1、抛物线及其标准方程 岳阳市十三中 任洋琪教学目标: 1.能从抛物线的画法中抽象出其几何特征,并掌握抛物线的定义; 2.会合理建系推导出抛物线的方程;掌握抛物线标准方程的四种形式; 3.会根据所给条件求出抛物线的标准方程,会求抛物线的焦点坐标和准线方程。教学重点 抛物线的定义及标准方程教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)教学过程一、课题引入 在初中,我们学习了二次函数,知道二次函数的图像是抛物线,那么到底什么样的曲线是抛物线?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?这就是我们今天要研究的内容。 二、新课讲授如图所示,把一根直尺固定在图上直线的位置,把一块
2、三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F,用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征?可以发现这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线的距离相等.再把图板绕点F旋转90,曲线即为初中见过的抛物线. 1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.若“直线经过点F”,M的轨迹又是什么
3、呢?(过F且与垂直的直线) 从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?大家先回忆一下一般求曲线方程的步骤.1. 建系,设点;2.写出适合x,y的方程;3.列方程;4.化简;5.(证明) 根据抛物线定义,知道F是定点,是定直线,从而F到的距离为定值,设为p,则p是大于0的数.要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系。我们知道抛物线当顶点在原点时,方程最简单,取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如右图所示,则有F(,0),的方程为.设动点M(x,y),由抛
4、物线定义得:化简得y2=2px(p0)2.抛物线的标准方程 把方程叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是,准线方程是,p为焦点到准线的距离。一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其它形式.3.四种抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程方程的特点:(1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置. 一次项的系数决定开口方向4.例题讲解例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) (2)小结:已知抛物线求焦点坐标和准线方程,化成标准方程判断开口方向 确定焦点位置(由P的值) 写出焦点坐标及准线方程例2:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:(1) 焦点是F(-2,0)(2) 过点A(-3,2)小结:求标准方程的方法:待定系数法,先定位后定量,(2)中用到数形结合和分类讨论思想思考:已知点P与点F(2,0)的距离比它到直线的距离小1,求点P的轨迹方程5.课堂小结1、抛物线的定义2、抛物线的标准方程与它的焦点和准线3、注重数形结合的思想4、注重分类讨论的思想2 / 2