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(完整版)必修二数学期末复习材料
必修二
（一)多面体和旋转体
1．多面体和旋转体的概念
（1）棱柱：有两个面 ,其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面围成的多面体叫做棱柱．
（2）棱锥：有一个面是 ，其余各面都是 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（3）棱台：用一个 去截棱锥,底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．
（4）圆柱：以 为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
（5)圆锥：以 为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
(6）圆台:①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。②圆台还可以看成是以 为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
（7)球:以 为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球．
2．多面体和旋转体的面积和体积公式
（1）圆柱的侧面积： ;
(2）圆锥的侧面积: ；
（3）圆台的侧面积： ；
（4）球的表面积： ；
（5）柱体的体积： ；
（6)锥体的体积： ;
（7)台体的体积： ；
（8）球的体积： .
(二）画法
1．我们把 形成的投影,叫做中心投影，中心投影的投影线 ．
2．我们把 形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是 ．
在平行投影中,投影线正对着投影面时，叫做 ,否则叫做 ．
3．光线从几何体的 ,得到投影图叫做几何体的主视图；光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的左视图;光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的主视图、左视图和俯视图统称为几何体的三视图．
一般地，一个几何体的左视图和主视图 一样，俯视图与正视图 一样，侧视图与俯视图 一样．
一般地，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边．
4．斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取 的x轴和y轴，两轴交于点O．画直观图时,把它们画成对应的轴与轴,两轴交于点，且使 （或 ），它们确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中 于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 于轴或轴的线段．
（3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，长度为 ．
(三)点线面位置关系
1．四个公理
公理1　如果一条直线上的 ，那么这条直线在此平面内；
公理2　过 ，有且只有一个平面；
公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点
那么它们 过
该点的公共直线；
公理4　 的两条直线互相平行;
2．异面直线
（1）我们把 的两条直线叫做异面直线．
（2)空间两条直线的位置关系：
(3）已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线∥a，∥b,我们把与所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角 ．
3．空间中直线与平面之间的位置关系:
（1) ——有无数个公共点；
（2） --有且只有一个公共点；
（3) -—没有公共点；
直线与平面 的情况统称为直线在平面外．
4．平面与平面之间的位置关系：
（1） ——没有公共点;
（2） ——有一条公共直线．
（四)平行问题
1．定义: ，则称此直线l与平面α平面,记作 ；
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与 平行，则该直线与此平面平行；
用符号表示： ．
2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过 与该直线平行;
用符号表示： ．
3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的
另一个平面平行，则这两个平面平行；
用符号表示：
几个结论:
①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行;
③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；
4．平面与平面平行的性质定理：
;
且符号表示： ．
5．直线与平面垂直的性质定理：
用符号表示： ．
（五）垂直问题
1．定义：如果直线l和平面α内的 都垂直，那么直线l和平面α垂直，记作 ．
2．直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．
用符号表示：
3．直线与平面垂直的性质定理： ．
用符号表示： ．
4．平面与平面垂直的判定定理：

用符号表示： ．
5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：
．
几个结论：
①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线必垂直于第三个平面;
②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
．
（七）直线的概念与方程
1、直线倾斜角的概念：当直线与x轴相交时,我们取 为基准， x轴的 与直线 所成的角叫做直线的倾斜角。并规定：直线与x轴 时,它的倾斜角为。直线的倾斜角的取值范围是 。
2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示.直线倾斜角与斜率k的关系式为 .当k= 时，直线平行于x轴或者与x轴重合;当k 0时，直线的倾斜角为锐角;当k<0时，直线的倾斜角为 ;倾斜角为 的直线没有斜率。
3、两点斜率公式 ：直线上两点A(，）,B(，）,当=时,直线的斜率 ，
当时，直线的斜率为.
4、直线方程的点斜式：设直线经过点，且斜率为，则方程 称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为
5、直线方程的斜截式:直线方程由直线的斜率和它在轴上的截距b确定,所以方程被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.
6、直线方程的两点式：已知经过两点的直线方程为称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0。
7、直线方程的截距式直线在 上的截距为a,在
上的截距为b，则直线方程 称为直线方程的截距式。应用截距式的前提有斜率存在且不为0，还要求直线不能过原点.
8、直线方程的一般式：二元一次方程表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当时，可变形为 ，它表示一条斜率为 且在y轴上截距为 的直线；
（八）直线的关系和距离
1、直线平行的条件: 两条不重合的直线， 根据两条直线平行的定义及性质可知//，再由k与的关系可知：时 或者均 ;反之或者均不存在时两条直线平行。
考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。
2、直线垂直的条件:两条直线的倾斜角为则两条直线 。根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类，一是:其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 ；二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 。
3、直线,直线,重合的条件是：
平行的条件是 .
垂直的条件是： 。
4、两条直线交点的求法：直线,直线。两条直线相交的条件是 ，直线的交点的坐标为方

