高三数学一轮复习第十章统计与概率10-4.doc

高三数学一轮复习第十章统计与概率10-4
第10章 第4节

一、选择题
1．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
47
92
192
285
478
954
则该厂生产的电视机是优等品的概率约为(　　)
A．0.92 B．0.94
C．0.95 D．0.96
[答案]　C
[解析]　由频率与概率关系知答案为C.
2．(文)羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　将喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊依次编号为1、2、3、4、5，从中任取两个的所有可能取法为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中喜羊羊与美羊羊恰好只有一只被选中的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．∴所求概率P＝＝.
(理)(2010·陕西检测)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，∴所求概率为P＝＝.
3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　　)
A．0.45 B．0.67
C．0.64 D．0.32
[答案]　D
[解析]　摸出红球的概率为＝0.45，因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.
4．(文)(2010·山东潍坊、烟台)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P＝，应选C.
(理)(2010·安徽文，10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是
(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　解法1：设正方形的4个顶点为A、B、C、D，从中任选两个顶点连成直线，有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种不同选法，故甲、乙各从正方形四个顶点中任选两个顶点连成直线，共有基本事件6×6＝36个．
设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两条直线互相垂直的事件为M，则M所包含的基本事件如表：
甲
AB
BC
CD
AD
AC
BD
乙
BC
AD
AB
CD
AD
BC
AB
CD
BD
AC
共包含10个基本事件，
∴P(M)＝＝，故选C.
解法2：由条件知所有的基本事件共有C42·C42＝36个，设甲、乙两人各取两个顶点连成直线，所得两直线垂直为事件M，则M含有基本事件4×2＋2＝10个，
∴P(M)＝＝.
5．(文)(2010·北京文，3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　该试验所有基本事件(a，b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图．

易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b>a”为事件A，则事件A所含基本事件有3个．
∴P(A)＝＝，故选D.
(理)(2010·黄冈检测)设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，PQ，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b＝c的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　依题意得，当b＝2时，c可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时b≠c；当b从3,4,5,6,7,8,9中选取时，有b＝c.因此，b＝c的概率为＝，选C.
6．(文)(09·湖北)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　投掷两颗骰子，其向上的点数m，n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合Ω＝{(m，n)|1≤m≤6,1≤n≤6，m，n∈N}，∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m、n均为正整数，∴m＝n.故所求事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，Ω中共有36个基本事件，∴P＝＝.故选C.
(理)(2010·广东省江门市模考)从一个三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　从6个顶点中选4个，共有C64＝15种选法，其中共面的情况有三个侧面，∴概率P＝＝.

7．(文)(2010·浙江金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　取两个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字绝对值之差为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为＝.
(理)(2010·浙江绍兴调研)在一个盒子中有5个球，其中2个球的标号是不同的偶数，3个球的标号是不同的奇数．现从盒子中一次取出3个球，则这3个球的标号之和是偶数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　从5个球中任取3个，有不同取法C53＝10种，其中3个球标号之和为偶数，只能是两奇一偶，有不同取法C32×C21＝6种，∴所求概率为P＝＝.
8．(2010·广西柳州市模考)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有(　　)
A．360人 B．240人
C．144人 D．120人
[答案]　D
[解析]　设与会男教师x人，则女教师为x＋12人，由条件知，＝，∴x＝54，∴2x＋12＝120，故选D.
9．(文)(2010·湖南考试院调研)设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数，则斜边的长小于的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　设两直角边长分别为a、b，则0<a<1,0<b<1，由条件a2＋b2<，如图可知，所求概率P＝＝.

