面向数学资优生教学的课堂环节设计.pdf

引用格式：阝陈思洲，张勇课草环卫设计023(4):20-28高效率数学教学设计中等数学20面向数学资优生教学的课堂环节设计张勇2陈思洲1（1.江西师范大学附属中学，330 0 2 72.云南师范大学数学学院，6 50 50 0)摘要：我国数学资优教育领域的研究起步较晚，针对资优生思维特征的课程与教学研究还不够成熟.结合数学资优教育理论与中学数学教学实践，通过教学案例，研究面向高中数学资优生教学的课堂要素.根据数学资优生思维的密性、跳跃性、抽象性、系统性和元认知特征开展关键环节的设计，探索能够让学生领悟并理解数学、提升数学学习的痴迷度与专注度和发展学生高阶思维的数学资优生教学策略.关键词：数学资优生；课堂教学；数学奥林匹克中图分类号：G451文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 4-0 0 2 0-0 9数学资优生的甄别与培养党的二十大报告指出：“我们要坚持教育优先发展全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”近年来，教育部推出“强基计划”等资优项目以促进基础学科拔尖创新人才的选拔与培养，挖掘有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生【2.目前，我国主要通过重点中学、实验班、少年班、竞赛培训等途径开展资优教育，通过学科竞赛、“英才计划”等项目促进资优教育的发展【3.以数学竞赛为例,其培训体系呈现出“校级一省市级一省际级”的结构，兼顾普及与提高，交叉覆盖到学生的各个年龄段以及各学习水平层次.校级培训是我国开展数学竞赛强大的基层力量，往往先从课内教学开始，到竞赛普及，再到竞赛提高.整个过程大致可分为基础训练、专题训练、强化训练、赛前训练四个阶段，各个阶段强调的重点有所不同【4，有些重点中学着眼数学竞赛，开发了专题性强、训练水平高的数学竞赛培训体系，通过数学竞赛等项目发现、选拔、培养人才，成就了一批学科拔尖创新人才.数学资优生的早期甄别是资优教育的起点，一般关注三个维度：对数学的领悟力与理解的深刻性（模式迁移、方法迁移、思想迁移和创新与突破）,对数学的痴迷度与专注度（释疑、探究、成败和完美方面的坚持性）和数学思维的镇密性与跳跃性【5.数学资优生的培育一般采取三方面的策略：采用“1+N”的导师带教方式、促进数学学习能力相近的学生团队开展学习风暴式的合作交流、注重学生数学发展的可持续性【6.数学资优生培育的影响因素包括：（1）课程难度.相较于低难度的课程，数学资优生需要更具挑战性的课程以提升学习动机.（2）分组教学.数学资优生学习速度快，慢节奏的课堂教学不易培收稿日期：2 0 2 3-0 3-2 3修回日期：2 0 2 3-0 5-18基金项目：南昌市教育科学“十四五”规划重点招标课题“双减背景下初中数学资优生培养方法研究（重类2 2-11）作者简介：陈思洲（1997 一），男，江西上饶人，二级教师，主要从事数学资优教育研究。2023年第4期21养他们的灵活思维，他们需要不同形式的分组教学.（3）教师期望.若教师因未发掘学生潜能而期望过低，资优生可能会在“皮格马利翁效应”的影响下表现出低成就.（4)学习氛围.学生与同伴形成学习共同体，有利于促进彼此的发展.（5）教学风格.学生适应了教师的教学风格后，就能发挥最大的学习效果并提升学习兴趣.（6）教学策略.资优生不需要过多的讲解、演示和重复练习，而需要较多的机会去探索并分析自已的认知结构和元认知3.数学教育领域涌现了大量的中高考数学课堂教学设计的研究.例如：基于单元教学设计，以问题串为主线设计单元复习课的教学，遵从梳理知识结构、明确核心问题、思考设问、解决问题的方式增补学生的知识结构体系【7.然而，常规数学教学侧重于传授知识、模仿技能和解题训练，这虽然有利于普通学生掌握好数学的基本框架，但不利于资优生开展深入的思考.照顾普通生与资优生，实际上是相辅相成并行不悖的两个方面【8.面向数学资优生的教学，一般通过充实、区分和加速升级三种途径，并遵循学生特点分析与学科结构整合、教师能力的储备与选择内容的匹配、数学命题研讨与学生思维品鉴、数学教学的文化与数学核心能力的夯实四个基本原则【9.