奥数专题-定义新运算(带答案排版).doc

(完整版)奥数专题_定义新运算(带答案完美排版)
定义新运算
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。
　　如:2＋3＝5
　　 2×3＝6
　　都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“＋”，“－",“×”，“÷”运算不相同.
　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b,
　　①求 3△2, 2△3；
　　②这个运算“△”有交换律吗？
　　③求（17△6）△2,17△（6△2）；
　　④这个运算“△”有结合律吗？
　　⑤如果已知4△b＝2，求b.
分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。
解:① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5
　　 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0。
　　②由①的例子可知“△”没有交换律.
③要计算（17△6)△2,先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算
第二步39△2＝3 × 39－2×2＝113，
所以（17△6)△2＝113.
对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，
其次17△14＝3×17－2×14＝23，
　　所以17△（6△2）＝23。
④由③的例子可知“△”也没有结合律.
⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5。
例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），
①求5※7,7※5; 　　②求12※（3※4），（12※3）※4；
　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗？ ④如果3※（5※x）＝3,求x.
　　解:① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23。
　　②要计算12※（3※4)，先计算括号内的数,有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，
　　所以 12※（3※4）＝43。
对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3)＝21，
其次21※4＝21×4－(21＋4）＝59,所以（12※ 3）※4＝59。
③由于a※b＝a×b－(a＋b）；
　　b※a＝b×a－（b＋a）
　　 ＝a×b－(a＋b）（普通加法、乘法交换律）
　　所以有a※b＝b※a,因此“※”有交换律.
　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.
　　④5※x＝5x－(5＋x)＝4x－5；
3※（5※x）＝3※（4x－5）
＝3（4x－5）－（3＋4x－5)
　　 ＝12x－15－(4x－2）
　　 ＝ 8x－ 13
那么 8x－13＝3 解出x＝2.
例3、定义新的运算a Å b＝a×b＋a＋b.
　 ①求6 Å 2，2 Å 6； 　　
②求（1 Å 2）Å 3，1 Å（2 Å 3)；
③这个运算有交换律和结合律吗？
解：① 6 Å 2＝6×2＋6＋2＝20,2 Å 6＝2×6＋2＋6＝20.
②（1 Å 2)Å 3＝（1×2＋1＋2)Å 3
＝5 Å 3
＝5×3＋5＋3
＝23
1 Å(2 Å 3）＝1 Å（2×3＋2＋3）
＝1 Å 11
＝1×11＋1＋11
＝23。
③先看“Å”是否满足交换律:
a Å b＝a×b＋a＋b
b Å a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）
所以a Å b＝b Å a，因此“Å”满足交换律.
　 再看“Å”是否满足结合律：
（a Å b）Å c＝(a×b＋a＋b）Å c
＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c
＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c。
a Å（b Å c）＝a Å（b×c＋b＋c)
＝a×（b×c＋b＋c)＋a＋b×c＋b＋c
＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c
＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c。（普通加法的交换律）
所以（a Å b）Å c＝a Å（b Å c),因此“Å”满足结合律.
说明：“Å”对于普通的加法不满足分配律，看反例：
1 Å（2＋3）＝1 Å 5＝1×5＋1＋5＝11；
1 Å 2＋1 Å 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；
因此1 Å（2＋3）≠ 1 Å 2＋1 Å 3。
例4、有一个数学运算符号“Ä”,使下列算式成立：2Ä4＝8，5Ä3＝13，3Ä5＝11,
9Ä7＝25，求7Ä3＝?
解：通过对2Ä4＝8，5Ä3＝13，3Ä5＝11，9Ä7＝25这几个算式的观察，找到规律：
aÄb＝2a＋b,因此7Ä3＝2×7＋3＝17。
例5、x、y表示两个数，规定新运算“＊”及“△”如下：x＊y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、
n、k均为自然数,已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）＊3的值。
分析：我们采用分析法,从要求的问题入手，题目要求1△2）＊3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值,k值求出后,l△2的值也就计算出来了.
我们设1△2=a， （1△2）*3=a＊3，按“＊”的定义： a＊3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a＊3的值.因此要计算（1△2）＊3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1＊2 =5可以求出m、n的值，通过（2＊3)△4=64求出 k的值。
m=2
n =（舍去）
　 解：因为1＊2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
m=3
n =1
m=1
n =2

①当m=1，n=2时:
　　（2*3）△4=（1×2+2×3)△4
　　 =8△4=k×8×4=32k
　　 有32k=64，解出k=2。
　　②当m=3,n=1时：
　　（2＊3）△4=（3×2+1×3)△4
　　 =9△4=k×9×4=36k
有36k=64，解出k=，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=
这组值应舍去.
所以m=l，n=2,k=2。
　　（1△2)＊3=（2×1×2）*3=4＊3=1×4+2×3=10。
在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值。还有一个值得注意的问题是:定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题。

