初三数学复习系列1《数与式》.doc

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初三数学复习系列1《数与式》
●中考点击
考点分析：
内容
要求
1、平方根，算术平方根、立方根的概念及表示,乘方的意义
Ⅰ
2、无理数和实数的概念，近似数和有效数字
Ⅰ
3、二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则
Ⅱ
4、实数的大小比较，实数的混合运算
Ⅱ
5、单项式、多项式有整式概念
Ⅰ
6、整数指数幂的意义和基本性质，整式的加、减、乘、除运算，乘法公式
Ⅱ
7、提公因式法、公式法分解因式
Ⅱ
8、分式的概念，分式的基本性质，约分和通分
Ⅱ
9、简单的分式加、减、乘、除
Ⅱ
要求Ⅰ：理解掌握
要求Ⅱ：灵活运用
命题预测：实数是初中数学的基础知识，也是其他学科的重要工具．因此在近年来各地的中考试题中一直占有重要的地位．这部分试题大多数十分重视基础知识的考察，试题的呈现形式多以贴近生活实际的形式，试题的难度不大．多数来源于教材的习题或稍加变通．题型主要是填空题、选择题也有计算题，但是,计算题的难度不大,没有繁杂的计算．近几年来,部分地区还设计了开放性探索题．预计今后的中考对实数的考察难度将依然控制在2006年的基础上．这部分的试题量一般占试题总量的2％——6％,分值占总分的3％—-5％．
代数式的知识在历年全国各地的中考试卷中始终占有一定的地位，并且与实数部分一样，试题多数为题型小、难度低、思维量少、一捂即得的填空题和选择题，基本上没有难题和怪题，虽然近年部分省、市出现了一些开放、猜想题、规律探索题、阅读理解题等创新题型，但是，多数都来源于教材，考生依然会感到得心应手．这部分考题一般在6%左右，分值占7％左右．
综上所述，预计今年中考对本专题的内容除继承以往的优点外,还会继续加强源于教材而又活于教材的题型，考察学生灵活应用知识的能力．促进课堂教学对创新能力的培养，从而全面提高素质教育．
●难题透视
例1 根据下表中的规律,从左到右的空格中应依次填写的数字是

000
110
010

111
001
111
A．100,011 B．011,100 C．011,101 D．101，110
【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字0和1，要求能实现符号与数字的相互转化．
【思路点拨】通过观察,不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择,往往会随便猜出一个答案．突破方法:根据表格中所提供的信息，找出规律,容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字．
解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析,理解其表示的意义．
例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图1-1方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块(用含的代数式表示）．

（1）
（2）
（3）
……

图1-1

【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．
【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第1个图形，黑色瓷砖4块；第2个图形，黑色瓷砖7块；第3个图形，黑色瓷砖10块……不难看出,每幅图形中的黑色瓷砖依次增加3块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为1＋3，则第2个图形中的黑色瓷砖可表示为1＋3×2……所以第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．
【答案】黑色瓷砖10块，第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．
【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形,观察其变化规律．
例3下列运算中，计算结果正确的是（ )
A。 B.
C. D.
【考点要求】本题考查整式运算公式．
【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数,不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变,指数相乘．A项结果应等于,C项结果应等于，而D项无法运算．
【答案】选B．
【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习，熟悉乘法公式．
例4我国自行研制的“神舟6号飞船"载人飞船于2005年10月12日成功发射，并以每秒约7.820185公里的速度，在距地面343公里的轨道上绕地球一圈只需90分钟，飞行距离约42229000km．请将这一数字用科学记数法表示为________km．（要求保留两位有效数字）．
【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识．
【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是10的指数，可归纳为指数n等于原数整数部分的位数减一．所以这一数字可表示为4。2×107．
【答案】4.2×107．
【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于10的指数容易弄错．突破方法：掌握规律，记住幂的指数的确定方法．
解题关键：科学记数法中,a是整数数位只有一位的数，10的指数是由小数点移动的位数决定的，也可以简单的记作用原数的数位减去1所得到的数值．
例5分解因式：= ．
【考点要求】本题考查多项式的因式分解．
【思路点拨】本题是四项,应采用分组分解法,分组分解法主要有两种,一是二二分组,另一种是一三分组,本题应采用一三分组法进行分解．原式．
【答案】填
【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法:在无法用提公因式或者直接运用公式进行因式分解时，往往还会进行分组分解．
解题关键:分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时还需要对原式的各项进行必要的交换．
例6有一道题“先化简,再求值:，其中．”小玲做题时把“”错抄成了“"，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力．
【思路点拨】把原式化简,可得．因为，所以无论是“”或“"，代入化简后的式子中,所求得的值都是相等的．因而即使代错数值，结果仍然是正确的．
【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累，熟悉各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维,能应对新问题．
解题关键:解这类问题时，先按常规方法正确求解,再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因．
例7已知,化简的结果是（ ）
A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m
【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想,这也是数学解题中常用的一种技巧．
【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－2m．
【答案】选D．
【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出a、b的值，然后再代入求值,一种情况是无法解得结果，另一种是会用含m的式子表示a、b，但解题过程较繁琐,且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含和的式子表示，再将已知条件代入即可．
解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值．
图1-2
例8如图1-2,时钟的钟面上标有1，2，3…12共计12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面,使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是
【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力．
【思路点拨】钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等,则每部分之和只能为78÷3=26,而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过4和5,8和9之间画直线．
【答案】3、4、9、10，5、6、7、8．
【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且容易达到目标．突破方法:仔细阅读,认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数．
例9我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，,…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，,…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现，请写出□,○所表示的数;
（2)进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证．
【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用．
【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加1,第二个分母是前两个分母的乘积,如果设左边的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1）,第二个分母为n（n＋1）．所以问题(1）中，□表示的数为6,○表示的数为30;问题（2）中，△表示的式为，⊙表示的式为．
验证：，所以上述结论成立．
【答案】（1）□表示的数为6,○表示的数为30；（2）△表示的式为，⊙表示的式为．
【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难．
解题关键：当题中有一组并列条件时,往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息．
例10阅读下面的材料,回答问题：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点，如图1-3，；当A、B两点都不在原点时：
（1）如图1—4，点A、B都在原点的右边，；
O（A）
0
b
B
图1-3

