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中山市2007年中考第一次模拟考试
数 学 试 卷
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母写在题目后面的括号内。
1．下列计算正确的是（ ）
A．　　　 B．　　　 C．　　 D．
2．世界文化遗产长城总长约6 700 000米，用科学计数法可表示为（ ）

（第3题）
A．6.7×105米 B．6.7×10－5米
C．6.7×106米 D．6.7×10－6米
3．如图，是跷跷板示意图，横板绕中点上下转动，立柱
与地面垂直，当横板的端着地时，测得，
则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．已知圆锥的侧面积为10πcm2,侧面展开图的圆心角为36º，则该圆锥的母线长为（　　　）
A．100cm B．10cm C．cm D．cm
5．桌子上摆放着若干个碟子，从三个方向上看，三种视图如下，则桌子上共有碟子（ ）

俯视图 主视图 左视图
A．8个 B．10个 C． 12个 D．14个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请把下列各题的正确答案填写在横线上。
6．函数中，自变量的取值范围是____________．
7．分解因式＝____________．
8. 一个多边形的每个外角都等于30°，这个多边形的内角和为_________度．
9．如图，直过原点的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（0°＜≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是 ______________．
10．在直角坐标系中，⊙O的圆心在圆点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标
为（－，1），半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系为_______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
11．解方程：．

12．求不等式5（x－2）＋8<6（x－1）＋7的最小整数解．

13．已知一直线y＝kx+b与一反比例函数的图象交于点（2，3），求该直线与x轴、y轴所围成的三角形的面积．

14．小明家阳台地面上，水平铺设黑白颜色相间的18块方砖（如图），他从房间向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上。
（1）求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；
（2）要使停留在黑色方砖和白色方砖上的概率相等，应怎样改变方砖的颜色？
第14题图

15．如图，△ABC中，∠ABC =45°，AD⊥BC 于D，点E在AD上，且DE＝CD．
求证：BE＝AC．

四、解答题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
16．某区对一次模拟考试的4000名学生的数学成绩进行抽样调查.抽取了部分学生的数学成绩进行统计，绘制成频数统计图如下（注：本次考试学生的卷面成绩都是整数，例如左边第一个矩形表示成绩从60分到71分的人数）．已知从左到右五个小组的频数之比依次是6∶7∶11∶4∶2，第五小组的频数为40．问：
（1）本次调查共抽取了多少名学生的成绩？
（2）若大于或等于96分为优秀，那么抽取的学生中，优秀的人数占所抽取的学生数的百分之几？
（3）若大于或等于72分为及格，那么4000名学生中，及格的人数大约是多少？

17．已知关于x的方程mx2＋2（m＋1）x＋m=0有两个实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的平方和为6，求m的值。

18．某家电商场为了促销某种品牌的彩电，决定在今年五一节当天，顾客购买该品牌彩电可分两次付款，在购买时先付一部分，余下部分及它的利息（年利率为5．6％）在明年五一节付清，该彩电每台售价8224元，若要求每次付款相同，问每次应付款多少元？

19．某商场门前的台阶截面积如图所示。已知每级台阶的宽度（如CD）均为0．3m，高度（如BE）均为0.2m。现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离（精确到0.1m）．

五、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD、CD、CE，且∠BDA＝60º．
（1）求证：△BDE是等边三角形．
（2）若∠BDC＝120º，猜想四边形BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想．

21．如图，在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．
图（1）
图（2）

小敏说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等. 通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m．小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同．
（1）你认为小敏的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明．

