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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知命题p：“”，则为（）
A. B.
C. D.
3．已知直线x+3y+n=0在x轴上的截距为-3，则实数n的值为（ ）
A. B.
C. D.
4．甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（）
A充分但不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5．在中，，则的值为
A. B.
C. D.2
6．已知函数且，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
8．已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为
A. B.
C. D.
9．下列命题正确的是
A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行
B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点
C.经过空间任意三点可以确定一个平面
D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
10． “是第一或第二象限角”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，且，则__
12．计算：=_______________.
13．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.
14．如图，在棱长均相等的正四棱锥最终，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①平面；②平面平面；③；④直线与直线所成角的大小为
其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）
15．已知定义在上的偶函数，当时，若直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，则的取值范围是___________.
16．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
18．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19．已知直线的倾斜角为且经过点.
（1）求直线的方程；
（2）求点关于直线的对称点的坐标.
20．（1）计算：；
（2）计算：
21．国际上常用恩格尔系数r来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如下表：
级别
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
标准
r＞60%
50%＜r≤60%
40%＜r＝50%
30%＜r≤40%
r≤30%
某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%．统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长．根据上述材料，回答以下问题.
（1）该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；
（2）最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？
参考数据：，，，
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】是非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
是奇函数，在定义域内不单调；
y=－x 3是奇函数，又在定义域内为减函数；
非奇非偶函数，在定义域内为减函数；
故选C
2、C
【解析】根据命题的否定的定义判断
【详解】特称命题的否定是全称命题
命题p：“”，的否定为：
故选：C
3、B
【解析】根据题意，分析可得点（﹣3，0）在直线x+3y+n=0上，将点的坐标代入直线方程，计算可得答案
【详解】根据题意，直线x+3y+n=0在x轴上的截距为﹣3，
则点（﹣3，0）在直线x+3y+n=0上，即（﹣3）×+n=0，
解可得：n=3；
故选B
【点睛】本题考查直线的一般式方程以及截距的计算，关键是掌握直线一般方程的形式，属于基础题
4、D
【解析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解
【详解】由x是第一象限的角，不能得到是增函数；
反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角
故甲是乙的既不充分又不必要条件
故选D
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题
5、C
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果
【详解】在中，，
则，
，
，
,
故选C
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换和特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
6、B
【解析】易知函数为奇函数，且在R上为增函数，则可化为，则即可解得a的范围.
【详解】函数，定义域为，
满足，
∴，令，∴，∴为奇函数，
，
∵函数，在均为增函数，
∴在为增函数，
∴在为增函数，
∵为奇函数，∴在为增函数，∴，解得.
故选：B.
7、C
【解析】观察图象可得函数的最大值，最小值，周期，由此可求函数的解析式，根据三角函数变换结论，求出平移后的函数解析式，根据平移后函数图象关于轴对称，列方程求的值，由此确定其最小值.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，∴
因，可得，又，
求得，故
将的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象，
因为的图象关于直线轴对称，
故，即，
故的最小值为，
故选：C
8、A
【解析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.
【详解】由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.
【点睛】本题主要考查集合表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9、B
【解析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案
【详解】由题意，对于A中，在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B中，当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C中，经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D中，若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，故选B
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题
10、A
【解析】利用充分必要条件的定义判断.
【详解】若角的终边在第一或第二象限，则，反过来，若，则的终边可能在第一或第二象限，也有可能在轴正半轴上.
所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】解：因为，
整理可得，
解得，或2（舍去），
由于，
可得，，
所以，
故答案为：
12、
【解析】
考点：两角和正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.
13、
【解析】根据复合函数单调性的判断方法,结合对数函数的定义域,即可求得的取值范围.
【详解】在区间上单调递减
由对数部分为单调递减,且整个函数单调递减可知
在上单调递增,且满足
所以,解不等式组可得
即满足条件的取值范围为
故答案为:
【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,二次函数的单调性,对数函数的性质,属于中档题.
14、①②③
【解析】连接AC，易得PC∥OM，可判结论①
证得平面PCD∥平面OMN，可判结论②正确
由勾股数可得PC⊥PA，得到OM⊥PA，可判结论③正确
根据线线平行先找到直线PD与直线MN所成的角为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，可判④错误
【详解】如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确
同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2＝PA2+PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误
故答案为①②③
【点睛】本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
15、
【解析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的，因此分析可得,，进而将转化为
形式，再数形结合，求得结果.
【详解】作出函数的图象如图：
直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，
不妨设从左到右分别是，，，，，，，，则 ，
由函数解析式以及图象可知： ，
即 ，同理： ；
由图象为偶函数，图象关于轴对称可知： ，
所以
又因为是方程 的两根，
所以 ，
而 ，所以 ，
故 ，
即，
故答案为：
16、2
【解析】首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径cm，所以扇形的面积；
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）5；（3）15.
【解析】（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；
（2）到今年为止，森林剩余面积为原来的，可列出关于m的等式，解之即可.
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，列出相应表达式有，解不等式求出的范围即可
【详解】（1）设每年砍伐的百分比为，则，即，
，解得：
所以每年砍伐面积的百分比为
（2）设经过年剩余面积为原来，则，即
又由（1）知，，，解得
故到今年为止，该森林已被砍伐5年
（3）设从今年开始，最多还能砍伐年，则年后剩余面积为.
令，即，，，解得
故今后最多还能砍伐15年
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数数学建模在实际问题中的应用，熟练运用指数性质运算，将文字语言转化成数学语言是解题的关键，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.
18、（1），
（2），
【解析】（1）利用余弦函数的增减性列不等式可得答案；
（2）先讨论函数的增减区间，再结合所给角的范围，可得最值.
【小问1详解】
令，，
可得，
故的单调递增区间为，.
【小问2详解】
由（1）知当时，在单调递增，
可得在单调递减，
而，
从而在单调递减，在单调递增，
故，
.
19、（1）x＋y－2＝0；（2）(－2,－1)
【解析】（1）由题意得直线的斜率为，
∴直线的方程为，
即.
（2）设点，
由题意得
解得
∴点的坐标为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则计算
（2）利用对数的换底公式和运算法则计算
【详解】（1）原式=8+0.1+1=9.1
（2）原式==1+=1+2=3
21、（1）已经达到，理由见解析
（2）2022年
【解析】（1）根据该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长的比例列式求解，判断十年后是否达到即可.
（2）假设经过n年，该地区达到富裕水平，列式，利用指对数互化解不等式即可.
【小问1详解】
该地区2000年底的恩格尔系数为%，
则2010年底的思格尔系数为
因为
所以1，
则
所以
所以该地区在2010年底已经达到小康水平
【小问2详解】
从2000年底算起，设经过n年，该地区达到富裕水平
则，
故，即
化为
因为，则In，所以
因为
所以
所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平
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