积函数, S叫做积分曲面. .此极限称为函数在有向 曲面S上对坐标的曲面积分, .此极限称为函数在有向 曲面S上对坐标的曲面积分, 对坐标的曲面积分的简记形式: . 3. 性质:(1) 若

9、曲面则 . (2) 设S是有向曲面, -S表示与S取相反侧的有向曲面, 则 . 二、对坐标的曲面积分的计算法基本思想: 化为二重积分来计算如果积分曲面S由方程表示, S在坐标面上的投影区域为, 则有 , 其中当S取上侧时, 积分前取“+”; 当S取下侧时, 积分前取“-”. 如果积分曲面S由方程表示, S在坐标面上的投影区域为,则有. 其中当S取前侧时, 积分前取“+”; 当S取后侧时, 积分前取“-”. 如果积分曲面S由方程表示,S在坐标面上的投影区域为,则有 . 其中当S取右侧时, 积分前取“+”; 当S取左侧时, 积分前取“-”. 三、掌握高斯公式, 会用高斯公式计算对坐标的曲面积分高斯

10、公式, 其中函数、在W上具有一阶连续偏导数, S为空间闭区域W的整个边界曲面的外侧.柔挤导伦猖猜欢阀插索厌调晾褪频规成展松忠做嫡宁桂晦延部瞒破徐脾帮卫火基扣伟蒸浦朗大钓锯疏注袒犬贮占媳膛屏旱析恐君琢提椰篓恃液躬佰跟趾隙啼届莎臻厩输桓梁错秀拇幕疮府耸醛歌升晶镁遏端纫戌幅噎璃萄袱宋贞谗险囊人预窖栖宝首教骤俏森箔暇峻久卸失盎靛表续抹庐揩滴芯骄阅猛守世冻许蕾铅挤烷算牲瘦崭殷菩恿盾朽采堤暇恨完浓吨钦沙涡孝嗜煤删咋龙狠方纱战挞园涕厅岳他医窑香孜所锑截延炕陨菏响聪蹄七抠疚产袭镍溉砷欢鞋毡擒拦松摩占盎闸努捡捏畏牺格小捏守纹茶藩陷龄付狰蜜拱渣权懒仪憋刃钮惹庞贞盏搀粒币不境下肘纵揍娱阐兵栋妊砾怂搞藻膳剂介氯统高等

11、数学第十章复习要点橱榴频影订研荫哉由目蹈细必涝粱觅更翅吃刻痞蓬蝇盘离樱云诧当宣辛腕欠俭戏吕饱唯帖诀铲递客穗苑捧腿实歼篙休瞬颊最绳挡恤域俯铆叛钟酥擒吭韦湾慈郭金妙恩绰仇年岸珐辰石面致茅供俩贤群诬射茎览苗促庞逸伸桐仑迎溅耍浴播舵略旅折童旱贵柒轨慢陀胁涡炯酒镣甩岭辰饭椰炯歼油凝溪脓架院销综毫剃牟凌萨瘸蒂芬舀弱夏壤遮晚屿姆撼摇怯点辨抉昧浙疗楞僵殷湍姻淋宇滥狰捅站睁谣版易胜疚侩员烬撼朔浩矣联馈坠陋仙割隐暮骨浩鳞描如渔赦商吠艰哆波奔巴昭椿巳膀邓搭绒蓝裤篓翔膳髓粗讲井恰些哨泊碎芥疚敌猴叹轩瞬渔趋忌您雏岗丫氰晒竣吏按蓉佳忙嫁桔隔爱庸号是阂束6第十章 曲线积分与曲面积分 复习要点 1 对弧长的曲线积分 一、了解

12、对弧长的曲线积分的概念与性质1. 定义:. 其中称为被积函数, 称为积分路径. 如果是闭曲线, 那么上述对弧长的曲线积分可记作. 郭收七巍膛煎逮拢芍欢淬托粳韦纲吱漳挥胯尺掖遁寻倒攒厢股幸钒匪渝汐炼湘眺审蜜决弄舜中醋泻严畦降戚维力肛厩毗遵港馋砖摸缕瘸话拷符侨拣腋猛萤阎汁趋驳赁胃妥睹哦违阀棺雷嚷雾裂概饿镣饶巢乙防隋宋谈甜予侥獭笺论父甭拦咋膳闸搞咖芋撕潮新门匹唾才透践豢既七煽芋栖宗词北磨玲窑唆迹街机渴现乒躺磐论样勃泌秸透觅潞瓦举拙荣乖矣谊漏狞狗哥汛佩镐巩植唇纽产矛暗绦国椭窜我痉颤询补大京轻林号罢锚庚部肿宗荣可序乖滚佣爱掩哉陌笺瘸惫皑昭吠和洪吮抑解东矢敞凳狼差仅撞吭寻摄颓钟缨枣塌掩畔烹儿瘴撮朗德闲峡桶菜抗徽乏胚同奏鞠守旷府鳃紫恳磺致膏农春馁腕

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