22．已知在平面直角坐标系中点C和点D的坐标分别是C(0，2)，D(4，6)，在x轴上有一点A，它到点C、点D的距离之和最小．
(1) 求点A的坐标．
(2) 求过C、A、D的抛物线的解析式．
(3) 把(2)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点?
中山市2007年中考第一次模拟考试
数学试卷参考答案
一、1.D 2. C 3. B 4.A 5.C
二、6. 7. 2(x－2y)(x＋2y) 8. 1 800 9. 平行四边形 10. 内切
三、解答题
11．x = 2
12．解：解不等式得x＞－3 ……………………………………………………（4分）
所以最小整数解为－2 ……………………………………………………（6分）
13. 解：依题意，点（2，3）在的图象上，∴3＝，∴k＝6. ……（1分）
又∵点（2，3）在y＝kx+b的图象上，
∴3＝2k＋b，∴b＝3－2k＝3－2×6＝－9.∴y＝6x－9. ……………………（3分）
当x＝0时，y＝－9；当y＝0时，.
∵该函数图象与x轴、y轴分别交于点（）和（0，－9）………………（5分）
∴y＝6x－9与x轴、y轴所围成图形面积为 …………………（6分）
14．解：（1）P(黑砖)= ，（2分）P(白砖)= （2分）
（2）将其中一块黑砖改为白砖即可（2分）
15．先说明AD=BD，再证明△ADC≌△BDE即可。
16．解：（1）设第五组的人数为2x，则2x＝40，x＝20，
∴（6＋7＋11＋4＋2）x ＝600 ………………………………………………（2分）
（2）优秀生的百分比（4＋2）÷（6＋7＋11＋4＋2）= 20% …………………（4分）
（3）样本的及格率＝（7＋11＋4＋2）÷（6＋7＋11＋4＋2）＝80% …………（6分）
∴ 4 000名学生中及格人数约为 4 000×80%＝3 200 ………………………（7分）
17．（1）m ≠ 0 且 △≥0，可得m ≥ (3分)（遗漏m ≠ 0扣1分，没有等号扣1分）
(2) 利用韦达定理可得 m = 1± …………………………………………（4分）
18．解：设每次应付款x元…………………………………………………………（1分）
则（8224－x）（1＋5.6％）＝x ………………………………………………（4分）
解得x ＝ 4224 …………………………………………………………………（6分）
答：每次应付款4224元。 ……………………………………………………（7分）
19．解： 由条件得CD = 0.8m，BC = 0.9m ………………………………………(2分)
在Rt△CAD中，，∴（m）……………………(5分)
∴（m）…………………………………(6分)
答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为3.9m． ………………………………(7分)
（注意：此题图形中斜坡应该是连接AD，如果学生从最高一级台阶边缘添加辅促线算出结果为4.2米也对）
五、解答题
20．（1）证明:∵∠BCA和∠BDA都是弧AB所对的圆周角，
∴∠BCA＝∠BDA＝600 ………………………………………………………………………(1分)
又∵∠BED＝∠BAD＋∠ABE，………………………………………………………………(2分)
AE、BE分别是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BAE＋∠ABE＝ …………………(4分)
∴∠BED＝600，∴△BDE是等边三角形 …………………………………………………(5分)
（2）四边形BDCE是菱形，这是因为∠BDC＝1200,由（1）可得∠EDC＝600,
∵∠BED＝600，同（1）可推出∠BEC＝1200，
∴△DCE是等边三角形， ………………………………………………………………… (7分)
∴CE=CD=DE，由（1）知△BDE是等边三角形，易得BE＝BD＝DE,
∴CE＝BE＝BD＝CD, 四边形BDCE是菱形。………………………………………………(9分)
21．解:（1）小明的结果不对 …………………………………………………………… (1分)
理由：设小路的宽为x m则（16－2x）（12－2x）=×16×12 …………………………（3分）
解得x =2，或x =12（舍去）. ∴x =2，故小明的结果不对. ……………………………（4分）
（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为 x m，
故有x2=×16×12，解得x ≈ 5.5m. ………………………………………………………（7分）
（3）依此连结各边的中点得如图的设计方案. ……………………………………………(9分)
22．解：（1）作点C关于x轴的的对称点C′（0，－2），连结C′D，与x轴相交于点A，先求出直线C′D的解析式为，令y = 0，可求出点A的坐标为(1,0) （2分）
（2）因为抛物线过C(0，2)，A（1，0），D(4，6)，可设一般式，得抛物线的解析式为……………………………………………………………………………(5分)
(3)原抛物线解析式可配方为，抛物线向左平移一个单位后解析式为，设向上或向下平移h个单位，解析式为
由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y=2x-2，
联立，得，
化简得x2－3x+h＋2=0，……………………………………………………………………（7分）
∵抛物线与直线只有一个交点，即此二元一次方程只有唯一的根，
∴b2-4ac=0 即：9－4×(h+2)=0
∴h =，也就是抛物线再向上平移个单位能与直线AD只有一个交点……………（9分）

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