资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B． C． D．
3．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（ ）
A．2组
B．3组
C．4组
D．5组
4．事件①：射击运动员射击一次,命中靶心;事件②：购买一张彩票,没中奖,则( )
A．事件①是必然事件，事件②是随机事件 B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是随机事件 D．事件①和②都是必然事件
5．如图，以点为位似中心，将放大得到．若，则与的位似比为（ ）．
A． B． C． D．
6．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．
7．从﹣1，0，1三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
9．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么线段AC的长可表示为（ ）．
A．； B．； C．； D．．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____．
12．布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是________．
13．如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则________．
14．抛物线的对称轴为直线______.
15．如图，让此转盘自由转动两次，两次指针都落在阴影部分区域（边界宽度忽略不记）的概率是____________.
16．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线的函数解析式是____．
17．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是__________．
18．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围是 ．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）
21．（6分）阅读下面的材料：
小明同学遇到这样一个问题，如图1，AB=AE，∠ABC=∠EAD，AD=mAC，点P在线段BC上，∠ADE=∠ADP+∠ACB，求的值．
小明研究发现，作∠BAM=∠AED，交BC于点M，通过构造全等三角形，将线段BC转化为用含AD的式子表示出来，从而求得的值（如图2）．
（1）小明构造的全等三角形是：_________≌________；
（2）请你将小明的研究过程补充完整，并求出的值．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，若将原题中“AB=AE”改为“AB=kAE”，“点P在线段BC上”改为“点P在线段BC的延长线上”，其它条件不变，若∠ACB=2α，求：的值（结果请用含α，k，m的式子表示）．
22．（8分）如图，在梯形中，，，，，，点在边上，，点是射线上一个动点（不与点、重合），联结交射线于点，设，.
（1）求的长；
（2）当动点在线段上时，试求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点运动时，直线与直线的夹角等于，请直接写出这时线段的长.
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一动点，抛物线(是常数，且过点，与轴交于两点，点在点左侧，连接，以为边做等边三角形，点与点在直线两侧．
（1）求B、C的坐标；
（2）当轴时，求抛物线的函数表达式；
（3）①求动点所成的图像的函数表达式；
②连接，求的最小值．
24．（8分） “一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．
（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？
（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．
25．（10分）如图，在正方形中，点在边上，过点作于，且.
（1）若，求正方形的周长；
（2）若，求正方形的面积.
26．（10分）解方程：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题解析：∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
2、A
【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．
【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．
∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．
∵∠AEF=143°，
∴∠AED=37°．
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED，AE=1.2米，
∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，
则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．
3、A
【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；
②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；
③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；
④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；
⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；
⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；
所以正确的有③⑥．
故选A．
4、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；
购买一张彩票，没中奖是随机事件，
故选C．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5、A
【解析】以点为个位中心，将放大得到，，可得，因此与的位似比为，故选A.
6、C
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7、C
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．
【详解】解：根据题意列表如下：
﹣1
1
0
﹣1
﹣﹣﹣
（1，﹣1）
（0，﹣1）
1
（﹣1，1）
﹣﹣﹣
（0，1）
0
（﹣1，0）
（1，0）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
所以该点在坐标轴上的概率＝；
故选：C．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了点的坐标特征．
8、C
【分析】由题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0，解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选C．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解法,掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键.
9、B
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍.
【详解】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，
∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，
∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=1．
故选：B.
【点睛】
此题主要考查根据三角形中线性质求解面积，熟练掌握，即可解题.
10、B
【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，
∴m 2＋2 m－7＝0，即m 2＋2 m＝7；m＋n＝－2．
∴m2＋1m＋n＝（m 2＋2 m）＋（m＋n）＝7－2＝1．
故答案为：1
12、
【解析】应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可．
【详解】解：
红1
红2
红3
白1
白2
红1
--
红1红2
红1红3
红1白1
红1白2
红2
红2红1
--
红2红3
红2白1
红2白2
红3
红3红1
红3红2
--
红3白1
红3白2
白1
白1红1
白1红2
白1红3
--
白1白2
白2
白2红1
白2红2
白2红3
白2白1
--
∵从布袋里摸出两个球的方法一共有20种，摸到两个红球的方法有6种，
∴摸到两个红球的概率是．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
13、12
【解析】试题分析：
由题意，设点D的坐标为（x，y），
则点B的坐标为（，），
所以矩形OABC的面积，解得
∵图象在第一象限，
∴.
考点：反比例系数k的几何意义
点评：反比例系数k的几何意义是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.
14、
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．
【详解】∵抛物线y=x2+8x+2=(x+1)2﹣11，
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15、
【分析】先将非阴影区域分成两等份，然后根据列表格列举所有等可能的结果与指针都落在阴影区域的情况，再利用概率公式即可求解.
【详解】解：如图，将非阴影区域分成两等份，设三份区域分别为A,B,C,其中C为阴影区域，列表格如下，
由表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两次指针都落在阴影区域的有1种，为（C,C），所以两次指针都落在阴影区域的概率为P= .
