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一元二次方程的特殊解法举例
解一元二次方程并不是中考单独考查的重点，但它是解题的工具，许多题目都要用到它.熟练掌握解一元二次方程的方法,做到解题快速、准确，是提高成绩必不可少的。常规的公式法等这里不再赘述，只对有些特殊方程特殊解法做一些介绍。
一、当方程含未知数的项与完全平方式相近并且系数较大时，常采用配方法解这个方程。
例1 解方程x2－12x=9964。
分析：此题常数项绝对值较大,因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法。
解：原方程即x2－12x＋36=10000,(x－6）2=1002。
两边开方，得x－6=±100，即x1=106，x2=－94。
二、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数满足a±b＋c=0时，x=±1是方程的根,这时可先将方程左端分解出因式x=±1。
例2 解方程9406x2－8289x－1117=0。
分析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用公式法解计算量很大。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零,故方程有一根为1。因此方程左边可分解为(x－1）(9406x＋1117）,则另一根为x=－.
解：观察可知方程有一根为1，则。
∴ x1=1,x2=－.
三、当二次项系数比较复杂时，常将二次项系数化为1或化为完全平方数.
例3 解方程169x2－39x－2=0。
分析：这个方程的二次项169x2=(13x）2，一次项－39x=－3(13x），故可将13x整体解出。
解：原方程即 （13x）2－3·（13x）－2=0。
解得 13x=或13x=.
∴ x1=，x2=。
例4 解方程6x2＋19x＋10=0。
解：将原方程两边同乘以6，得到 (6x)2＋19·(6x）＋60=0。
解得 6x=－15或6x=－4。 ∴ x1=－，x2=－。
四、对于广义的“一元二次方程",可采用换元法求解。
例5 解方程＋=3。
解:令=t,则原方程转化为t＋=3，即t2－3t＋2=0。解得t1=2，t2=1.
当=2时,解得x1=，x2=;
当=1时，解得x3=－3，x4=2。
经检验x1、x2、x3、x4都是原方程的根。
例6 解方程(x－1)(x－2）(x－3）（x－4）=48。
解:原方程即［（x－1)(x－4）][(x－2）(x－3)］=48,
即 （x2－5x＋4）( x2－5x＋6)=48。
设x2－5x＋5=y，则原方程变为(y－1)(y＋1）=48。
解得y1=7，y2=－7。
当x2－5x＋5=7时，解得x1=,x2=。
当x2－5x＋5=－7时，△=(－5）2－4×1×12=－23＜0，无实数解。
原方程的根为x1=，x2=.
说明：本题的换元法也称为平均值换元法，因为y== x2－5x＋5.另本题也可设y= x2－5x＋4或y= x2－5x＋6，同学们不妨试试看，并比较几种换元法的异同点。
例7 解方程6x4－35x3＋62x2－35x＋6=0.
解:经验证x=0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得
6x2－35x＋62－＋=0。
即 6()－35()＋62=0. (﹡）
设y=，则=y2－2.
方程（﹡)变为 6（y2－2）－35y＋62=0.
解得 y1=，y2=。
当=时，解得x1=3，x2=；
当=时,解得x3=2，x4=。
说明：换元法解分式方程，是中考命题的一重点，统计2003年全国中考试卷发现，大多数省市都有这一类试题。同学们一定要掌握这一，并能熟练运用。