O
0
b
B
图1-4
a
A

（2)如图1—5,点A、B都在原点的左边, ；
（3)如图1—6,点A、B在原点的两边，．
B
b
a
A
图1-5
O
0

B
b
a
A
图1-6
O
0

综上，数轴上A、B两点之间的距离．
回答下列问题:
（1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果,那么x= ．
【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点A、B的距离公式,再引出相关问题，考查学生阅读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力．
【思路点拨】依据阅读材料,所获得的结论为,结合各问题分别代入求解．(1）；（2)；因为，所以，所以或．所以或．
【答案】（1）3，3，4；(2）或．
【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料,从中获取重要结论，帮助解题．
●难点突破方法总结
实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时,要注意以下几点：
1。要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆．
2。要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能．
3。在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题,可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．
整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下内容：
1。要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整式和分式的运算．
2。运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征,在此基础上正确选用公式或法则进行计算．
3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算．
4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用．
5。此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．

●拓展演练
一、填空题
1． （）2007·（－2）2008＝ ．
2． 如果数轴上不同的两点A、B所表示的数的绝对值相等，那么A、B两点所表示的数可以是
(只写出一组即可)．
3． 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则（a＋b）－cd＝ ．
4． 已知分式，当x＝ 时，分式的值为0．
5． 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数)：
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
… …… …
根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： 　　　　　　 ．
A
B
6． 在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角 形．如图，在4×4的方格纸上,以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个平方单位,则符合条件的C点共有 个．

7。 观察按下列顺序排列的等式：
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想:第n个等式(n为正整数）用n表示，可以表示成_________________________.
8. 若非零实数a，b满足，则= ．
9． 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a，再称其余的电线总质量为b，则这捆电线的总长度是 ．
10．已知二次三项式分解因式为，则b、c的值为 ．
二、选择题
11．按一定的规律排列的一列数依次为：┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 （ ）
A． B． C． D．
12．当x＜1时，化简的结果为( ）
A。 x－1 B. －x－1 C. 1－x D. x＋1
13．如图所示，图（1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2），（3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第八个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ( ）
A. 66 B。 91 C. 120 D。153

14．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 ( ）
n=1
n=2
n=3
……

A． B． C． D．
15．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行,那么对折n次后折痕的条数是 （ ）
A．2n－1　 　B．2n＋1　 　C．2n－1　 　D．2n＋1
16．把多项式1—x2+2xy-y2分解因式的结果是 ( ）
A. B。
C. D。
17．计算的正确结果是 （ ）
A． B． C． D．
18．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝,则m与n的大小关系是 （ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
三、解答题
19．观察下列各式及其验证过程：
验证: =。
验证：= = = ；
验证： =．验证：== = ．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式,并给出证明．

20．阅读下列题目的计算过程：

＝　　　　　　（A）
＝(x－3)－2（x－1）　　　　　　　　　 （B）
＝x－3－2x＋1　　　　　　　　　　　　　 （C)
＝－x－1　　　　　　　　　　　　　　　 （D)
（1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ．
（2）错误的原因 ．
（3）本题目正确的结论为 ．

●习题答案
专题一《数与式》
一、 填空题
1。 【答案】2（点拨：原式=．）
2。 【答案】(答案不唯一）
3。 【答案】－1（点拨:a，b互为相反数,所a＋b=0，c，d互为倒数，所cd=1．)
4。 【答案】－1（点拨：由题意且，所以x=－1．）
5。 【答案】、、、、、 （点拨：每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．）
6. 【答案】3个
7。 【答案】
8. 【答案】2（点拨:将原式改写为，所以,可求出b=2a．）
9。 【答案】（点拨：先取1米长的电线,称出它的质量为a，其余电线质量为b，则其余电线的长度为米，这捆电线的总长度为（)米．）
10. 【答案】－4,－6（点拨：将分解后的因式乘开，各项系数应与已知的二次三项式相等．）
二、选择题
11。 【答案】D(点拨:每个分数的分子均为1，分母为或（当n为奇数时加1，当n为偶数时减1)，7为奇数，因而其分母为．）
12。 【答案】C（点拨：开方的结果必须为非负数．）
13。 【答案】C（点拨：每增加一层所多出的个数为原来最下面一层个数加4，列出前面几组数据，第一层：1,第二层:1＋（1＋4) ，第三层：1 ＋（1＋4）＋（1＋4×2）＋…＋［1＋4（n－ 1）]=（n表示第几个叠放的图形),当n=8时，共有。）
14. 【答案】C（点拨：n=1，有3个正方形；n=2，有7个正方形；n=3，有11个正方形…,规律：n每增加1，就多出4个正方形．)
15. 【答案】C（点拨:除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．）
16. 【答案】A（点拨:．)
17. 【答案】B（点拨：将括号内的式子分别通分．）
18. 【答案】C（点拨:设地球仪赤道半径为r，则;设地球赤道半径为R，则，所以相等．）
三、解答题
19．【答案】（1）4=．
验证:4====
（2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数n（n≥2)都有：
n=．
证明：∵n = ==,
∴n=．
20．【答案】（1）B ；
（2）去分母；
（3）；
．