资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果，那么代数式的值是（ ）.
A．2 B． C． D．
2．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C．÷ D．
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015 B．2017 C．2019 D．2022
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度是（ ）
A． B．1：3 C． D．1：2
7．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2(x+3)2 D．y＝2(x﹣3)2
8．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
9．将二次函数化成顶点式，变形正确的是：（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为_____．
12．若扇形的半径为3，圆心角120，为则此扇形的弧长是________.
13．将抛物线向上平移1个单位后，再向左平移2个单位，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是__________________________．
14．如图，绕着点顺时针旋转得到，连接，延长交于点，若，则的长为__________．
15．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则n的最大值是_____．
16．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
17．如果关于x的方程x2﹣5x+k=0没有实数根，那么k的值为________
18．在半径为3cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为____________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ：
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
20．（6分）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线1：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围．
（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．
21．（6分）如图，△ABC的边BC在x轴上，且∠ACB=90°．反比例函数y=（x＞0）的图象经过AB边的中点D，且与AC边相交于点E，连接CD．已知BC=2OB，△BCD的面积为1．
（1）求k的值；（2）若AE=BC，求点A的坐标．
22．（8分）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米）
23．（8分）如图，点、、都在半径为的上，过点作交的延长线于点，连接，已知．
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（8分）解一元二次方程：．
25．（10分）如图,在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是, , .
（1）以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴右侧画出;
（2） 的正弦值为 .
26．（10分）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：
根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有 人，补全条形统计图．
（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？
（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】（a－）·
=·
=·
=a+b=2.
故选A.
2、B
【解析】如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
过A作AD⊥BC于D，则BD=12，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，
AD=，
故tanB=.
故选B．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．
3、C
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【详解】A、原式＝2﹣，所以A选项错误；
B、3与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝2，所以C选项正确；
D、原式＝3+4+4＝7+4，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4、A
【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝2，再整体代入计算可得．
【详解】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
∴原式＝2019﹣2（a﹣b）
＝2019﹣2×2
＝2019﹣4
＝2015
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
5、A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
6、A
【分析】根据题意，利用勾股定理可先求出某人走的水平距离，再求出这个斜坡的坡度即可．
【详解】解：根据题意，某人走的水平距离为：，
∴坡度；
故选：A.
【点睛】
此题主要考查学生对坡度的理解，在熟悉了坡度的定义后利用勾股定理求得水平距离是解决此题的关键．
7、C
【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
8、D
【分析】因为AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D，所以AP=AC、BD=BP，所以．
【详解】解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
9、A
【分析】将化为顶点式，再进行判断即可．
【详解】
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的顶点式表示形式是解题的关键．
10、B
【分析】如图，根据圆周角定理可得点F在以BC为直径的圆上，根据菱形的性质可得∠BCM=60°，根据圆周角定理可得∠BOM=120°，利用弧长公式即可得答案.
【详解】如图，取的中点，中点M，连接OM，BM，
∵四边形是菱形，
∴BM⊥AC，
∴当点与重合时，点与中点重合，
∵，
∴点的运动轨迹是以为直径的圆弧，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴的长.
故选：B.
【点睛】
本题考查菱形的性质、圆周角定理、弧长公式及轨迹，根据圆周角定理确定出点F的轨迹并熟练掌握弧长公式是解题关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积，再根据线段中点的性质可知，最后根据双曲线所在的象限即可求出k的值.
【详解】如图，连接OP
∵点B为AO的中点，的面积为3
由反比例函数的几何意义得
则，即
又由反比例函数图象的性质可知
则
解得
故答案为：.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质、线段的中点，熟记反比例函数的性质是解题关键.
12、
【解析】根据弧长公式可得：=2π，
故答案为2π.
13、y=(x+2)2-1
【分析】根据函数图象的平移规律解答即可得到答案
【详解】由题意得：平移后的函数解析式是，
故答案为：.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，正确掌握平移的规律并运用解题是关键.
14、
【分析】根据题意延长交于点，则，延长交于点,根据已知可以得到CC´，B´C´，BF，B´F； 求出，∵△MEC´∽△BEC
， 得到 求出CE即可.
【详解】Rt△ABC绕着点顺时针旋转得到，
.
又.
如图，延长交于点，则，延长交于点，则.
，
，即，解得，
∵△MEC´∽△BEC
，，，解得
∴CE=CC´+EC´=3+=
【点睛】
此题主要考查了旋转变化的性质和特征，相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键，注意相似三角形的选择.