数学资优生需要高效率的数学教学，他们往往具备丰富的关于个体、任务和策略的元认知知识，但需要教师加强学生的自我定向与计划、组织与管理行为的引导以及自我检验意识的培养、强化数学元认知体验在学习过程中的促进作用【10.高效数学教学行为应该凸显科学性、智慧性与艺术性等特征【11,注重学生的情感体验，激发学生学习兴趣、建立知识的联系，灵活运用所学知识，重视数学学习中的交流质量、注重数学思想方法的渗透、重视问题而不是习题12 基于此，面向数学资优生的课堂环节应有别于常规课堂，应着重体现数学学科的思维特征：思维的密性、跳跃性、抽象性和系统性，并在教学中发展学生的元认知能力.让学生在教学中能够领悟并理解数学，提升数学学习的痴迷度与专注度，并不断发展高阶数学思维2面向数学资优生教学的课堂环节江西师范大学附属中学近年来不断探索数学资优生的培养和数学竞赛选手的辅导与教学实践体系，并取得了一定成绩.选取高一数学竞赛队的十余名学生为教学对象，他们已经具备了处理数列问题的基本知识和方法，但接触的高难度的综合题不多.根据数学资优生思维的密性、跳跃性、抽象性和系统性，以积累解决数列综合问题的元认知、发展数学思维为目标，选取了11道数学竞赛试题.课前两天给每名学生发放了7 道例题，以便学生提前思考问题,构建初步的问题架构.课上先是开展90 分钟的交流讨论，随后给学生留下了6 0 分钟的思考与讨论时间.为便于教学过程的揭示，仅摘录课堂教学中的关键片段.2.1精准导入，突出思维的密性教师：本节课我们探究几道数列综合题，通过赛题训练解题的思路。例1丝给定整数n2.求最大的正整数N,使得存在N+1个实数ao,a，a 满足：1(1)ao+aj=n(2）对任意1kN-1,有中等数学22(a,+ak-1)(a:+ak+1)=ak-1ak+1（2 0 2 2，欧洲女子数学奥林匹克）师：问题中的数列形式有何特征？生1:式右边的ak-1=k+可以变换为(a+ak-1)-(a:+ak+1),便得到两式之和与两式之积的结构。生2：由条件（2）知ak-1-ak+11=(a;+a-)(a:+ak+1)11ak+ak+1ak-1+ak1累加得K=+n.ak+ak+11若k=n,则=0,矛盾.故kn.ak+ak+1从而Nn.做完了.师：这样的解答严谨吗？生3：当N=n时，由递推关系1ak+1a(1kN-1),k-n可以构造出数列ia，应该没问题.生4：还要考虑分式结构的性质,若存在k,使得ag+ak+1=0,则ak-1=ak+1,于是,ak-1+ag=0,推得a+af=a,+ak+1=0,矛盾.故递推式成立，N的最大值为n.师：很好，在考虑问题的时候，我们要认真观察，分析解题过程的合理性.例2 设整数n4，x,x 2,x,是实数.已知存在正实数，使得对任意n，有2=+Xi+1X;+2(xn+1=X1,Xn+2=x2)求证：x，x 2，x,中至少有两个为负数，（2 0 2 2，保加利亚数学奥林匹克）师：问题中的数列形式有何特征？生3：我发现等式两边同时乘以x+得2+x+12=ax.X1+11+11+1i+2累加得a(x+x2+x,)=0.生5：这意味着着x，x 中至少有1个负数.生4：我好像会了，不妨设x0,矛盾.生4：这里有个不足，要考虑x的合理性，前面是对n5时成立.当n=4时，=+x4X=a0,矛盾.设计意图：问题是数学的心脏，数学资优生的教学离不开解题教学.Schoenfeld认为，个体的知识基础、启发式解题策略、元认知监控和信念四个行为类别对于分析其解题成功来说是“充分必要”的【13.因此在解决有思维挑战的问题前，选取两道难度在学生能力范围内，但容易产生错误的问题，以训练学生思维的密性.在成功解题后加强学生的信心，激发其学习兴趣.2.2精巧设计，激发思维的跳跃性例3设c是非负整数.求所有的无穷正整数列ia，,满足：对任意正整数n，恰存在a,个正整数i使得a,an+I+c.（2 0 2 3，日本数学奥林匹克）师：问题中的数列形式有何特征？（长时间无回复）师：由数列，的构造，如何分析其单调性？生7 你来试试.生7:若存在k,使得aak+1，由定义知恰有个i满足a,ak+I+c,恰有ak+（小于at)个i满足a,ak+2+c,故ak+/ak+2,与lanl是无穷正整数列矛盾，即，是不减的.师：很好，我们可以形象地列出表1.=n+c+l.=c+1.得到an故：生1:对任意n2N,有a,a+NN,故232023年第4期表1a2a3an-1a,+ca2+ca3+can-1+can+1an+2a,+can+1+can+2+c师：发现的单调性有什么用？