资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.3a2 B.6a2
C.12a2 D.24a2
2．半径为3 cm的圆中，有一条弧，长度为 cm，则此弧所对的圆心角为()
A. B.
C. D.
3．已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为（）
A. B.
C. D.4
4．化简 （ ）
A. B.
C. D.
5．已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，（）
A. B.
C. D.
9．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调递增的，，，是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在空间直角坐标系中，点A到坐标原点距离为2，写出点A的一个坐标：____________
12．若函数的定义域为[－2，2]，则函数的定义域为 ______
13．幂函数为偶函数且在区间上单调递减，则________，________.
14．某时钟的秒针端点到中心点的距离为6cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则_______，其中
15．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.
16．新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检!核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足：，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增8次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为___________；该被测标本DNA扩增13次后，数量变为原来的___________倍.（参考数据：，，，，）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是奇函数
（1）求a的值，并根据定义证明函数在上单调递增；
（2）求的值域
18．化简求值：
（1）；
（2）.
19．已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
20．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
21．已知在半径为的圆中，弦的长为.
（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的
长就是外接球的直径，所以球直径为：，
所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B
2、A
【解析】利用弧长公式计算即可
【详解】，
故选：A
3、D
【解析】根据已知条件，推出，再根据，即可得出答案.
【详解】由题意得：，解得，所以，解得：，
故选：D
【点睛】本题考查幂函数的解析式，属于基础题.
4、D
【解析】利用辅助角公式化简即可.
【详解】
.
故选：D
5、A
【解析】，故选A.
6、C
【解析】将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.
【详解】解：因为函数，若对一切，都成立，
所以，对一切成立，
令，
所以，
故选：C
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
7、C
【解析】求解函数y的最小正周期，根据三角函数的平移变换规律，即可求解.
【详解】函数y=2sin（2x+）其周期T=π，图象向左平移个最小正周期后，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x++）=2cos（2x+）故选C.
【点睛】本题考查了最小正周期的求法和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题
8、B
【解析】设，则，求出的解析式，根据函数为上的奇函数，即可求得时，函数的解析式，得到答案.
【详解】由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，
得，
即当时，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、A
【解析】根据题意，先得到是周期为的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出在区间上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到，得出，从而可得出结果.
【详解】因为偶函数满足，所以函数是周期为的函数，
又在区间上是减函数，所以在区间上是减函数，
因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是增函数；
又，是锐角三角形的两个内角，
所以，即，因此，即，
所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.
10、C
【解析】因为是锐角的三个内角，所以，得，
两边同取余弦函数，可得，
因为在上单调递增，且是偶函数，所以在上减函数，
由，可得，故选C.
点睛：本题考查了比较大小问题，解答中熟练推导抽象函数的图象与性质，合理利用函数的单调性进行比较大小是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，本题的解答中，根据锐角三角形，得出与的大小关系是解答的一个难点.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（2，0，0）（答案不唯一）
【解析】利用空间两点间的距离求解.
【详解】解：设，
因为点A到坐标原点的距离为2，
所以，
故答案为：（2，0，0）（答案不唯一）
12、
【解析】∵函数的定义域为[－2，2]
∴，∴
∴函数的定义域为
13、 (1).或3 (2).4
【解析】根据题意可得：
【详解】区间上单调递减，，
或3，
当或3时，都有，
，
.
故答案为：或3; 4.
14、
【解析】设函数解析式为，由题意将、代入求出参数值，即可得解析式.
【详解】设，由题意知：，
当时，，则，，令得；
当时，，则，，令得，
所以.
故答案为：.
15、##
【解析】将目标式转化为，应用柯西不等式求取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，则，
又，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：.
16、 ①.0.778 ②.1788
【解析】①对数运算，由某被测标本DNA扩增8次后，数量变为原来的100倍，可以求出p；
②由n=13，可以求数量是原来的多少倍.
【详解】
故答案为：①0.778；②1778.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由列方程求参数a，令判断的大小关系即可证结论；
（2）根据指数复合函数值域的求法，求的值域.
【小问1详解】
由题设，，则，
∴，即，
令，则，又单调递增，
∴，，，即.
∴在上单调递增，得证.
小问2详解】
由，则，
∴.
18、（1）
（2）
【解析】(1)根据根式的性质，指数运算公式，对数运算公式化简计算；(2)根据诱导公式和同角关系化简.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
19、（1）；（2）或.
【解析】（1）先求得集合A，当时，求得集合B，根据交集、补集运算的概念，即可得答案.
（2）根据题意，可得，根据，可得或，即可得答案
【详解】（1），当时，所以；
（2）因为，所以，
又因为，所以或，
解得或.
20、（1）2（2）
【解析】（1）依据三角函数诱导公式化简后去求解即可解决；
（2）转化为求三角函数齐次式的值即可解决.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
21、（1）（2）
【解析】（1）根据为等边三角形得出，
（2）代入弧长公式和面积公式计算.
【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
【点睛】本题主要考查了扇形的相关知识点，弦长、弧长、面积等，属于基础题，解题的关键是在于公式的熟练运用.
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