故答案为：
【点睛】
本题考查了列表法或树状图求两步事件概率问题，将非阴影区域分成两等份，保证是等可能事件是解答此题的关键.
16、
【分析】根据题意先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为（0，0），
向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的图象的顶点坐标为（1，-2），
所以得到图象的解析式为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
17、
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是： ．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．
18、32
【解析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．
【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得1﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．
∵3+3＝2＜1，∴3不能为等腰三角形的腰；
②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝32，此时x1＝x22．
∵3、2、2可以围成等腰三角形，∴k＝32．
故答案为32．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）y＝x1﹣x﹣1；（1）﹣1＜x＜1．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（1）结合函数图象解答．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（1，0）分别代入y＝x1+mx+n，得
．
解得．
故该抛物线解析式是：y＝x1﹣x﹣1；
（1）由题意知，抛物线y＝x1﹣x﹣1与x轴交于点A（﹣1，0），B（1，0）两点，且开口方向向上，所以当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜1．
故答案是：﹣1＜x＜1．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式.
20、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可．
（2）求出∠BOD=∠GOB，从而求出∠BOD的度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：（1）证明：连接BD、OD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
∴BD⊥AC．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵AO=OB，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线．
（2）连接OG，
∵DG⊥AB，OB过圆心O，
∴弧BG=弧BD．
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°．
∴∠BOG=∠BOD=70°．
∴∠GOD=140°．
∴劣弧DG的长是．
21、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据已知条件直接猜想得出结果；
（2）过点作交于点，易证，再根据结合已知条件得出结果；
（3）过点作交于点，过点作，得出，根据相似三角形的性质及已知条件得出，进而求解．
【详解】（1）解：；
（2）过点作交于点．
在中和，，，，
∴．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∵．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：过点作交于点．
在中和，，，
∴．
∴，．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
过点作．
∴，，．
在中，，
∴．
∴
．
∴．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质及判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质并能灵活运用.
22、（1）；（1）；（3）线段的长为或13
【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H，解直角三角形求出EH，CH即可解决问题．
（1）延长AD交BM的延长线于G．利用平行线分线段成比例定理构建关系式即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3-1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°．②如图3-1中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠AHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD=CH=1，AH=CD=3，
∵tan∠AEC=3，
∴=3，
∴EH=1，CE=1+1=3，
∴BE=BC-CE=5-3=1．
（1）延长，交于点，
∵AG∥BC，
∴，
∴，
∵，
∴.
解得：
（3）①如图3-1中，当点M在线段DC上时，∠BNE=∠ABC=45°，
∵，
，
则有，解得：
②如图3-1中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB=∠ABE=45°，
∵，
∴，
则有，
解得
综上所述：线段的长为或13.
【点睛】
此题考查四边形综合题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23、（1）、；（2）；（3）①；②．
【分析】（1），令，则或4，即可求解；
（2）当轴时，则，则，故点，即可求解；
（3）构造一线三垂直相似模型由，则，解得：，，故点，，即可求解．
【详解】解：（1）当时，即，
解得或4，
故点、的坐标分别为：、；
（2）∵等边三角形，
∴，
∴当轴时，，
∴，故点，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）①如图，过点作于点，过点作轴的垂线于点，过点作轴交轴于点交于点，
为等边三角形，
∴点为的中点， ，
∴点，，
，，
，
，
，其中，，
解得：，，故点，，
即动点所成的图像的函数满足 ，
∴动点所成的图像的函数表达式为：．
②由①得点，，
∴，
故当时，的最小值为，即的最小值为．
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，其中（3）构造一线三直角模型，用三角形相似的方法求解点的坐标，是本题的难点．
24、（1）2400万件；（2）1
【分析】（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）以中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%为等量关系，得关于m的一元二次方程，求解，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则
3000﹣x≥1%x
解得：x≤2400
答：该公司计划在线下销售量最多为2400万件；
（2）由题意得：
×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）
化简得：m2﹣1m＝0
解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝1
∴m的值为1．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系和不等量关系，是解题的关键.
25、（1）；（2）.
【分析】（1）利用AA定理证明，从而得到，设，分别用含x的式子表示出AB,BE,ED，代入比例式，求出x的值，从而求正方形周长；（2）在上取一点，使，连接，利用等腰直角三角形的性质求得，，，然后利用勾股定理求得，从而求解正方形面积.
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
设.
∵，
∴.
∴.
∴，
∴，即.
∴正方形的周长为.
（2）如图，在上取一点，使，连接.
∵，，
∴.
又因为∠ABD=∠ADB=45°
∴.
∴.
在中，，
∴.
∴.
在中，.
∴正方形的面积.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，添加辅助线构造等腰直角三角形是本题的解题关键.
26、x1=4,x2=-2
【解析】试题分析：因式分解法解方程.
试题解析：
x2-2x-8=0
(x-4)(x+2)=0
x1=4,x2=-2
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