生4:由单调性知aaan+1+ca+1生1：考虑到1a，是无穷正整数列，故存在N,使得aj=a2=an,对任意nN时,a,严格递增.师：思维有点跳跃了，为什么一定存在这样的N？生1:如果a,=ak+1,那么a,=ak-1，可以一直往前倒推.若不存在这样的N,那么数列la，就是一个定值，这不成立.生2：为了使用单调性,对任意nN,有an+I+caa+e,故a,n+1+c,我感觉基a本可以认为ia，就是个等差数列了.生3：我构造出来了,应该是，=n+c+1.师：别高兴得太早，得出了数列的通项公式只完成了一半的问题，如何证明通项公式的唯一性呢？an+1+caaa.+Ia,+1+1+c,得到a+Ia,+2,于是an+=a,+1,即ia,f是公差为1的等差数列，设为a.=n+t.由a.a+caa,得a,+t=n+2tn+1+t+c2N.所以得到a,=n+c+1只能对n3N成立.生1：接下来可以通过倒序归纳完成.若am=m+c+1,则只有 a,a2,am这m+c=am-l个项的值不超过am+c.例4设数列la,满足=1,且对任意n0,an+1=a,a,ar.求数列ia,的通项itj+h=n公式.（2 0 2 2，北京大学数学金秋营）师：问题中的数列形式有何特征？（长时间无回复）师：试试母函数法，生6：构造函数f()=l+ajx+a2x2由递推关系得f()-1f3(x)x=f(x)-1 x=生2：那么只需f()的泰勒展开式就行.生1：我在相关书籍上见过，已知f()的反函数，可以用拉格朗日反演公式求(x)泰勒展开式的系数：n1a,=(f(x)-1)-1(f()-1)n(f()-1)=(f(x)-1)-1 f3(x)=Cnn师：本题为什么想到使用母函数法？师：本题为什么想到使用母函数法？生2：我感觉是由递推关系得到的.在角标的和为定值的情况下，研究对应项的积，就是将和运算转化为积运算，而幂运算能实现这个目标。设计意图：这两个例题增加了对数学理解的要求，学生在成功解决了例1、例2 两题后，至此遇到了较大的困难，需要跳跃性地联系数列的综合性质.例3先从单调性的角度切人，看似缺乏逻辑，实则是考虑了数列的函数性质,从单调性人手,再研究数列对应函数的解析式.例4从数列的角度很难寻找规律，从系数的角度，考虑幂运算并联想到母函数法在计数问题中的应用,将其化为研究(x)k(k-I)24中等数学泰勒展开式的系数问题，引人拉格朗日反演公式.跳跃的思维虽然逻辑性不强，但它一般源于问题、源于已有数学经验，是学生解决高难度、综合问题的基础.本环节有利于引导学生思考问题的本质，为思维的跳跃性提供可能.2.3精细演绎，训练思维的抽象性例5考虑所有满足以下两个条件的实数序列Xo,X1,X100(2)对任意110 0,有1x;-x;-,2.求最大的正整数k100,使得对任意这样的序列,均有x+X+.+x00 x+x+.+X-14（第2 1届中国女子数学奥林匹克）师：问题中的数列形式有何特征？生3：我觉得可以直接算，考虑极端情况，只需要分析x;-x;-E1,21.若前k-1个差为2,后面n-k+1个差为1,就可以了.此时式左边=(3k+100)(101-k)2,式右边=2(3k+100)(101-k)k(k-1)生1：根据22得k81，故极端情况下应该是k=81.max师：别急，再验证一下。生4:有问题，若-减少1,会导致式左边减少2 0，而式右边不减少。（沉默许久）师：不妨将一些变量抽象出来，便于分析.令 d,=x;-xi-1A=Xo+x+.+Xk-1B=X+Xk+1+.+x100.生1的思路比较自然，可以优化一下。生6：不妨设 sk，设d,=d,=.=d,=2,d.+1=d$+2=.=doo=1.师：继续考虑求和.生7：A的求和中有两段，字母太多了，直接求总和-s2+201s2A+B=+5050,2(k+100+2s)(101-k)B=2根据2 BA+B得2k2+2(2s 1)k-(s+203s+10 100)0=kV6*+402 0 20+1-22生8：这就变成了单变量的函数，只需要分析关于s的函数V6s2+402s+20 201+1 2sg(s)=2的最小值.6s+201由g(s)=-2,令g(s)=V6s?+402s+20 2010得-201+/161 610S=33.5.6故 g(s)min=min g(33),g(34).代人得g(33)67.5,g(34)67.5.