程组 的解。
5、两点间的距离公式：平面内任意两点A,B之间的距离为｜AB|= ，
当时｜AB|= ；
当时|AB｜= .
6、点到直线的距离公式 :平面内任意一点P到任意一条直线的距离为 ,特别的,当B=0时 ，当A=0时 .
7、两平行线的距离：直线与平行,则 。
（九）圆的方程
1.圆的标准方程的意义
当圆心位置和半径的大小确定后,圆就唯一确定了,根据圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程 ，圆心 ，半径r （r>0)，所以判断点与圆的位置关系，只需判断 与半径的大小关系即可。
2.圆的一般方程
方程，则可变形为
，只有当
时，才表示圆，圆心（ )，半径 ，当＝ 时，表示点( ）,若0, 。
（十）直线和圆圆和圆位置关系
1。点和圆的位置关系
①点到圆心距离 半径，点在圆上；
②点到圆心的距离 半径，点在圆内；
③点到圆心的距离 半径，点在圆外。
2。直线与圆有三种位置关系
①直线与圆 ,有两个公共点；
②直线与圆 ，只有一个公共点；
③直线与圆 ，没有公共点;
3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为,若 ,直线与圆相交；
若 ,直线与圆相切;
若 ，直线与圆相离.
②直线与圆的方程组成方程组，
若方程组有 解，则直线与圆相交；
若方程组有 解,则直线与圆相切；
若方程组 解，则直线与圆相离。
4. 判断圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为,两圆的圆心距为,则
时，两圆外离；
时,两圆外切;
时，两圆相交；
时，两圆内切；
时,两圆内含。

单元测试一 空间几何体
一、选择题(每题4分,共32分）
1、下面关于平面的说法中正确的是（ ）
A。平行四边形是一个平面； B.平面是有边界线的;C。平面有的厚有的薄; D.平面是无限延展的。
2、一条直线平行移动，生成的面一定是（ ）A。平面 B。曲面 C。平面或曲面 D.锥面
3、在三棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有（ )A。 1个 B. 2个 C. 3个 D。 4个
4、两条相交直线的平行投影是 ( ）
A．两条相交直线 B．一条直线 C．一条折线 D．两条相交直线或一条直线
5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ）
A.棱台 B.棱锥 C。棱柱 D。都不对

主视图 左视图 俯视图

6、下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A B C D
7．棱长为1的正三棱锥的表面积是（ ）
A。 B。 2 C. 3 D.
8。设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的体积为( ）
A 6 B C 2 D 2

二、填空题（每题8分,共48分)
9、画三视图的原则: ， ， 。
注意：在三视图被挡住的轮廓线画成 线。
10、直棱柱的侧面积等于它的 和 的乘积。
正棱锥的侧面积等于它的 和 的乘积的一半。
正棱台的侧面积等于它的 和 的乘积的一半.
球的表面积等于它的大圆面积的 。
11、棱柱的体积等于它的 和 的乘积。
棱锥的体积等于它的 和 的乘积的三分之一。
球的体积等于 。
12、若三棱锥的三个侧面及底面都是边长为a的正三角形，则这个三棱锥的高是________;
13、一个长方体的长、宽、高分别为5、4、3,求它的表面积 .
14、根据下图所示的是一些立体图形的三视图，请说出立体图形的名称。 ，

(1）

主视图 左视图 俯视图
(2)

主视图 左视图 俯视图
三、解答题（共20分）
15、已知正四棱锥底面正方形长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积、全面积和体积.