课后习题
1.a＊b表示a的3倍减去b的，例如:
1*2=1×3－2×=2,根据以上的规定,计算：
①10*6； ②7*（2*1）.
2.定义新运算为 a㊀b＝,
①求2㊀(3㊀4）的值； ② 若x㊀4＝1.35，则x＝？
3。有一个数学运算符号○，使下列算式成立:
○=，○=，○=，求○的值。
4.定义两种运算“Å”、“Ä”，对于任意两个整数a、b，
aÅb＝a＋b＋1，　aÄb=a×b－1，
　①计算4Ä[（6Å8）Å（3Å5)］的值；
　②若xÅ(xÄ4)=30,求x的值。
5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△"，
x△y=（其中m是一个确定的整数）,
如果1△2=2，则2△9=？
6.对于数a、b规定运算“▽”为a▽b=(a＋1）×(1－b)，
若等式（a▽a）▽（a＋1）=（a＋1）▽（a▽a）成立，求a的值.
7。“＊”表示一种运算符号，它的含义是：
x＊y=＋，
已知2＊1=＋=,求1998*1999的值.
8.a※b=,在x※(5※1）=6中,求x的值。
9.规定 a△b=a＋（a＋1)＋(a＋2）＋…＋（a＋b－1），（a、b均为自然数,b〉a）如果
x△10=65,那么x=？
10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：
=？

课后习题解答
　　1.

2。

　　3.

所以有5x—2=30，解出x=6.4

左边:

8。解：由于

9.解：按照规定的运算：
　　 x△10=x +（x+1）+（x+2)+…+（x+10－1)
　　 =10x +(1+2+3+⋯+9）=10x + 45
　　 因此有10x + 45=65，解出x=2。

定义新运算
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
　　如：2＋3＝5
　　 2×3＝6
　　都是2和3，为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然,这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算。在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷"运算不相同.
　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，
　　①求 3△2, 2△3；
　　②这个运算“△”有交换律吗？
　　③求（17△6）△2,17△（6△2）；
　　④这个运算“△”有结合律吗?
　　⑤如果已知4△b＝2,求b.

例2、定义运算※为 a※b＝a×b－(a＋b），
①求5※7，7※5； 　　②求12※(3※4)，（12※3)※4；
　　③这个运算“※"有交换律、结合律吗？ ④如果3※(5※x)＝3，求x.

例3、定义新的运算a Å b＝a×b＋a＋b.
　 ①求6 Å 2，2 Å 6; 　　
②求（1 Å 2）Å 3,1 Å(2 Å 3);
③这个运算有交换律和结合律吗？

例4、有一个数学运算符号“Ä”,使下列算式成立：2Ä4＝8，5Ä3＝13,3Ä5＝11,
9Ä7＝25，求7Ä3＝?

例5、x、y表示两个数,规定新运算“*”及“△"如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、
n、k均为自然数，已知 1*2=5,(2*3)△4=64，求（1△2)＊3的值。

课后习题
1。a＊b表示a的3倍减去b的,例如:
1＊2=1×3－2×=2,根据以上的规定，计算：
①10＊6; ②7*（2＊1）。

2。定义新运算为 a㊀b＝，
①求2㊀(3㊀4）的值； ② 若x㊀4＝1.35，则x＝？

3。有一个数学运算符号○，使下列算式成立：
○=,○=，○=,求○的值。

4.定义两种运算“Å”、“Ä”，对于任意两个整数a、b，
aÅb＝a＋b＋1，　aÄb=a×b－1，
　①计算4Ä[（6Å8）Å(3Å5）]的值；
　②若xÅ（xÄ4）=30，求x的值。

5.对于任意的整数x、y,定义新运算“△"，
x△y=（其中m是一个确定的整数）,
如果1△2=2，则2△9=？

6。对于数a、b规定运算“▽"为a▽b=（a＋1）×（1－b）,
若等式（a▽a）▽（a＋1）=（a＋1）▽(a▽a）成立，求a的值。

7。“*”表示一种运算符号，它的含义是：
x＊y=＋,
已知2＊1=＋=，求1998*1999的值。

8.a※b=，在x※（5※1）=6中，求x的值。

9。规定 a△b=a＋(a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1）,(a、b均为自然数，b〉a）如果
x△10=65，那么x=？

10。我们规定:符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3,计算：
=？
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