于是,6 7 g(s),68,从而k67.代人得g(33)67.5,g(34)67.5.于是,6 7 g(s)mm68,从而 k67.生3：我来补充一般性的证明说明k,nax67.根据1x;的构造知：数列x,2i(1100),对0 s0.1252023年第4期例6设正整数列1a，、1b,满足：1aj=b=1,b,=a,b,(n2).n一4m1求4/b.b.bm的最小值，+k=1aja2.ak其中m是给定的正整数.15（第19届中国东南地区数学奥林匹克）师：问题中的数列形式有何特征？生1：可以将问题抽象为一个函数，令m1fm=4/byb2.bm+k=1a,a2.ak生5：我发现了一个条件特征：化为，二=44-br-1后，联想到对形如的结构使4b,+14x+1n用“求反”技术，116x4-4/k,44x+14x+11当x=日时，上式等号成立.4则f=4+1=5,4J2=4./b,+1+4b,+116b,46,+1,4/b,+1+(4-4/b,)5.生4：我看看一般性的规律：14b246,4m-1a,a2:an4b,+146+146m+1mm4b246,16b,m-14m4b,+14b6m46m+1m4b24b,46,4./bm）.m-14-一4b,+14b;+14b,+1m-11则aja2:am-1aja2.am4b24b346,m-24b,+14b,+14bm-2+144bm1(4-4/b.m)46+14bm-1+1m4b24b,46,m-24b,+1 4b;+146-2+1m166,m4m46m-1+14b24b346,m-24b,+14b;,+146bm-2+1(4-4m-bm生5：没错，可以直接归纳.当b=b,=bm=二时,式等号成立,故f的最m4小值为5.设计意图：数学资优生往往具备较高的数学推理能力，在教学中通过引导学生深人思考问题本质，发展思维的抽象性，以发现问题中隐含的关系.例5在考虑差以及两段和时，引人新元便于进一步发现问题的结构.例6的解答过程较为巧妙，学生先是构造关于m的函数寻找规律，同时跳跃性地探索出使用“求反”技术放缩不等式，再归纳证明问题.学生通过对问题进行抽象地观察，对抽象概念、抽象性质进行抽象构造与符号化的表征,结合逻辑推理，有效地提升了思维的抽象性16 2.4精益求精，增强思维的系统性例7 求所有的实数C,使得若ia,是有下界的无穷整数列,且对任意n2都有0an-1+Ca,+an+1,则ia,是周期的.(2022，伊朗国家队选拔考试）师：本次课程即将进入尾声，最后这个问题由同学们自行讨论完成.生1：感觉像等差数列的样子，先试试.若C=-2,则a1=2a,-an-,取a,=n满中等数学26足题意且1，无周期.生 2:进一步,对C-2均满足条件.（长时间停顿）师：试试反证法，生4：假设，无周期.取a，的下界为M,不同数对(an,an+1)唯一确定an-和an+2,故la,无上界.生7:当C0时,由an-1+Ca,+aa+1及la,的下界为M得M+Ca,+Ml,即a,1-2M与a，无上界矛盾.生5：难点在于当-2 C0时，如果采用同样的放缩需要证明无穷个an-I+Ca,+an+IM+0+an+把an+压缩在一个范围内了.则无穷数对(a,，a a+1)只能在Ma,0,Man+IN，有,0,只需要证明这个矛盾，生5：根据其等差背景构造：b,=an+I-an,b,-ba-=an+t-a,-(a,-an-1)=an-2a,+a a+1-当a,0,有an-I-2a,+an+an-I+Ca,+aa+l于是，b,bn-1,故对任意nN,数列ib,不增.若1b无下界，则1b，会取到负值，故la，会一直递减到负值，矛盾；若1b，有下界d,则存在N,使得对任意nN,有b,=d.当d0的等差数列，a,=a+nd对任意nN成立.由条件a+(n-1)d+C(a+nd)+a+(n+1)dl,得(C+2)(a+nd)N成立,当n1aC+2时矛盾.d设计意图：中学教师的一项任务是加强解题能力的训练，指导学生有效解题，标志之一是学生能够应用所学知识深人思考问题.例7 具备较大难度，需要经历多次的构造与转化，并且要分成多种情况展开讨论.数学思维的系统性包括对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，采用科学的逻辑方法，准确而有条理地表达自己思维过程的能力【11.