等差数列的前n项和练习含答案.doc

课时作业8　等差数列的前n项和
时间：45分钟　　满分：100分
课堂训练
1．已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于(　　)
A．33　　　　　　　　 B．34
C．35 D．36
【答案】　D
【解析】　本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋d＝35n＋×(－2)＝0，可以求出n＝36.
2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是(　　)
A．13 B．26
C．52 D．156
【答案】　B
【解析】　3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝＝＝＝26.
3．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30＝________.
【答案】　90
【解析】　等差数列的片断数列和依次成等差数列．
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列．
∴2(S20－S10)＝(S30－S20)＋S10，解得S30＝90.
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
【分析】　(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；
(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零．设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a、b，则可求S28；
(3)由Sn＝n2＋n(a1－)得＝n＋(a1－)，故是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×＝＋，可求得S28.
【解析】　方法一：设{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
由已知条件得：
整理得解得
所以Sn＝－15n＋×4＝2n2－17n，
所以S28＝2×282－17×28＝1 092.
方法二：设数列的前n项和为Sn，则Sn＝an2＋bn.
因为S12＝84，S20＝460，
所以
整理得
解之得a＝2，b＝－17，
所以Sn＝2n2－17n，S28＝1 092.
方法三：∵{an}为等差数列，
所以Sn＝na1＋d，
所以＝a1－＋n，所以是等差数列．
因为12,20,28成等差数列，
所以，，成等差数列，
所以2×＝＋，解得S28＝1 092.
【规律方法】　基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于(　　)
A．100　　　　　　　　　　 B．210
C．380 D．400
【答案】　B
【解析】　d＝＝＝4，则a1＝3，所以S10＝210.
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝(　　)
A．27 B．24
C．29 D．48
【答案】　C
【解析】　由已知
解得∴a10＝2＋9×3＝29.
3．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则这个数列一定是(　　)
A．等差数列 B．非等差数列
C．常数列 D．等差数列或常数列
【答案】　B
【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，当n＝1时a1＝S1＝2.
∴an＝这不是等差数列．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】　A
【解析】　∴
∴Sn＝na1＋d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.
＝(n－6)2－36.
即n＝6时，Sn最小．
5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于(　　)
A．22 B．21
C．19 D．18
【答案】　D
【解析】　∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146，
∴5(a1＋an)＝180，a1＋an＝36，
Sn＝＝＝234.
∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.
6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
【答案】　D
【解析】　S奇＝6a1＋×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.
7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于(　　)
A．7 B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　＝＝＝＝＝.
8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　)
A．445 B．765
C．1 080 D．1 305
【答案】　B
【解析】　an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．
∴an＝－60＋(n－1)×3，即an＝3n－63.
∴an＝0时，n＝21，an>0时，n>21，an<0时，n<21.
S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30
＝－2(a1＋a2＋…＋a21)＋S30
＝－2S21＋S30
＝765.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.
【答案】　2n
【解析】　设等差数列{an}的公差d，则
，∴，∴an＝2n.
10．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于________．
【答案】　10
【解析】　∵等差数列共有2n＋1项，∴S奇－S偶＝an＋1＝.
即132－120＝，求得n＝10.
【规律方法】　利用了等差数列前n项和的性质，比较简捷．
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
【分析】　在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式和前n项和公式，先求出a1和d，然后再求前n项和或特别的项．
【解析】　(1)∵a6＝10，S5＝5，
∴
解方程组，得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(2)由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
【规律方法】　一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．
12．已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？
【解析】　方法一：(二次函数法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
∴Sn＝＝·n＝－2n2＋38n
＝－2[n2－19n＋()2]＋
＝－2(n－)2＋.
令n－＝0，则n＝＝9.5，且n∈N＋，
∴当n＝9或n＝10时，Sn最大，
∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2(10－)2＋＝180.
方法二：(图象法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，
Sn＝na1＋d＝36n＋·(－4)＝－2n2＋38n，
点(n，Sn)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，Sn有最大值，其对称轴为x＝－＝＝9.5，
∴当n＝10或9时，Sn最大．
∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2×102＋38×10＝180.
方法三：(通项法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，
∴d＝32－36＝－4<0，数列{an}为递减数列．
令有
∴即9≤n≤10.
当n＝9或n＝10时，Sn最大．
∴Sn的最大值为S9＝S10＝×10＝×10＝180.
【规律方法】　对于方法一，一定要强调n∈N＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n＝10，需注意am＝0时，Sm－1＝Sm同为Sn的最值．