第讲求数列的通项.doc

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第 15 讲 求数列的通项
(第课时）
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准确记忆！

求数列的通项的方法

重点难点
好好把握！

重点：1．由求通项；2．由递推关系求通项。
难点：由递推关系求通项。

考纲要求
注意紧扣！

1．能根据数列的前几项写出数列的通项公式；2．求能转化为等差等比的数列的通项公式。
命题预测
仅供参考！

1．求等差等比数列的通项公式;2．求能转化为等差等比的数列的通项公式。
考点热点
一定掌握！

1．数列的通项公式
⑴ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的一项，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.
一个数列中的第项记为，一个数列记为 {}或，，，…，,…
⑵ 通项公式的定义：如果一个数列的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
⑶ 数列递推式： 是指数列中相邻几项之间的关系式。例如 ， 等等。
例．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
⑴ —1，7，—13，19，……
⑵ 7，77，777，7777,……
⑶ ，，，,,……
分析：⑴ 先不考虑符号，那么后项比前项大6，是等差数列，其通项为 ，再考虑符号,则其通项为 ；
⑵ 数列可以分解为 7×1，7×11，7×111，7×1111,……，而数列1,11,111,1111，……的通项为 ，故所求的通项为 ;
⑶ 对于分式形式的数列，可以分子分母分别找通项，同时注意分子分母之间的关系。本题分子为偶数数列,其通项为；分母可以分解为 1×3,3×5，5×7,7×9，9×11，……其中每一项都是相邻两个奇数的积，其通项为 ,故所求的通项为 ；

2．求通项的方法
⑴ 利用前n项和与通项的关系
例．设数列 1,2，4，7，…的前项之和是 ，求这个数列的通项 ，并确定、、、的值.
分析：注意到已知,而与之间有关系 =— （务必理解这一关系式！），
∴ =—
即 .
得出了通项,、、、就好求了。
由数列的第2、3、4项可以根据通项列出三个方程，从而解出、、。注意，通项中没有,可以利用 =+++ 得出.
答案: ， ， ， ， .
问：把 代入通项得 ，而已知 ，∴ ，对吗？
答：不对，因为这里的是用-表示的，若把 代入通项就等于承认了 ，但我们对未做定义，不能使用。

例．已知数列 {}中, ，且 ，求通项。
分析：利用=+消去即可。
解:当 时，有 —= ，∴ ，
∴ ，
则有

………………

把上列各式相乘得 ,
又已知 ，∴ 。

例﹡．一个数列的前项和为 ，求它的通项。
分析：∵ ，
∴ 此数列为偶数数列 2,4，6，8,…，2n,… ，但偶数数列的前项和为
，
这与已知条件 不相同,问题出在哪里？
实际上，从 可以看出，若 ,则 ，其中无意义.这也就是说,只能保证当 时，用 推出的才有效(特例除外）。
那么当 时，又该是什么呢？因为 ，故只要从 中求出，它就是。
所求的通项为 .

⑵ 迭代法
如果已知（或能写出)数列的递推式，则可以使用迭代法求通项。
例．设 , （，）,求数列｛｝的通项公式.
解:由 得

…………

把以上个等式两边相加得

当 时， 也适合上式，故所求的通项公式为 。
点评:①本题给出了递推式为 的数列的通项公式的求法（迭代法），值得注意的是,必须对时的情况加以验证，因为递推关系式是从第二项开始的。
②如果题目给出的递推式是前后项之间的比例关系，则要把个等式两边相乘才能约去中间的部分。
例．设 ， （,)，求数列｛}的通项公式。
分析：本题给出的递推式与上例稍有不同，需要把上题的解法变通使用.
解:由 得

为了使左边相加后正负项能互相抵消,故除开第一式之外，其它每式两边同乘2。

…………

把以上个等式两边相加得

也适合上式,故所求的通项公式为 。

⑶ 换元法
如果已知或能写出数列的递推式，则可以使用换元法求通项.
例． , （，），求数列｛}的通项公式。（这就是上面使用迭代法求通项的例子，现在我们改用换元法来做.)
解：把递推式变形为 ,令 ，则 （），
∴ {｝是以 为首项，2为公比的等比数列。
∴ ，即 ,∴ 。
点评：换元法的关键在于建立一个与原数列有着某种关系的新数列,而这个新数列是等差或等比数列.这样就可以求出新数列的通项，从而求出原数列的通项。此法技巧性较强。

⑷ 数学归纳法
例． ， （，)，求数列{｝的通项公式。（这就是上面使用迭代法求通项的例子，现在我们改用数学归纳法来做。）
由 ， 得

故作出猜测，当 时，有

证明：
⑴ 当 时， ，由递推式有 ，
故当 时,猜测成立；
⑵ 假设当 时，猜测成立，即 ,那么 ,
由递推式有 ，
故当 时,猜测成立；
当 时， ，可见此数列的第一项也符合猜测。
综上所述,此数列的通项公式为 。

能力测试
认真完成！

1．已知数列5，0,—5，0，5,0，-5，0，……写出其通项公式。

2．一个数列的前项和为 ,求该数列的通项。

3﹡．设数列的首项 ，前项和与通项满足条件 （），求通项公式。

4．已知数列{｝满足 ， ,其中、为常数，且 ,求。
请你使用迭代法、数学归纳法和换元法这三种方法解本题。

5。 数列｛}中, ， , ，求。
提示：如果变通使用上面介绍的方法,可以得出较简单的解法。

参考答案
仔细核对！

DS
24
01-03
求通项的方法
1
2
3
4
5

从数列的前几项写出数列的通项
√

利用

√
√

迭代法

√

换元法

√

数学归纳法

√

特殊值法

√

1．已知数列5，0，-5，0，5，0，-5，0，……写出其通项公式。
解:数列的各项具有周期性,因为数列 1，0，-1，0，1,0，-1，0，……的通项为 ，故所求的通项为 .
2．一个数列的前项和为 ，求该数列的通项.
解： ，=-= ，
∴ 。
解题错误：写成 ,没有将其化简为 .
3﹡．设数列的首项 ，前项和与通项满足条件 （)，求通项公式。
解：∵ =- , （)，∴ — ，
两边同乘 得 —= ,即 （），
如果我们把看成一个数列的通项，则由上述结果可知此数列是公差为2的等差数列，
又∵ ，∴ ，∴ 数列{}的首项为1，
∴ 数列{｝的通项为 ，∴ ，
∴ =- （）,
当 时，上式右边等于2,不等于,因此所求数列的通项公式为
。
说明：通过求出也可得到.
4．已知数列{｝满足 , ，其中、为常数，且 ，求.
请你使用迭代法、数学归纳法和换元法这三种方法解本题。
解法一（迭代法）：
∵

…………

上面各式相加得 。
又 也适合此通项,∴ 。
(或写成： 。）
解法二（数学归纳法）：

…………

下面再用数学归纳法证之即可（此处略）.
解法三（换元法）：
我们把数列的每一项都加上一个相同的量，使这个数列成为等比数列。
即令 ,把它和 相比较可知 （），
令 ，即 ，
又 ，则｛｝是以 为首项，公比为的等比数列，
∴ 。
5。 数列｛｝中， ， ， ,求。
提示：如果变通使用上面介绍的方法，可以得出较简单的解法。
解:把题给递推式变形得 ，
又由已知有 ，∴ ，（此处使用了“特殊值法”)
∴ (）
而 ，∴数列{｝是首项为5,公比为的等比数列.
∴