数学竞赛中的椭圆问题.doc

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数学竞赛中的椭圆问题
韩保席
江苏省吴江市高级中学(215200）
例1(2000年全国高中数学联赛） 在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
O
A
F
B

图1
分析：的三边可用、、来表示，再用余弦
定理或勾股定理来求角。
解：由得，即. 如
图1有：，，而
，易见,故∠ABF=90°。
评注：本题着眼于考查椭圆的基本量在图中的表示.

例2（1997年全国高中数学联赛)在平面直角坐标系中，若方程
表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为（ ）
A．（0,1） B．（1,+ C．（0，5） D．(5，+
分析：如果把表达式配方成椭圆标准式，由于含有项，需要对坐标轴进行旋转,而利用第二定义可以直接解决这一问题.
解：由可得：，也即：
，此式表示的是点到定点的距离与到定直线的距离之比为，由第二定义及椭圆的离心率范围得：，即。

O
P
F1
B

图2
F2
例3（第12届希望杯高二试题）设是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆离心率的取值范围是： .
分析：可先利用余弦定理和均值不等式判定P点位于短
轴顶点B时最大，于是。
解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为:、、
如图2：在中,，即. 这时，又椭圆离心率小于1，故所求的范围是.
O
A
P
B

图3
例4（2002年全国高中数学联赛）直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得△的面积等于3．这样的点共有( ）
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
　　分析：作图后可以发现,若△的面
积为3，则到的距离为即可.
解:如图3，若在直线上方，设，则到直线的距离：,化简得:舍去. ∴点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点。
评注：恰当地利用椭圆的参数方程，可以使解题过程简明扼要.
O
A
B

图4
C
F2
例5（1996年上海市高中数学竞赛)连结椭圆的右焦点与椭圆上的动点A，作正方形（、、、按顺时针排列）。 则当点A沿椭圆运动一周后，动点C的轨迹方程是: .
分析：如图4,C点可以看成是由绕点顺时针旋转90°后
得到的. 故用向量法，可方便解决。
解：设,易知则
,所以，
,令则消去参数有.
评注:在解几中利用向量这一崭新有力的工具,可以减少推理过程,有效地降低思维量。

A
B
N
M
F
图5
例6（1999年全国高中数学联赛题）给定已知B是椭圆上的动点,F是左焦点，当|BA｜+|BF|取得最小值时，求B点坐标。
分析：如果设B的坐标，用距离公式求|BA｜+｜BF|，
则计算相当繁琐，而如果利用椭圆的第二定义把|BF|转
化为B点到准线的距离就简单的多.
解：由题意得,,. ,左准线为 过B点作左准线的垂线，垂足为点，再过点作左准线的垂线，垂足为点。 由椭圆的第二定义得：｜｜= 于是：｜|+｜｜=|｜+｜｜≥|｜≥|｜（|｜长为定值). 当且仅当点是线段与椭圆左面交点时等号成立. 这时：可解得的坐标为（，2）。
评注：在解决二次曲线问题时,第二定义的巧妙应用可以化繁为简，减少运算量。