1.1复数以及复平面曲线.ppt

机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 复变函数与积分变换复变函数与积分变换任课教师：滕岩梅任课教师：滕岩梅Email:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三种情况：三种情况：1.已学习复变函数与积分变换。已学习复变函数与积分变换。3.没有学习过积分变换，将来使用。没有学习过积分变换，将来使用。2.正在学习复变函数与积分变换。正在学习复变函数与积分变换。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 课程特点：课程特点：1.注意复变与微积分不同之处。注意复变与微积分不同之处。4.积分变换公式多，计算量大。积分变换公式多，计算量大。3.形式上一元函数，实质二元。形式上一元函数，实质二元。2.复复-实实-复。复。5.类型问题。类型问题。复变复变函数函数积分积分变换变换总结：总结：应用广泛。应用广泛。学好本门课程并不容易。学好本门课程并不容易。4.基本公式，基本公式，定理掌握。定理掌握。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 考试方面：考试方面：平时平时 40%期末：闭卷，期末：闭卷，填空、选择、计算填空、选择、计算 60%机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一章第一章 复数复数一、复数的概念及代数运算二、复数的几何表示三、复数的积与商四、幂与根五、曲线与区域六、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、复数的概念及代数运算z=x+iy虚虚部部实部虚数单位复数：复数：或或 z=x+yi.实部和虚部分别实部和虚部分别1.复数的概念复数的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.两复数两复数相等相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分别它们的实部和虚部分别相等相等.复数复数 z 等于等于 0 当且仅当当且仅当它的实部和虚部同时它的实部和虚部同时等于等于0.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.复数的代数运算复数的代数运算1.两复数的两复数的和和(差差):2.两复数的两复数的积积:3.两复数的两复数的商商:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 共轭复数的性质共轭复数的性质:以上各式证明略以上各式证明略.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、复数的几何表示1.复平面的定义复平面的定义2.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.复数的辐角复数的辐角 说明说明辐角不确定辐角不确定.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 辐角辐角主值主值的定义的定义:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4.复数和差的模的性质复数和差的模的性质机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式5.5.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、乘积与商三、乘积与商命题命题1 两复数相乘就是把模相乘两复数相乘就是把模相乘,辐角相加辐角相加.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 命题命题2商的模等于模的商商的模等于模的商;商的辐角等于辐角之差商的辐角等于辐角之差.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习 将复数将复数化为三角形式化为三角形式.解解三角形式为三角形式为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、幂与根四、幂与根1.n次幂次幂:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 棣莫佛公式棣莫佛公式2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时,这些根又重复出现这些根又重复出现.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 从几何上看从几何上看,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3解解即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习 将复数将复数化为三角形式，化为三角形式，并求并求解解因为因为所以所以k=0,1,2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、复平面上的曲线与区域五、复平面上的曲线与区域区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界1.区域区域外点外点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 区域区域:如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它则称它为一个区域为一个区域.(1)D是一个是一个开集开集；(2)D是是连通的连通的,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用完全属于完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 边界点、边界边界点、边界:设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点P 的任的任意小的邻域内总有意小的邻域内总有D中的点中的点,也有不属于也有不属于D的点，的点，这样的点这样的点P 我们称为我们称为D的的边界点边界点.D的所有边界点组成的所有边界点组成 D 的的边界边界.说明说明区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的组成的.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1)圆环域圆环域:课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 4解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为平面上曲线可用复数形式的方程或不等式表示，反平面上曲线可用复数形式的方程或不等式表示，反之亦然之亦然.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2、单连通域与多连通域、单连通域与多连通域连续曲线连续曲线:由复数方程由复数方程:那么那么所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 光滑曲线光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 简单曲线简单曲线:没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线(或若尔或若尔当曲线当曲线).).机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B,就称为就称为单连通域单连通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线,不是区域不是区域.单连通域单连通域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指出指出是单连通域还是多连通域是单连通域还是多连通域?解解(a)无界多连通域无界多连通域.Oxy1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (b)Oxy-ii1/2(c)Oxy-1-i无界单连通域无界单连通域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 六、小结六、小结 应熟练掌握复数乘积与商的运算应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便形式中以三角形式、指数形式最为方便:学习的主要内容有复数的模、学习的主要内容有复数的模、辐角辐角;复数的各种复数的各种表示法表示法.重点是几种表示法之间的相互转化重点是几种表示法之间的相互转化.幂与方根的计算幂与方根的计算.重点是方根的运算重点是方根的运算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业：作业：P11 1(2)(4),3(3)P12 6(2)10(3)放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.