江苏南通中学高三上期中考试数学.doc

江苏省南通中学2010—2011学年度高三第一学期中考试
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。
1．命题“”的否定形式为 ▲ ．
2．已知全集，集合，集合，则= ▲ ．
3．已知，，且，则向量与向量的夹角是 ▲ ．
4．已知函数，则= ▲ ．0
5．复数满足，则＝ ▲ ．
6． 若曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为 ▲ ．
（1，0）
7．已知函数，若，则的值为 ▲ ．0
8．已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为 ▲ ．18
9．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为 ▲ ．
10．已知存在实数满足 ，则实数的取值范围为 ▲ ．
11．在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），
且，则等于 ▲ ．
12．设是正项数列，其前项和满足：,则= ▲ ．
13．在直角坐标系中, 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ▲ ．
14．下列说法：①当；②函数的图象可以由函数（其中）平移得到；③中，是成立的充要条件；④已知是等差数列的前项和，若，则；⑤函数与函数的图象关于直线对称.其中正确的命题的序号为 ▲ ．②③④
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
设集合，.若，
求m的取值范围．
解：化简集合A=，集合B可写为．
…………………………………4分
①当B=即时，；
…………………………………6分
②当B即时，
（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要，
只要，所以m的值不存在；
（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要，
只要
综合，知m的取值范围是：m=-2或． …………………………………14分
16．（本小题满分14分）
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
（1）求|+|；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,求的最大值？
解：（1）|+|=
…………………………………4分
（2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B，C．
由得，．
即．则=
又，则，故当时，的最大值是2．………14分
17．（本小题满分15分）
在中，的对边分别为且成等差数列．
（1）求B的值；
（2）求的范围．
解：（1）成等差数列，
．
由正弦定理得，
代入得，，
即：，
．
又在中，．
， . ………………………………………………7分
（2），．

，．
的范围是 ……………………15分
18．（本小题满分15分）
甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
解：(1)乙方的实际年利润为： ．
，当时，取得最大值．
　　 所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)． ………………7分
　(2)设甲方净收入为元，则．
　将代入上式，得：．
　　　　又
　　　　令，得．
　　　　当时，；当时，，所以时，取得最大值．
　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入．　
………………15分
19．（本小题满分16分）
设数列的各项都是正数，且对任意都有其中为数列的前项和．
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）设试确定的值，使得对任意，都有成立．
解：（1）证明：由已知得，当

………………………………………5分
（2）解由（1）知：

………………………………………9分
（3）

………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数是奇函数.
（1）当时，函数的值域是，求实数与的值；
（2）令函数，时，存在最大实数，使得 恒成立，请写出与的关系式．
解：（1）由已知条件得对定义域中的均成立.
∴.
即 ∴对定义域中的均成立.
∴ 即（舍去）或. ∴ .
，
设，
∴当时，在上是减函数.
同理当时，在上是增函数.
函数的定义域为，
∴①当时有.
∴在为增函数，
要使值域为，
则（无解）；
②当时有.
∴在为减函数,
要使的值域为, 则，
∴，. ……………………………………………10分
（2），
则函数的对称轴，∴.
∴函数在上单调减.
则，有.
又，∴.
是最大实数使得恒有成立，
∴即．
……………………………………………16分