15、1
【分析】根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
【详解】综合主视图和俯视图，底面最多有个，第二层最多有个，第三层最多有个
则n的最大值是
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
16、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
17、k＞
【解析】据题意可知方程没有实数根，则有△=b2-4ac＜0，然后解得这个不等式求得k的取值范围即可．
【详解】∵关于x的方程x2-5x+k=0没有实数根，
∴△＜0，即△=25-4k＜0，
∴k＞，
故答案为：k＞．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单．
18、
【分析】根据弧长公式求解即可.
【详解】
故本题答案为：.
【点睛】
本题考查了圆的弧长公式，根据已知条件代入计算即可，熟记公式是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
【解析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
故答案为：；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
20、（1）证明见解析；（2）﹣2≤t≤1；（3）﹣1＜a＜0或0＜a＜1．
【解析】(1)利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x＝h代入一次函数解析式中可得出点(h，2)在直线1上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点；
(2)由a＞0可得出当x＝h＝1时y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
(3)令y1＝y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出＞1或＜﹣1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围．
【详解】(1)∵抛物线C1的解析式为y1＝a(x﹣h)2+2，
∴抛物线的顶点为(h，2)，
当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，
∴直线l恒过抛物线C1的顶点；
(2)∵a＞0，h＝1，
∴当x＝1时，y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，
又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，
∴，
∴﹣2≤t≤1；
(3)令y1＝y2，则a(x﹣h)2+2＝k(x﹣h)+2，
解得：x1＝h，x2＝h+，
∵线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，
∴＞1或＜﹣1，
∵k＞0，
∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0，
又∵1≤k≤3，
∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式，解题的关键是：(1)利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，证出直线l恒过抛物线C的顶点；(2)利用二次函数的性质结合二次函数的最值，找出关于t的一元一次不等式组；(3)令y1＝y2，求出点P，Q的横坐标．
21、（1）k=12；（2）A（1，1）．
【解析】（1）连接OD，过D作DF⊥OC于F，依据∠ACB=90°，D为AB的中点，即可得到CD=AB=BD，进而得出BC=2BF=2CF，依据BC=2OB，即可得到OB=BF=CF，进而得出k=xy=OF•DF=BC•DF=2S△BCD=12；
（2）设OB=m，则OF=2m，OC=3m，DF=，进而得到E（3m，-2m），依据3m（-2m）=12，即可得到m=2，进而得到A（1，1）．
【详解】解：（1）如图，连接OD，过D作DF⊥OC于F，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=BD，
∴BC=2BF=2CF，
∵BC=2OB，
∴OB=BF=CF，
∴k=xy=OF•DF=BC•DF=2S△BCD=12；
（2）设OB=m，则OF=2m，OC=3m，DF=，
∵DF是△ABC的中位线，
∴AC=2DF=，
又∵AE=BC=2m，
∴CE=AC-AE=-2m，
∴E（3m，-2m），
∵3m（-2m）=12，
∴m2=4，
又∵m＞0，
∴m=2，
∴OC=1，AC=1，
∴A（1，1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
22、（1）3.9米；（2）货车能安全通过．
【解析】(1)过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，在Rt△OMN中，求出ON的长，即可求得BN的长，即可求得点M到地面的距离；
(2)左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论．
【详解】(1)如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，
∴ONOM＝0.6，
∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9，
即点M到地面的距离是3.9米；
(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，
∵∠GOP＝30°，∴tan30°，
∴GPOP0.404，
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，
∴货车能安全通过．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
23、（1）证明见解析；（2）6π．
【分析】（1）连接，交于，由可知，，又，四边形为平行四边形，则，由圆周角定理可知，由内角和定理可求，即可得证结论．
（2）证明，将阴影部分面积问题转化为求扇形的面积求解．
【详解】连接交于点，如图：
∵
∴
∴在中，
∴
∵
∴
∴是的切线
（2）由（1）可知，在和中，
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了圆周角定理、平行线的判定、平行四边形的判定和性质、切线的判定和性质、垂径定理、扇形面积的计算以及转换思想和数形结合思想的应用，熟悉各知识点内容是推理论证的前提．
24、
【解析】用直配方法解方程即可.
【详解】解:原方程可化为：
，
∴，
解得：．
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接、，分别取、、的中点即可画出△，
（2）利用正弦函数的定义可知．由，即可解决问题．
【详解】解：（1）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点 、、，顺次连接 、、，△即为所求，如图所示，
（2），，，
，
．
，
．
【点睛】
本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．注意：记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
26、（1）144°，1；（2）180；（3）．
【解析】试题分析：（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图；
（2）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解；
（3）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°；
“经常参加”的人数为：40×40%=16人，喜欢足的学生人数为：16﹣6﹣4﹣3﹣2=1人；
补全统计图如图所示：
故答案为：144°，1；
（2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×=180人；
（3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图．
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