单元测试二 点、线、面之间的位置关系
一、选择题 （每题6分，共30分）
1. 下列结论正确的是（ 　）
A。若两个角相等,则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内
C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
2. 下面三个命题， 其中正确的个数是( ）
①三条相互平行的直线必共面;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角,则这个四边形是圆的内接四边形
A。 1个 B。 2个 C。 3个 D. 一个也不正确
3。如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是( )
A。平行 B.相交 C。平行或相交
4。空间两个角α、β, α与β的两边对应平行， 且α＝600, 则β等( 　）
A。 60° B。 120° C. 30° D。 60°或120°
5。若空间四边形的对角线相等，则以它的四条边的中点为顶点的四边形是(　）
A.空间四边形 B。菱形 C.正方形 D.梯形
二、判断题(每题4分,共40分)
6.如果两个平面相交，那么它们就没有公共点 （ ）
7.分别在两个平行平面内的两条直线平行 （ ）
8如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（ ）
9如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（ ）
10如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行（ ）
11在空间中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ( ）
12如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线于这个平面内任何直线垂直. （ ）
13一条直线垂直于平面内两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面。 （ ）
14一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面。 ( ）
15垂直于同一平面的两条直线平行. （ ）
16如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直( )
三、证明题（17题10分，18题20分,共30分）
17。已知：如图,空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC,CD，DA的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形。

18． 如图,空间四面体中,平面,。
（1）试写出图中所有的线面垂直及面面垂直；
（2)过点做是垂足，求证：平面；
(3）在(2)的前提下,过点做是垂足,求证：

单元测试三 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程
一、选择题(每题6分，共30分）
1、下列说法中正确的是( ）
A、零向量有确定的方向; B、数轴上等长的向量叫做相等的向量；C、AB=—BA Ｄ、|AB｜=BA
2.过点P（1,-2）和Q（5，—2）的直线的斜率等于为 ( )
A。1 B.0 C.1或3 D.1或4
3。已知直线的方程是，则 （ ）
A. 直线经过点(2,－1），斜率为－1 B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C. 直线经过点（－2，－1)，斜率为1 D。直线经过点（－1，－2),斜率为－1
4.斜率为－3，在y轴上的截距为-6的直线的一般式方程是 （ ）
A. B. C。 D。
5。直线与的位置关系是 （ ）
A。平行 B。不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合
二、填空题(每空5分，共50分）
6.已知数轴上两点A（—2),B(5),则= ， = ，BA=
7.P（-4,3)关于x轴的对称点是 ,关于y轴的对称点是 ，
关于原点的对称点是 , 关于直线y=x的对称点是
8.求过点P(2，3）且平行于直线2x+y—5=0的直线的方程_____ ____.
9.求过点（2，3）且垂直于直线x-y-2=0的直线方程__ _______。
10。A(-2,3)到直线 3x+4y+3=0的距离为_____.
三、解答题（每问4分，共20分）
11. 求下列两点的距离及线段中点的坐标
（1） A （-1,—2）， B （—3,-4) (2） C (—2,1）， D (5，2)

12求适合下列条件的直线方程:
（1)斜率为3,且经过点（5,3） （2)斜率为4，在y轴上的截距为-2

（3)在x，y轴上的截距分别为-3，-1

单元测试四 圆的方程和空间直角坐标系
一、选择题（每题8分，共40分)
1.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A （1，-1），2 B (-1，1), C （—1,1）,2 D （1,-1),
2。设有圆:。直线：，点（2，1），那么( )
A 点在直线上，但不在圆上。 B点在圆上，但不在直线上。
C 点在圆上，也在直线上。 D 点既不在圆上,也不在直线上
3。半径为 且通过点 与的圆的圆心坐标为 ( ）
B C D
4.已知圆心 ，且与 轴相切,则该圆方程是（ )
A B C。 D
5．点（3，0,2）位于 。A。x轴上 B.y轴上 C.平面内 D.平面内
二、填空题(共40分，每小题8分)
6。 圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为 .
7。圆⊙：，与圆⊙：的位置关系是 。
8。 已知圆，求过点的切线方程 。
9。 已知点A ， B(） 则AB的中点坐标为
10。 点A（2，1，3)，B（3，5，3）两点之间的距离是
三、解答题（共20分）
11. 以C（1，3）为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆.