高等代数2学期07-08A[1].答案doc.doc

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期高等代数（II）期末考试（A卷）答案与评分标准一、填空题(每小题3分,共30分)1、设W1和W2是Rnn的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实上三角矩阵构成, 则 W1+W2的维数等于 n2 ，W1W2的维数等于 0 2、 全体正实数的集合R+ 关于如下定义的加法与数乘: ab = ab, ka = ak, 构成实数域R上的线性空间,该空间中的零向量是 1 ，维数是 1 .3、线性空间中，矩阵在基，下的坐标为 4、若P3的变换A：A(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + a)是P3的一个线性变换，则a=0此时A的核是5、已知方阵有特征值0,0,3,则a,b的值分别为 1,1 6、已知四阶方阵A的全部初等因子为 则其有理标准形为7、已知三阶实对称方阵A有特征值2,2,3,且是属于3的特征向量。则A的属于2的线性无关的特征向量是 8、欧氏空间中一组基的度量矩阵是 9、三维线性空间的两组基的对偶基分别是。若从基到基 的过渡矩阵为，则从对偶基到对偶基 的过渡矩阵是10、设是数域上的3维线性空间的一组基，是上的一个线性函数。若，则= 2 二、(15分)给定线性空间P4中的两个向量如下: a1 = ( 1, 1, 0, 0 ), a2 = ( 0, 1, 1, 1 );令W1 = L(a1, a2 )，(1) 求 W1 + W2 的维数和一组基；(2) 求W1W2 的维数和一组基。解 其中 .4分 （1） .6分的一个极大线性无关组是。所以W1 + W2 的维数是4，一组基是。 .9分（2）设 .11分则即b=2a。这样W1W2 .14分它的维数是1，一组基是 .15分三、(14分)在线性空间P x 3中定义线性变换A为： A (a+bx+cx2) = (ac) + bx + (ca)x2 ， (1) 求A在基1, x, x2下的矩阵；(2) 求出P x 3的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵解 (1)A在基1, x, x2下的矩阵为 5分(2)A的特征多项式 .8分对应特征值0，解齐次线性方程组得基础解系对应特征值1，解齐次线性方程组得基础解系对应特征值2，解齐次线性方程组得基础解系 .12分令则P可逆。于是1+x2,x,1-x2是基（因为1+x2,x,1-x2 =1,x, x2P），且A在该基下矩阵为 .14分四、（12分）求矩阵的不变因子和Jordan标准形。解 A的特征矩阵的各阶行列式因子是1，1， .4分 因而不变因子是1，1， .7分初等因子是 .9分Jordan 标准形为 .12分五、（14分）设欧氏空间V的一组基的度量矩阵为。令（1）求的一组标准正交基； （2）求的维数和一组标准正交基。解 （1）令 .4分单位化得 为的一组标准正交基。 .6分（2）易知从而是V的一组基。令 .10分 .12分则为其标准正交基，维数为1。 .14分六、证明题（四题任选三题）（每小题5分，共15分）1.设是欧氏空间中的两个向量。若关于中的任意一个向量，有证明2在中，证明微分变换D在任意一组基下矩阵都不可能是对角形。3.设是数域上的n维线性空间，是其真子空间。证明存在的一组基，使得每个基向量都不在中。4.设是欧氏空间中一非零向量。定义上线性变换A : A证明存在的一组标准正交基，使得A 在该基下矩阵为对角阵diag-1,1,1。证明 1.因为关于中的任意一个向量，有特别从而因此2若微分变换D在一组基下矩阵是对角形D，则D的对角线元素都是0，从而D=0，于是D是零变换，矛盾。3若是零空间，则结论显然成立。若不是零空间，取它的一组基，并将其扩充为V的基。那么也是V的基，且其中每个向量都不在中。4令并将其扩充为V的标准正交基，则A在该基下矩阵即为所求。