资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+）
D.y=sin22x﹣cos22x
2．如果，那么（）
A. B.
C. D.
3．集合的真子集的个数是（ ）
A.16 B.8
C.7 D.4
4．已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值属于以下哪个范围( )
A.(5，6) B.(7，8)
C.(8，9) D.(9，10)
5．已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于
A. B.
C. D.
7．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
-6
3
-2.625
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为
A. B.
C. D.
8．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数是偶函数，且，则（）
A. B.0
C.2 D.4
10．下列函数是偶函数，且在上单调递减的是
A. B.
C. D.
11．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（ ）
A.51，58 B.51，61
C.52，58 D.52，61
12．已知函数，的值域为，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若在内无零点，则的取值范围为___________.
14．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
15．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为，则球的表面积为________
16．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数，函数的图像与的图像关于对称.
（1）求的值；
（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k取值范围；
（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
18．（1）已知，，，求的最小值；
（2）把角化成的形式.
19．已知且.
（1）求的解析式；
（2）解关于x不等式：.
20．已知全集为实数集R，集合，
求，；
已知集合，若，求实数a的取值范围
21．已知函数（且），在上的最大值为.
（1）求的值；
（2）当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并证明，并求出的值域.
22．已知函数.
（1）若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】A中，周期为,不是偶函数；
B中，周期为，函数为奇函数；
C中，周期为，函数为奇函数；
D中，周期为，函数为偶函数
2、D
【解析】利用对数函数的单调性，即可容易求得结果.
【详解】因为是单调减函数，
故等价于
故选：D
【点睛】本题考查利用对数函数的单调性解不等式，属基础题.
3、C
【解析】先用列举法写出集合，再写出其真子集即可.
【详解】解：∵，
真子集为：共7个
故选：C
4、A
【解析】根复合函数的单调性，得到函数f(x)的单调性，求解函数的最小值f(x)min＝8，构造新函数g(a)＝a＋log2a－8，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意，根复合函数的单调性，可得函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上递减，
所以函数f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，
令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，
则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，
又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，
所以实数a所在的区间为(5，6)
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及零点的存在定理的应用，其中解答中根据复合函数的单调性，求得函数的最小值，构造新函数，利用零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
5、B
【解析】
应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．
【详解】因，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．
6、C
【解析】由题意得，
∴
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，解得
故选：C
7、C
【解析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.
【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.
【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.
8、B
【解析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.
【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.
故选：B.
【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.
9、D
【解析】由偶函数定义可得，代入可求得结果.
【详解】为偶函数，
，
，
故选：D
10、D
【解析】函数为奇函数，在上单调递减；
函数为偶函数，在上单调递增；
函数为非奇非偶函数，在上单调递减；
函数为偶函数，在上单调递减
故选D
11、B
【解析】先把每月的降水量从小到大排列,再根据分位数的定义求解.
【详解】把每月的降水量从小到大排列为: 46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
,
所以该地区月降水量的分位数为;
所以该地区的月降水量的分位数为.
故选：B
12、B
【解析】由题得
由g(t)的图像，可知当
时，f(x)的值域为，所以故选B.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.
【详解】因为函数在内无零点，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因为函数在内无零点，
所以或或，
又因为，所以取值范围为.
故答案为：.
14、56
【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
15、
【解析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式求解.
【详解】如图：设和分别是上下底面等边三角形的中心，
由题意可知连线的中点就是三棱柱外接球的球心，连接，
是等边三角形，且，，
，
球的表面积.
故答案为：
【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.
16、8100
【解析】将代入，化简即可得答案.
【详解】因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：
，
所以，当一条鲑鱼以的速度游动时，
，
∴，
∴
故答案为：8100.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】（1）由题意，将代入可得答案.
（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.
（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.
【小问1详解】
由题意，，所以
【小问2详解】
由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，
设，作出函数在上的图像（如下图）
，，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，
所以实数k的取值范围是或
【小问3详解】
记，
其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，
若存在实数m，使得的值域为，
则，即a，b是方程的两个不等正根，
即a，b是的两个不等正根，
所以解得，所以实数m的取值范围是.
【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；
（2）将角度化为弧度，再将弧度化为的形式即可.
【详解】解：（1）因为，，，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为；
（2），.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件联立方程组求出，进而求出函数的解析式；
（2）根据已知条件求出，进而得出不等式，利用换元法及一元二次不等
式得出的范围，再根据指数与对数互化解指数不等式即可.
【小问1详解】
由，得
，解得.
所以的解析式为.
【小问2详解】
由（2）知，，所以，
由，得，即，
令，则，解得或
所以，即，解得.
所以不等式的解集为.
20、 (1)；(2).
【解析】(1)借助题设条件求集合,再求其交集与补集；(2)借助题设运用数轴分类建立不等式组求解.
试题解析：
（1），
（2）(i)当时，，此时.
（ii）当时，，则
综合（i）（ii），可得的取值范围是
考点：函数的定义域集合的运算等有关知识的综合运用.
21、（1）或
（2）为偶函数，证明见解析，.
【解析】（1）分别在和时，根据函数单调性，利用最大值可求得；
（2）由（1）可得，根据奇偶性定义判断可知其为偶函数；利用对数型复合函数值域的求解方法可求得值域.
【小问1详解】
当时，为增函数，，解得：；
当时，为减函数，，解得：；
综上所述：或.
【小问2详解】
当函数在定义域内是增函数时，，由（1）知：；
，
由得：，即定义域为；
又，是定义在上的偶函数；
，
当时，，，即的值域为.
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.
(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.
【小问1详解】
因函数的图象恒在直线上方，即，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是：.
【小问2详解】
依题意，，，
令，，
令函数，，，
，而，即，，
则有，即，于是得在上单调递增，
因此，，，即，从而有，则，
所以实数的取值范围是.
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