(理)(2010·山东滨州模拟)在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　根据题意可画如图所示的图形，所求概率为半圆与三角形面积的比，∴p＝＝，故点P在单位圆内的概率为，故选D.
10．(文)(2010·广东玉湖中学月考、辽宁锦州模拟)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，恰为红灯的概率是
(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　因为红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间40秒，故整个区域的时间长度为75秒，
∴P＝＝.
(理)(2010·济南市模拟)已知a、b、c为集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是(　　)

A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P＝＝＝.
二、填空题
11．(2010·江苏盐城调研)某人有甲、乙两只密码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是________．
[答案]　
[解析]　将两份文件编号为1,2，则所有可能存放文件的方式如表
方式1
方式2
方式3
方式4
甲
乙
甲
乙
甲
乙
甲
乙
1,21,2
1
2
2
1

共有4种不同情形，其中此人使用同一密码箱存放这两份文件的情况有2种，∴P＝.
12．(2010·南京市调研)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．
[答案]　
[解析]　每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为＝.
13．(2010·浙江开化模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．
[答案]　
[解析]　e>3，即>3，∴>9，
∴>2，即m>2，
∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝.
14．高三·一班班委有5名成员，其中有3名男生，要从中选派2人去参加某项活动，事件A＝“选出的2人不全是男生”，事件B＝“选出的2人至少有一名男生”，则事件A∩B的含义是________．
[答案]　选出的2人一男一女
[解析]　事件A包含：一男一女和两女，事件B包含：一男一女和两男，则事件A∩B为：一男一女．
三、解答题
15．一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？
(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？
[分析]　本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念及随机事件的概率公式和分析判断能力．
[解析]　(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”不可能发生，因此，它是不可能事件，其概率为0.
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为.
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球．因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.
16．(文)(2010·福州市模拟)某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究．他们分别记录了四天中每天昼夜温差与每天100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
温差(℃)
9
10
8
11
发芽数(粒)
33
39
26
46
(1)求这四天浸泡种子的平均发芽率；
(2)若研究的一个项目是在这四天中任选2天的种子发芽数来进行，记发芽的种子数分别为m，n(m<n)，用(m，n)的形式列出所有的基本事件，并求事件A：“m、n满足”的概率．
[解析]　(1)这四天浸泡种子的发芽总数为：33＋39＋26＋46＝144，
故这四天的平均发芽率为×100%＝36%.
(2)因为m<n，故所有的基本事件为：(26,33)，(26,39)，(26,46)，(33,39)，(33,46)，(39,46)，即基本事件总数为6.
易知事件A包含的基本事件为：(33,46)，(39,46)．
所以P(A)＝＝.
(理)(2010·北京顺义一中月考)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．
(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；
(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．
[解析]　由于实数对(a，b)的所有取值为：
(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种
(1)设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A
若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足a≥0，b≥0，则事件A包含4个基本事件，
∴P(A)＝＝，
∴直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.
(2)设“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B，则需满足≤1，即b2≤a2＋1，
∴事件B包含12个基本事件，∴P(B)＝＝，
∴直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.
17．(文)(2010·北京延庆县模考)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，然后放回，乙再摸一个球，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“编号的和为6”发生的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
[解析]　(1)设“两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个．
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25(个)等可能的结果
∴P(A)＝＝
答：编号的和为6的概率为.
(2)这种游戏规则不公平．
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．
所以甲胜的概率P(B)＝，从而乙胜的概率P(C)＝1－＝，
由于P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平．
(理)(2010·陕西宝鸡市质检)我市积极响应《全民健身条例》，大力开展学生体育活动，如图是委托调查机构在分属两类不同性质的A校和B校中分别随机抽取的10名高三年级学生周体育锻炼时间的茎叶图(单位：10分钟).

(1)根据茎叶图计算哪个学校学生总体活动时间多；
(2)如果从A校这10名学生中随机抽取体育锻炼时间不超过120分钟的2名同学，求至少抽到1名活动时间不足1小时的同学的概率是多少．
[解析]　(1)计算可得，A校的学生平均活动时间为×(21＋11＋12＋13＋15＋17＋17＋18＋35)×10＝132分钟，B校学生平均活动时间为×(36＋18＋13＋13＋11＋5＋4＋4＋3＋3)×10＝110分钟，故A校学生平均活动时间较多．
(2)由茎叶图知，A校中活动时间不超过120分钟的同学共有4名，而不足1小时的有2名，将这4名同学编号为1,2,3,4，其中不足1小时的为1,2，从中任意抽取两名同学的抽法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中至少含有1,2中的一个的概率为P＝.
[点评]　注意细节，茎叶图中数据的单位是10分钟．