让学生在困难的解题情境中思考交流，体会思考问题的过程，拓宽思维的系统性2.5主动探究，发展元认知能力教师：本节课我们主要通过7 道例题感受了数列综合问题的解决过程，从中训练了思维的密性、跳跃性、抽象性和系统性.为了更好地提升解题能力，请同学们在课后认真完成4道作业题，互相交流解法，体验解题过程.1.在无穷序列j2.中，任两项不相等.称a,a,am-是长为m的单调的一段：如果aaiai+i.ai+m-1已知对每个正整数k,项a,都在某个长为k+1的单调的一段中.求证：存在正整数N,使得序列av,aN+是单调的.（第2 8 届俄罗斯数学奥林匹克）272023年第4期2.设正数列1a，满足：aj=1+V2,(a,-an-I)(a,+an-1-2/n)=2(n2).(1)求数列ia，的通项公式；(2)求满足a,=2 0 2 2 的所有整数n构成的集合.15（第19届中国东南地区数学奥林匹克）3.已知数列1a,、1b,满足aj=2,b=0,z=2,b,=2,且对n3,有:a,=an-1 n-2-b,-lba-2 b,=an-1bn-2+an-2b,n-1求la2 02l的末两位数字.(2022,中国数学奥林匹克希望联盟夏令营）4.设正实数列1a，、1b,满足：对任意正整数n,均有11aa6=b.+n+1n+11+1+=1(1)若 ajobioo=ajoibio1,求 a,-b,的值;(2)若a1oo=bg,比较aj0o+bo 与 a1o1+b1o1的大小,17(2022，全国中学生数学奥林匹克（决赛）)设计意图：作业题关注了学生思维能力的提升价值，培养学生认真钻研数学问题的习惯，并鼓励学生互相交流，发展元认知能力.第1题,有助于训练学生进一步探究数列的函数性质，通过反证法及分类讨论思想完成论证，发展思维的密性；第2 题，有助于训练学生探究Vn+Vn+i为代表的特殊结构，通过特殊值分析及放缩发展思维的跳跃性；第3题，有助于训练学生探究运算的本质属性，跳跃性构造复数模型及解决同余问题，发展思维的抽象性；第4题,有助于训练学生对数列递推关系的综合认识，通过观察代数式、比较式子特征、分析结构特点、转化问题完成论证，发展思维的系统性.3教学反思通过课堂学习，学生加深了对数列问题的认识，并能合作完成预留的作业.第1题中，学生通过作图或代数式，描述了数列单调性与区间长度的关系，从中发现问题的切人点；第2 题中，学生通过放缩和平方，根据平方数模4的特征创造性地给出了V4n+1=a,=V4n+2=V4n+3;第3题中，学生在受到复数法的提示后，将问F2021-1题转化为求1a2 02/=2F2022+2模10 0 的余数，通过欧拉定理和同余式的周期得到正确答案6 4；第4题中，学生经过长时间的努力，构造出了正确的形式解决了问题数学资优生要通过解决需要某种程度独立思考、判断力、独创性和想象力的问题，以发展自身的高阶数学解题能力.数学教师要“教会学生思考”，既包括“有目的”“有意识”的思想，也包括引导学生去猜测“非形式化”的思想【18.课堂设计了对初学者而言极具挑战性的问题,虽然授课的过程有所曲折，但每个追问都能收到回复，说明激发了学生的主动思考.面向数学资优生的教学一大根本是构建良好的教学实践体系及激发学生的学习的主动性，让他们保持学习数学的兴趣,形成良好的学习习惯并提升学习效率.让学生在了解数学的逻辑结构时，把握数学知识的脉络，领悟蕴含的思想方法【6.并且能够通过课程，发展思维的密性、跳跃性、抽象性和系统性，并不断发展元认知能力.上接第17 页28中等数学参考文献：1习近平，高举中国特色社会主义伟大旗帜为全面建设社会主义现代化国家而团结奋斗一一在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告.中国合作经济，2022(10):4-31.2施观雪，毕华林.“强基计划”背景下基础教育人才培养的新要求J.教育理论与实践，2 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9：311-315.k-1110pak=pakPi=0a;i+1i=ka;i+1Pak+1-1k-11这与pak9是整数矛盾，即a.;+1)Pi=0得x为无理数.从而构造出满足条件的无理数.关于这个问题我们开始是没有解决的，以上做法来自2 0 2 3年中国国家集训队队员、上海市上海中学的王淳稷同学.另外浙江大学的王枫教授还指出，满足题目条件的x是零测集.